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| Aufgabe | <br> Beweise oder widerlege: Ist U ein Unterraum eines Vektorraumes K, dann gilt für alle u,u' [mm] \in[/mm] U:
1. [mm]u,u' \not\in U[/mm][mm]\Rightarrow u+u' \not\in U[/mm]
2. [mm]u,u' \not\in U \Rightarrow u+u' \in U[/mm]
3. [mm]u\not\in U, u' \in U \Rightarrow u+u' \not \in U[/mm]
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So bei 1. würde ich sagen, das ist klar, denn das ist ja die Definition für den Unterraum einfach "umgedreht". Muss ich da noch etwas beweisen oder reicht da jetzt ein Beispiel?
bei 2. und 3. würde ich ebenfalls versuchen mit einem Gegenbeispiel zu argumentieren, da die Aussagen ja der Definition für einen unterraum widersprechen.
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Hallo,
> <br> Beweise oder widerlege: Ist U ein Unterraum eines
> Vektorraumes K, dann gilt für alle u,u' [mm]\in[/mm] U:
> 1. [mm]u,u' \not\in U[/mm][mm]\Rightarrow u+u' \not\in U[/mm]
> 2. [mm]u,u' \not\in U \Rightarrow u+u' \in U[/mm]
>
> 3. [mm]u\not\in U, u' \in U \Rightarrow u+u' \not \in U[/mm]
>
>
> <br>
> So bei 1. würde ich sagen, das ist klar, denn das ist ja
> die Definition für den Unterraum einfach "umgedreht".
Das stimmt aber nicht. Was wäre denn logisch das Gegenteil der Implikation [mm]A\Rightarrow B[/mm]?
Mache dir an Hand eines geometrischen Beispiels klar, dass Aussage 1) falsch ist.
> Muss
> ich da noch etwas beweisen oder reicht da jetzt ein
> Beispiel?
Wie gesagt: ein Gegenbeispiel.
>
> bei 2. und 3. würde ich ebenfalls versuchen mit einem
> Gegenbeispiel zu argumentieren, da die Aussagen ja der
> Definition für einen unterraum widersprechen.
Diese Definition und ihre Bedeutung solltest du dir nochmals klar machen. Bei Aussage 2) stimme ich mit dir überein, aber Aussage 3) ist nach meinem Dafürhalten wahr.
Gruß, Diophant
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Stimmt da bin ich bei 1. wohl in die Kontraposition statt in die Negation abgerutscht.
Als Gegenbeispiel würde ich zu 1. so etwas sagen wie U = [mm] \IR ^+[/mm] und dann zwei negative Zahlen addieren, die ja dann nicht darin enthalten sind.
Als Gegenbeispiel zu 2. würde ich sagen dass ich da das gleiche Gegenbeispiel sogar nehmen kann?
und bei 3. habe ich einfach zu schnell getippt.
Der Beweis hier sieht doch so aus, dass ich am besten über einen widerspruch gehe und dann ist das ein Einzeiler oder?
also ungefähr so:
[mm]u \not\in U, u' \in U \Rightarrow u+u' \in U[/mm] aber das ist ein Widerspruch zur Definition, also gilt dies nicht und ich bin fertig?
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Hi,
> Stimmt da bin ich bei 1. wohl in die Kontraposition statt
> in die Negation abgerutscht.
> Als Gegenbeispiel würde ich zu 1. so etwas sagen wie U =
> [mm]\IR ^+[/mm] und dann zwei negative Zahlen addieren, die ja dann
> nicht darin enthalten sind.
Was ist dein Vektorraum K? Etwa [mm] \IR [/mm] ? Dann gilt für alle [mm] \lambda\in\IR [/mm] für alle Elemente [mm] u\inU [/mm] das folgende [mm] \lambda*u\in [/mm] U
u=3, [mm] \lambda=-1 \Rightarrow \lambda*u\notin{U}
[/mm]
U ist kein Unterraum.
>
> Als Gegenbeispiel zu 2. würde ich sagen dass ich da das
> gleiche Gegenbeispiel sogar nehmen kann?
>
> und bei 3. habe ich einfach zu schnell getippt.
> Der Beweis hier sieht doch so aus, dass ich am besten
> über einen widerspruch gehe und dann ist das ein Einzeiler
> oder?
> also ungefähr so:
> [mm]u \not\in U, u' \in U \Rightarrow u+u' \in U[/mm] aber das ist
> ein Widerspruch zur Definition, also gilt dies nicht und
> ich bin fertig?
???
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Nächster Vorschalg für ein Gegenbeispiel bei beiden: dass U der Unterraum ist, der nur! den Nullvektor enthält, ich denke dann müßte ich doch bei beiden damit hinkommen?
Beim dritten, hatte ich versucht was aufzuschreiben das du ja mit ??? kommentiert hast, aber da komme ich grade nicht weiter, hättest du evtl einen Ansatz oder so? War die Idee mit dem Widerspruchsbeweis falsch?
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> Nächster Vorschalg für ein Gegenbeispiel bei beiden: dass
> U der Unterraum ist, der nur! den Nullvektor enthält, ich
> denke dann müßte ich doch bei beiden damit hinkommen?
Hallo,
Du müßtest Deine Gegenbeispiele genauer ausführen. So kann ich nicht entscheiden, ob sie funktionieren oder nicht.
>
> Beim dritten, hatte ich versucht was aufzuschreiben das du
> ja mit ??? kommentiert hast, aber da komme ich grade nicht
> weiter, hättest du evtl einen Ansatz oder so? War die Idee
> mit dem Widerspruchsbeweis falsch?
Nein, aber
1.
sehe ich nicht, wie aus [mm] u\in [/mm] U und [mm] u'\not\in [/mm] U folgt, daß die Summe in U ist, und
2.
müßtest schon genauer begründen, worin der Widerspruch liegt.
So kannst Du's machen:
Seien [mm] u\in [/mm] U und [mm] u'\not\in [/mm] U ,
und es gelte [mm] u+u'\in [/mm] U.
Dann gibt es ein [mm] w\in [/mm] U mit u+u'=w.
Nun führe das zum Widerspruch.
LG Angela
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Ok Gegenbeispiel
U = [mm]
\left(
\begin {array} {c}
0 \\
0 \\
\end {array}
\right )[/mm]
Dann nehme ich 2 Vektoren die nicht in U sind z.B. [mm]
\left(
\begin {array} {c}
1 \\
0 \\
\end {array}
\right )
\left(
\begin {array} {c}
0 \\
1 \\
\end {array}
\right )[/mm] die zusammen aufaddiert sind dann [mm]
\left(
\begin {array} {c}
1 \\
1 \\
\end {array}
\right )
[/mm]
und bei teil be würde ich genauso verfahren und nur zu dem 0-Vektor etwas dazuaddieren, was dann z.B. in[mm]
\left(
\begin {array} {c}
0 \\
1 \\
\end {array}
\right )
[/mm] resultiert und somit nicht mehr enthalten ist.
sorry für die Formatierung, aber die Vektoren hauen bei mir irgendwie nicht hin.
Bezüglich der Weiterführung des Widerspruchsbeweises:
w = u+u' [mm]
\in U \Rightarrow nach Def. u,u' \in U [/mm] und da ist der Widerspruch?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Do 26.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur schonmal ganz knapp:
> Bezüglich der Weiterführung des Widerspruchsbeweises:
> w = u+u' [mm]
\in U \Rightarrow nach Def. u,u' \in U[/mm] und da ist der
> Widerspruch?
das ist richtig, und dennoch würde man es Dir ankreiden, weil einfach nicht
klar ist, wieso diese Folgerung gilt. ($u' [mm] \in [/mm] U$ gilt nach Voraussetzung der Aufgabe;
wenn Du das mit "nach Def." meinen solltest. Aber $u [mm] \in [/mm] U$ musst Du begründen,
denn nach Voraussetzung der Aufgabe ist ja gerade $u [mm] \red{\,\notin\,} [/mm] U$...)
Beachte: Mit $u' [mm] \in [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] V$ ist auch das Element $-u' [mm] \in [/mm] V$ ein Element von
[mm] $U\,,$ [/mm] d.h. $-u' [mm] \in U\,.$
[/mm]
(Ich gehe mal davon aus, dass der VR nicht K heißen sollte, sondern dass
Du einen [mm] $K\,$-Vektorraum $\red{\,V\,}$ [/mm] meintest...)
Jetzt denke nach, was [mm] $w-u'\,$ [/mm] ist und was für dieses Element dann gelten
muss. Vergleiche das mit der Angabe in der Voraussetzung!
P.S. In der ursprünglichen Aufgabenstellung wird $u [mm] \notin [/mm] U, [mm] \;u' \in [/mm] U$ vorausgesetzt
(Angela hatte das "verdreht"; wobei ich Angelas "Verdrehung" auch
"natürlicher" finde...). Ich gehe hier von dieser Notation, wie sie in der
ursprünglichen Formulierung stand, aus!
Gruß,
Marcel
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> Ok Gegenbeispiel
>
> U = [mm]
\left(
\begin {array} {c}
0 \\
0 \\
\end {array}
\right )[/mm]
Hallo,
Du betrachtest also den VR [mm] \IR^2 [/mm] und von diesem den Unterraum [mm] U:=\left\{\vektor{0\\0}\right\} [/mm] ,also den UVR, welcher nur den Nullvektor enthält.
>
> Dann nehme ich 2 Vektoren die nicht in U sind z.B. [mm]
\left(
\begin {array} {c}
1 \\
0 \\
\end {array}
\right )
\left(
\begin {array} {c}
0 \\
1 \\
\end {array}
\right )[/mm]
Du nimmst [mm] u:=\vektor{1\\0} [/mm] und [mm] u':=\vektor{1\\0},
[/mm]
> die zusammen auf
addiert sind dann [mm]
\left(
\begin {array} {c}
1 \\
1 \\
\end {array}
\right )
[/mm]
>
und bekommst [mm] u+u':=\vektor{1\\1}.
[/mm]
Soweit, so gut.
Bloß frage ich mich jetzt, was das soll:
hast Du nun die Aussage bewiesen oder widerlegt?
Du müßtest schon noch erklären, was Du mit dieser kleinen Rechnung glaubst, bewirkt zu haben.
Du darfst nicht alles der Fantasie der geneigten Leserschaft überlassen.
Insbesondere Deine Mathechefs sind überhaupt nicht bereit, fantasievolle Gedanken zu entwickeln...
> und bei teil be würde ich genauso verfahren und nur zu dem
> 0-Vektor etwas dazuaddieren, was dann z.B. in[mm]
\left(
\begin {array} {c}
0 \\
1 \\
\end {array}
\right )
[/mm]
> resultiert und somit nicht mehr enthalten ist.
???
Was meinst Du mit "Teil b"?
So geht das nicht.
Du mußt mal Deine Beiträge so schreiben, daß sie verständlich sind.
Notiere die Aussage, mit der Du Dich gerade beschäftigen möchtest.
Sage klar und deutlich, ob Du sie für richtig oder falsch hältst.
Beweise sie in aller Allgemeinheit, falls sie richtig ist.
Widerlege sie mit einem Gegeneispiel, falls sie falsch ist.
> sorry für die Formatierung, aber die Vektoren hauen bei
> mir irgendwie nicht hin.
Geh mal mit der Maus auf meine Vektoren, dann siehst Du, wie man sie schreibt.
>
> Bezüglich der Weiterführung des Widerspruchsbeweises:
> w = u+u' [mm]
\in U \Rightarrow nach Def. u,u' \in U[/mm] und da ist der
> Widerspruch?
Hm.
Wo kommt denn in Deiner Definition des UVRs vor, daß aus w=u+u' folgt, daß u und u' beide in U sind.
Vielleicht solltest Du diesen Teil der Def. mal posten. Evtl. ist Eure Lineare Algebra anders...
Oder Du hast etwas ganz gründlich mißverstanden...
LG Angela
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Hallo Angela, danke für deine Geduld und die Hilfe. Ich hatte gerade ein wenig Probleme mich zu konzentrieren, da mein Sohn einiges an Unfug angestellt hat. Jetzt werde ich nochmal versuchen alles bisherige sauber aufzuschreiben und zu formulieren. Entschuldigt bitte das vorherige Chaos.
Also nochmal alle Teile der Aufgabe inklusive Aufgabenstellungen und den Definitionen die ich habe:
Erst einmal die Definitione für Unterraum:
[mm]U \subseteq[/mm] V, wobei V ein Vektorraum ist. Für U gelten die gleichen Verknüpfungen wie für V, zudem gilt noch, dass U genau dann ein Unterraum ist, falls:
1. [mm]\forall u,u' \in U \Rightarrow u+u' \in U[/mm]
2. [mm]\forall u \in U und k \in V \Rightarrow ku \in U[/mm]
So meine Aufgabe lautet noch einmal:
U ist Unterraum von V dann gilt für alle u,u' [mm] \in U[/mm]
a) [mm]u,u' \not\in U \Rightarrow u+u' \not\in U
[/mm]
b) [mm]u,u' \not\in U \Rightarrow u+u' \in U[/mm]
c) [mm]u \not \in U, u' \in U \Rightarrow u+u'\not \in U [/mm]
Erstmal zu meinem Gegenbeispiel bezüglich b):
Ich betrachte [mm]V= \IR^2[/mm] und den Unterraum [mm]U = \vektor{0\\0}.[/mm] Für u und u' nicht aus U wähle ich dann [mm]u = \vektor{1\\0} und u' = \vektor{0\\1}[/mm] somit erhalte ich dann für u+u' = [mm]\vektor{1\\1} \not \in U[/mm] und somit ein Gegenbeispiel für c)
[mm]u \not\in U, u' \in U \Rightarrow u+u' \in U[/mm] Dies sei gegeben und ich nenne nun u+u':=w [mm]\in U[/mm] da nun u'[mm] \in U\in U[/mm] ist auch -u'[mm] \in U[/mm] desweitern wenn w [mm] \in U[/mm] ist und w= u+u' muß auch w-u' [mm] \in U[/mm] sein es gilt jetzt aber w-u'=u+u'-u'=u [mm]\not\in U[/mm] soweit dann fertig oder?
zu a)ein Gegenbeispiel sei U =[mm]\vektor {0\\0}[/mm] [mm]u= \vektor {1\\0}, u'= \vektor {-1\\0}[/mm] dann ist u+u'=[mm]\vektor {1\\0}+ \vektor {-1\\0}=\vektor{1-1\\0}=\vektor{0\\0} \in U[/mm]
Ich hoffe ich habe jetzt alle Konventionen beachtet und es sauber aufgeschrieben. Danke für eure Geduld und entschuldigt bitte für das Chaos.
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> Ich
> hatte gerade ein wenig Probleme mich zu konzentrieren, da
> mein Sohn einiges an Unfug angestellt hat.
Hallo,
ich hab' damals auch mit Kind studiert, und ich kann's mir lebhaft vorstellen...
> Also nochmal alle Teile der Aufgabe inklusive
> Aufgabenstellungen und den Definitionen die ich habe:
>
> Erst einmal die Definitione für Unterraum:
> [mm]U \subseteq[/mm] V, wobei V ein Vektorraum ist. Für U gelten
> die gleichen Verknüpfungen wie für V, zudem gilt noch,
> dass U genau dann ein Unterraum ist, falls:
> 1. [mm]\forall u,u' \in U \Rightarrow u+u' \in U[/mm]
> 2. [mm]\forall u \in U und k \in V \Rightarrow ku \in U[/mm]
Eine wichtige Bedingung hast Du vergessen: [mm] U\not=\emptyset.
[/mm]
(Manchmal stattdessen auch: [mm] 0\in [/mm] U.)
>
> So meine Aufgabe lautet noch einmal:
> U ist Unterraum von V dann gilt für alle u,u' [mm]\in U[/mm]
> a)
> [mm]u,u' \not\in U \Rightarrow u+u' \not\in U
[/mm]
> b) [mm]u,u' \not\in U \Rightarrow u+u' \in U[/mm]
>
> c) [mm]u \not \in U, u' \in U \Rightarrow u+u'\not \in U[/mm]
>
> Erstmal zu meinem Gegenbeispiel bezüglich b):
> Ich betrachte [mm]V= \IR^2[/mm] und den Unterraum [mm]U = \vektor{0\\0}.[/mm]
> Für u und u' nicht aus U wähle ich dann [mm]u = \vektor{1\\0} und u' = \vektor{0\\1}[/mm]
> somit erhalte ich dann für u+u' = [mm]\vektor{1\\1} \not \in U[/mm]
> und somit ein Gegenbeispiel für c)
Für b).
Ja, das ist in der Tat ein Gegenbeispiel für b).
Es hätte übrigens ebenso mit dem UVR [mm] U=<\vektor{3\\4}>, [/mm] welcher alle Vielfachen von [mm] \vektor{3\\4} [/mm] enthält, funktioniert, und mit vielen anderen auch.
zu c)
Beweis der Aussage durch Widerspruch:
> [mm]u \not\in U, u' \in U \Rightarrow u+u' \in U[/mm] Dies sei
> gegeben
Du meinst es sicher so:
es seien [mm] u\not\in [/mm] U, [mm] u'\in [/mm] U und es gelte [mm] u+u'\in [/mm] U.
> und ich nenne nun u+u':=w [mm]\in U[/mm]
> da nun u'[mm] \in U[/mm]
> ist auch -u'[mm] \in U[/mm]
Genau. Eine kl. Begründung für die Chefs wäre gut, z.B. "nach VR-Axiom xy".
> desweitern wenn w [mm]\in U[/mm] ist und w= u+u'
> muß auch w-u' [mm]\in U[/mm] sein
noch mit Axiom begründen
> es gilt jetzt aber w-u'=u+u'-u'=u
> [mm]\not\in U[/mm] .
Widerspruch, also kann es nicht richtig sein, daß [mm] u\not\in [/mm] U, [mm] u'\in [/mm] U und gleichzeitig [mm] u+u'\in [/mm] U.
Somit folgt aus [mm] u\not\in [/mm] U, [mm] u'\in [/mm] U, daß [mm] u+u'\not\in [/mm] U.
> soweit dann fertig oder?
Ja.
>
>
> zu a)ein Gegenbeispiel sei U =[mm]\vektor {0\\0}[/mm] [mm]u= \vektor {1\\0}, u'= \vektor {-1\\0}[/mm]
> dann ist u+u'=[mm]\vektor {1\\0}+ \vektor {-1\\0}=\vektor{1-1\\0}=\vektor{0\\0} \in U[/mm]
Genau.
Auch dies funktioniert ebenso mit dem UVR [mm] U=<\vektor{3\\4}> [/mm] und mit vielen anderen.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 Do 26.09.2013 | | Autor: | Grapadura |
Vielen Vielen Dank für die Geduld!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 Do 26.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
kleine Sache (zu dem anderen sag' ich erstmal nichts, da Angela ja etwas
dazu sagen wird):
> gegeben und ich nenne nun u+u':=w [mm]\in U[/mm] da nun u'[mm] \in U\in U[/mm]
der Doppelpunkt bei einer "Definitionsgleichheit" steht auf der Seite, auf der
das zu definierende Objekt steht. Du musst also
[mm] $u+u'\;=:\;w$
[/mm]
schreiben, denn [mm] $w\,$ [/mm] wird ja definiert!
Gruß,
Marcel
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> Hallo Angela,
>
> > So kannst Du's machen:
> >
> > Seien [mm]u\in[/mm] U und [mm]u'\not\in[/mm] U ,
> > und es gelte [mm]u+u'\in[/mm] U.
> > Dann gibt es ein [mm]w\in[/mm] U mit u+u'=w.
>
> das ist aber etwas komisch formuliert
Tja, ich bin halt 'ne komische Nummer.
> [...] Gedanklich warst Du sicher
> irgendwo
> bei den
> ![[]](/images/popup.gif) Summen von VRen...
Ganz sicher nicht.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:11 Do 26.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Angela,
> > Hallo Angela,
> >
> > > So kannst Du's machen:
> > >
> > > Seien [mm]u\in[/mm] U und [mm]u'\not\in[/mm] U ,
> > > und es gelte [mm]u+u'\in[/mm] U.
> > > Dann gibt es ein [mm]w\in[/mm] U mit u+u'=w.
> >
> > das ist aber etwas komisch formuliert
>
> Tja, ich bin halt 'ne komische Nummer.
>
> > [...] Gedanklich warst Du sicher
> > irgendwo
> > bei den
> >
> Summen von VRen...
>
>
> Ganz sicher nicht.
von der Formulierung her passt das besser in dieses Konzept. (War aber
keine [bös' gemeinte] Unterstellung.)
Wie gesagt: Ist ja nicht falsch, aber wozu der "Existenz-Teil"...?
Gruß,
Marcel
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Hallo,
in Ergänzung zu Diophants Antwort:
Wenn du den Vektorraum [mm] \IR^2 [/mm] zugrunde legst, und weiterhin bedenkst, dass für einen Unterraum U stets gilt, dass der Nullvektor in U liegt, so findet man gute Gegenbeispiele.
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