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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Mo 02.05.2011 | | Autor: | katrin10 |
| Aufgabe | | Für [mm] a\in \IR [/mm] und [mm] u_1=\vektor{1 \\ 0 \\ -4 \\3},u_2=\vektor{0\\ 0 \\ 1\\2},v_1=\vektor{1 \\ 3\\ 0\\-1},v_2=\vektor{2\\ 5\\ -1 \\0},v_3=\vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\a} [/mm] betrachten wir die Unterräume [mm] Lin\{u_1,u_2\} [/mm] und [mm] Lin\{v_1,v_2,v_3\}. [/mm] Für welche Werte von a gilt [mm] Lin\{u_1,u_2\}\subseteq Lin\{v_1,v_2,v_3\}? [/mm] |
Hallo,
ich muss zeigen, dass es zu jedem b und c, bestimmte d,e,f gibt, sodass gilt: [mm] b*u_1+c*u_2 [/mm] = [mm] d*v_1+e*v_2+f*v_3. [/mm] Ich will also ein lineares Gleichungssystem lösen und habe nach einigen Umformungen [mm] \pmat{ 1 & 1 &0&2&0&|0 \\ 0 & 1&4&7&2&|0 \\ 0&0&3&5&1&|0 \\ 0&0&0&0&2+a&|0} [/mm] erhalten. Allerdings weiß ich nicht, wie ich jetzt weiter rechnen soll. Ist meine Vorgehensweise so richtig?
Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:25 Mo 02.05.2011 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
soeben habe ich nochmal versucht, das Gleichungssytem zu lösen, bekomme allerdings keine Lösung. Muss man wirklich das Gleichungssystem so lösen oder geht man anders vor?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Mo 02.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein, wenn du mit einer Linearkombination der v u1 und mit einer anderen u3 erzeugen kannst, ist das erste ein Unterraum des 2 ten, denn dann kannst du ja auch alle linearkombinationen erzeugen.
du kannst die 2 gleichungsysteme in einem aufwand lösen, wenn du die 2 rechten Seiten 8also u1 und u2 einfach mitziehst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:02 Di 03.05.2011 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
der Tipp hat mir schon sehr viel weitergeholfen. Ich habe jedoch noch eine Verständnisfrage: Was berechne ich, wenn ich ein lineares Gleichungssystem der fünf Vektoren löse?
Vielen Dank nochmal.
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> Was berechne ich, wenn
> ich ein lineares Gleichungssystem der fünf Vektoren
> löse?
Hallo,
Du beziehst Dich auf das, was Du zuerst getan hast?
Du hattest 5 Vektoren [mm] u_1,u_2, v_1, v_2, v_3 [/mm] gegeben.
Mit dem Lösen des Gleichungssystems
$ [mm] b\cdot{}u_1+c\cdot{}u_2 [/mm] $ = $ [mm] d\cdot{}v_1+e\cdot{}v_2+f\cdot{}v_3 [/mm] $
gehst Du der Frage auf den Grund, was der Schnitt von $ [mm] Lin\{u_1,u_2\} [/mm] $ und $ [mm] Lin\{v_1,v_2,v_3\} [/mm] $ ist,
denn Du untersuchst, wann ein Vektor gleichzeitig in beiden linearen Hüllen liegt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Di 03.05.2011 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für die Hilfe. Ich habe es jetzt verstanden.
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Hi,
ich habe eine andere Lösungsidee und würde gerne wissen, ob die so richtig ist.
Also: Sei M eine Matrix, deren Spalten aus Vektoren [mm] v_1 [/mm] , ... , [mm] v_n [/mm] bestehen und habe diese Marix den Rang r.
Nehme ich nun einen weiteren Vektor w hinzu, bilde aus [mm] v_1 [/mm] , ... , [mm] v_n [/mm] ,w wieder eine Matrix wie oben beschrieben und habe diese neue Matrix ebenfalls Rang r, so ist w eine Linearkombi von [mm] v_1 [/mm] , ... , [mm] v_n.
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Mit den gegebenen Vektoren sieht das bei mir so aus:
M = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & | 1 & | 0 \\ 3 & 5 & 1 & | 0 & | 0 \\ 0 & -1 & 2 & | -4 & | 1 \\ -1 & 0 & a & | 3 & | 2 } [/mm] Ist in Zeilenstufenform: [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & | 1 & | 0 \\ 0 & -1 & 1 & | -3 & | 0 \\ 0 & 0 & 1 & | -1 & | 1 \\ 0 & 0 & a+2 & | -2 & | 2 } [/mm]
Also hat M für a=0 den Rang 3.
Für a [mm] \not= [/mm] 0 den Rang 4.
(Soweit richtig?).
Wenn das alles stimmt, wäre mein Ergebnis: Für alle a [mm] \in \IR [/mm] /{0}$ gilt: [mm] Lin\{u_1,u_2\} [/mm] $ [mm] \subseteq [/mm] $ [mm] Lin\{v_1,v_2,v_3\}. [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Mi 04.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. was kriegst du denn für a=-2? rechne mal die <koeffizienten aus!
2. was ist t?
3. wieso irgendwann rang 4?
wann ist ein inhomogenes GS lösbar? hat was mit rang der erw. matrix zu tun.
Gruss leduart
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> Hallo
> 1. was kriegst du denn für a=-2? rechne mal die
> koeffizienten aus!
für a=-2 hat meine ursprüngliche 4x3 Matrix eine Null-Zeile, also Rang 3?
> 2. was ist t?
Das soll natürlich ein a sein.
> 3. wieso irgendwann rang 4?
Habe mich verbessert.
Wenn a [mm] \not= [/mm] 0 kann ich diesen Koeffizienten mit der 3. Zeile eliminieren und habe somit wieder eine Null-Zeile [mm] \Rightarrow [/mm] Rang = 3
> wann ist ein inhomogenes GS lösbar? hat was mit rang der
> erw. matrix zu tun.
Wenn der Rang der Matrix und der rang der erw. Matrix übereinstimmen?!
> Gruss leduart
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Mi 04.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> für a=-2 hat meine ursprüngliche 4x3 Matrix eine
> Null-Zeile, also Rang 3?
>
> > 2. was ist t?
> Das soll natürlich ein a sein.
>
> > 3. wieso irgendwann rang 4?
> Habe mich verbessert.
> Wenn a [mm]\not=[/mm] 0 kann ich diesen Koeffizienten mit der 3.
wieso brauchst du dazu [mm] a\ne0?
[/mm]
> Zeile eliminieren und habe somit wieder eine Null-Zeile
> [mm]\Rightarrow[/mm] Rang = 3
>
> > wann ist ein inhomogenes GS lösbar? hat was mit rang der
> > erw. matrix zu tun.
> Wenn der Rang der Matrix und der rang der erw. Matrix
> übereinstimmen?!
ja
Gruss leduart
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> Hallo
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> > für a=-2 hat meine ursprüngliche 4x3 Matrix eine
> > Null-Zeile, also Rang 3?
> >
> > > 2. was ist t?
> > Das soll natürlich ein a sein.
> >
> > > 3. wieso irgendwann rang 4?
> > Habe mich verbessert.
> > Wenn a [mm]\not=[/mm] 0 kann ich diesen Koeffizienten mit der
> 3.
> wieso brauchst du dazu [mm]a\ne0?[/mm]
> > Zeile eliminieren und habe somit wieder eine Null-Zeile
> > [mm]\Rightarrow[/mm] Rang = 3
> >
> > > wann ist ein inhomogenes GS lösbar? hat was mit rang der
> > > erw. matrix zu tun.
> > Wenn der Rang der Matrix und der rang der erw. Matrix
> > übereinstimmen?!
> ja
> Gruss leduart
>
> Also habe ich für alle a [mm] \in \IR [/mm] den Rang 3?
Wenn ich doch jetzt aber eine Spalte zu meiner Matrix hinzunehmen, also eine 4x4 Matrix habe, dann hätte die doch für a=-2 den Rang 4 und somit einen anderen Rang als ohne Spalte.
Ich scheine da gerade auf dem Schlauch zu stehen...
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> > > M = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & | 1 & | 0 \\
3 & 5 & 1 & | 0 & | 0 \\
0 & -1 & 2 & | -4 & | 1 \\
-1 & 0 & a & | 3 & | 2 } [/mm] Ist in Zeilenstufenform: [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & | 1 & | 0 \\
0 & -1 & 1 & | -3 & | 0 \\
0 & 0 & 1 & | -1 & | 1 \\
0 & 0 & a+2 & | -2 & | 2 } [/mm]
Hallo,
die Vorgehensweise, rechts die beiden Vektoren [mm] u_1, u_2 [/mm] hinzuschreiben 0=-1+2/(a+2)
0=1-2/(a+2)und die Matrix auf ZSF zu bringen, bringt Dich auf jeden Fall zum Ziel - sofern Du das, was Du dastehen hast, richtig interpretierst.
(Deine ZSF habe ich nicht nachgerechnet.)
1.
a=-2
Dann hat die Matrix M den Rang 4, dh. dim [mm] [/mm] =4 (also ist [mm] = \IR^4), [/mm] und es ist [mm] \not\subseteq [/mm] , denn der VR [mm] [/mm] könnte sonst höchstens die Dimension 3 haben.
2.
[mm] a\not=-2
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & | 1 & | 0 \\
0 & -1 & 1 & | -3 & | 0 \\
0 & 0 & 1 & | -1 & | 1 \\
0 & 0 & a+2 & | -2 & | 2 } [/mm] --> [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & | 1 & | 0 \\
0 & -1 & 1 & | -3 & | 0 \\
0 & 0 & 1 & | -1 & | 1 \\
0 & 0 & 1 & | -2/(a+2) & | 2/(a+2) } [/mm] --> [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & | 1 & | 0 \\
0 & -1 & 1 & | -3 & | 0 \\
0 & 0 & 1 & | -1 & | 1 \\
0 & 0 & 0 & | -1+2/(a+2) & | 1-2/(a+2) } [/mm]
Hier müssen wir nun schauen, wann RangM=3 ist und wann =4.
Der Rang ist =3, also [mm] [/mm] eine Teilmenge von [mm] , [/mm] wenn gilt:
0=-1+2/(a+2)
0=1-2/(a+2),
andernfalls ist der Rang=4.
Es ist
0=-1+2/(a+2)
0=1-2/(a+2)
<==>
0=a+2-2=a.
Insgesamt haben wir gefunden:
Für a=0 ist [mm] [/mm] eine Teilmenge von [mm] ,
[/mm]
für [mm] a\not=0 [/mm] ist dies nicht der Fall.
Dies entspricht dem von Dir gestern geposteten Ergebnis.
Gruß v. Angela
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