Unterräume - Vektoren < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:18 So 20.12.2009 | | Autor: | loot_00 |
| Aufgabe | a) Es seien V und W Vektorräume über K und T: V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung. Weiter seien
[mm] Kern(T)=\{ v \in V | Tv = 0 \} [/mm] und [mm] Bild(T)=\{w \in W | \exists v \in V: Tv = w\}
[/mm]
Zeigen sie, dass Kern(T) ein Unterraum von V und Bild(T) ein Unterraum von W ist.
b) Es seien V,W,Z Vektorräume und T: V [mm] \to [/mm] W und Q: W [mm] \to [/mm] Z Isomorphismen. Zeigen Sie, dass Q [mm] \circ [/mm] T: V [mm] \to [/mm] Z mit (Q [mm] \circ [/mm] T)(v)=Q(Tv) ebenfalls ein Isomorphismus ist.
|
Ich tue mich bei solchen Aufgaben immer schwer. Vielleicht kann einer helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:36 So 20.12.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo loot_00,
> a) Es seien V und W Vektorräume über K und T: V [mm]\to[/mm] W
> eine lineare Abbildung. Weiter seien
>
> [mm]Kern(T)=\{ v \in V | Tv = 0 \}[/mm] und [mm]Bild(T)=\{w \in W | \exists v \in V: Tv = w\}[/mm]
>
> Zeigen sie, dass Kern(T) ein Unterraum von V und Bild(T)
> ein Unterraum von W ist.
Was musst du denn hier genau zeigen? Welche Bedingungen müssen gelten, damit [mm] $\operatorname{ker}(T)$ [/mm] und [mm] $\operatorname{im}(T)$ [/mm] Untervektorräume von W sind?
Z.B. muss gelten [mm] $0\in\operatorname{ker}(T)$. [/mm] Offensichtlich ist für $v=0$ auch [mm] $Tv=T\cdot 0=0\in\operatorname{ker}(T)$ [/mm] (denn [mm] $0\in [/mm] V$, da V ein Vektorraum ist). Für die anderen Bedingungen wähle dir Elemente aus dem Kern und zeige die geforderten Eigenschaften.
> b) Es seien V,W,Z Vektorräume und T: V [mm]\to[/mm] W und Q: W [mm]\to[/mm]
> Z Isomorphismen. Zeigen Sie, dass Q [mm]\circ[/mm] T: V [mm]\to[/mm] Z mit (Q
> [mm]\circ[/mm] T)(v)=Q(Tv) ebenfalls ein Isomorphismus ist.
Hier dasselbe: Was genau musst du zeigen? Welche Eigenschaften müssen muss [mm] $Q\circ [/mm] T$ haben, damit es ein Isomorphismus ist? Wähle dir wieder Elemente aus V bzw. W und zeige das Geforderte.
> Ich tue mich bei solchen Aufgaben immer schwer. Vielleicht
> kann einer helfen?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> LG
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
|
