Unterräume, direkte Summe < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:32 So 01.06.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei [mm] V=C^{\infty}(0,3) [/mm] der Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen auf dem Intervall (0,3). Seien weiter:
[mm] $U_1=\{f\in V|f(1)=f(2)=f(\tfrac{3}{2})=0\}$
[/mm]
[mm] $U_2=\{f\in V|f(x)=ax^2+bx+c\ f"ur\ a, b, c\in\mathbb{R}\}$
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] Unterräume sind und dass gilt [mm] $V=U_1\oplus U_2$ [/mm] |
Hallo,
ich habe gerade ein Problem mit dieser Aufgabe.
Um zu zeigen, dass [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] Unterräume sind muss ich ja zeigen, dass sie 1. nicht leer sind, 2. bezüglich der Addition abgeschlossen sind und 3. bezüglich der Multiplikation mit Skalaren abgeschlossen sind.
Das [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] nicht leer sind ist klar.
[mm] $U_1$ [/mm] sollt ja die Menge aller Funktionen f sein, die Nullstellen für x=1 x=2 und x=3/2 haben.
Also folgende Form:
[mm] $f(x)=y(x-1)(x-2)(x-\tfrac32)$
[/mm]
y, wären dann der Streckungsfaktor, oder interpretiere ich das gerade falsch?
Denn die Funktion die ich jetzt angegeben habe hätte ja Gerade drei und die Elemente von [mm] U_1 [/mm] haben minimal Grad drei, aber sie könnten ja auch einen beliebig größeren Grad haben.
Die Elemente von [mm] U_1 [/mm] müssten also alle Polynome sein die mindestens drei Nullstellen an den angegebenen Stellen haben, oder?
Aber ich wüsste nicht wie ich davon dann zeigen soll, dass es ein Unterraum ist, also Punkt 2. und 3. nachrechnen kann.
Zu [mm] $U_2$:
[/mm]
Sei [mm] $f,g\in U_2$ [/mm] zu zeigen
[mm] $f+g\in U_2$
[/mm]
[mm] $f(x)+g(x)=a_1x^2+b_1x+c_1+a_2x^2+b_2x+c_2=(a_1+a_2)x^2+(b_1+b_2)x+(c_1+c_2)=(f+g)(x)$
[/mm]
Sei [mm] $\alpha\in [/mm] K$ ($K$ ist ein beliebiger Körper) und [mm] $f\in U_2$
[/mm]
zu zeigen: [mm] $\alpha\cdot f\in U_2$
[/mm]
Hier hänge ich ein wenig, bzw. glaube ich nicht, dass ich es richtig habe. Ich hätte es einfach so aufgeschrieben:
[mm] $\alpha\cdot f(x)=\alpha(ax^2+bx+c)=\alpha ax^2+\alpha bx+\alpha [/mm] c$
Das das ein Element von [mm] $U_2$ [/mm] ist, ist klar. Ich weiß nicht was ich hier weiter machen soll (für den Fall, dass es überhaupt richtig ist.)
Ich hoffe das meine Gedanken bisher wenigstens nicht ganz falsch sind...
Zur direkten Summe.
Also die direkte Summe kann man ja nur bilden wenn der Schnitt [mm] $U_1\cap U_2={0}$
[/mm]
Salopp gesagt bedeutet die direkte Summe nichts weiter als das ich die Basen von [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] "in eine Menge packe" richtig?
Und ich soll nun zeigen, dass diese Basen V erzeugen.
Also V kann ja unendlich dimensional sein.
Vorhin hatte ich gesagt, dass [mm] U_1 [/mm] alle Funktionen vom minimalen Grad drei enthält und [mm] U_2 [/mm] enthält ja alle Funktionen bis zum maximalen Grad zwei.
Das der Schnitt also bis auf [mm] $\{0\}$ [/mm] keine Elemente enthält sollte also klar sein und auch das dies am Ende den Raum der unendlich oft diff'baren Funktionen erzeugt.
Habe ich das so richtig verstanden. (Hoffentlich, wäre schade um den Text...)
Wie kann ich dies Formal hinschreiben? Und wie zeige ich, dass [mm] $U_1$ [/mm] ein Unterraum ist?
Vielen Dank im Voraus.
mfg
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> Sei [mm]V=C^{\infty}(0,3)[/mm] der Vektorraum der beliebig oft
> differenzierbaren Funktionen auf dem Intervall (0,3). Seien
> weiter:
>
> [mm]U_1=\{f\in V|f(1)=f(2)=f(\tfrac{3}{2})=0\}[/mm]
>
> [mm]U_2=\{f\in V|f(x)=ax^2+bx+c\ f"ur\ a, b, c\in\mathbb{R}\}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] Unterräume sind und dass gilt
> [mm]V=U_1\oplus U_2[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe gerade ein Problem mit dieser Aufgabe.
>
> Um zu zeigen, dass [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] Unterräume sind muss ich ja
> zeigen, dass sie 1. nicht leer sind, 2. bezüglich der
> Addition abgeschlossen sind und 3. bezüglich der
> Multiplikation mit Skalaren abgeschlossen sind.
Hallo,
ja.
>
> Das [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] nicht leer sind ist klar.
>
> [mm]U_1[/mm] sollt ja die Menge aller Funktionen f sein, die
> Nullstellen für x=1 x=2 und x=3/2 haben.
Ja.
>
> Also folgende Form:
>
> [mm]f(x)=y(x-1)(x-2)(x-\tfrac32)[/mm]
Nein.
die Funktion [mm] f:(0,3)\to \IR [/mm] mit [mm] f(x):=sin(2\pi [/mm] x) ist auch in der Menge, und ich fürchte, man kann sie nicht so schreiben, wie Du sagst.
Es gibt noch andere Funktionen als Polynomfunktionen...
>
> Aber ich wüsste nicht wie ich davon dann zeigen soll, dass
> es ein Unterraum ist, also Punkt 2. und 3. nachrechnen
> kann.
Seien [mm] f,g\in U_1, [/mm] sei [mm] \lambda\in \IR.
[/mm]
Rechne vor, daß sowohl f+g als auch [mm] \lambda [/mm] f Nullstellen bei 1, 2, 1.5 haben.
>
> Zu [mm]U_2[/mm]:
>
> Sei [mm]f,g\in U_2[/mm] zu zeigen
>
> [mm]f+g\in U_2[/mm]
>
> [mm]f(x)+g(x)=a_1x^2+b_1x+c_1+a_2x^2+b_2x+c_2=(a_1+a_2)x^2+(b_1+b_2)x+(c_1+c_2)=(f+g)(x)[/mm]
Die Anordnung finde ich nicht so ganz nachvollziehbar.
Es ist doch eher so:
[mm] (f+g)(x)=f(x)+g(x)=a_1x^2+b_1x+c_1+a_2x^2+b_2x+c_2=(a_1+a_2)x^2+(b_1+b_2)x+(c_1+c_2)\in U_2
[/mm]
>
> Sei [mm]\alpha\in K[/mm] ([mm]K[/mm] ist ein beliebiger Körper)
Meinst Du nicht, daß das hier der Körper [mm] \IR [/mm] sein soll?
> und [mm]f\in U_2[/mm]
>
> zu zeigen: [mm]\alpha\cdot f\in U_2[/mm]
>
> Hier hänge ich ein wenig, bzw. glaube ich nicht, dass ich
> es richtig habe. Ich hätte es einfach so aufgeschrieben:
>
> [mm]\alpha\cdot f(x)=\alpha(ax^2+bx+c)=\alpha ax^2+\alpha bx+\alpha c[/mm]
Richtig wär's so:
[mm] (\alpha f)(x)=\alpha f(x)=\alpha\cdot f(x)=\alpha(ax^2+bx+c)=\alpha ax^2+\alpha bx+\alpha c\in \IR.
[/mm]
> Das das ein Element von [mm]U_2[/mm] ist, ist klar. Ich weiß nicht
> was ich hier weiter machen soll (für den Fall, dass es
> überhaupt richtig ist.)
Was willst Du denn noch machen?
> Zur direkten Summe.
>
> Also die direkte Summe kann man ja nur bilden wenn der
> Schnitt [mm]U_1\cap U_2={0}[/mm]
Direkte Summe:
1. der Schnitt enthält nur die Null, also [mm] U_1\cap U_2={0}
[/mm]
2. [mm] V=U_1+U_2, [/mm] dh. jedes Element aus V kann man schreiben als Summe eines Elementes aus [mm] U_1 [/mm] und eines aus [mm] U_2
[/mm]
> Salopp gesagt bedeutet die direkte Summe nichts weiter als
> das ich die Basen von [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] "in eine Menge packe"
> richtig?
Wenn [mm] U_1\cap U_2={0} [/mm] und wenn die Basen von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] zusammengenommen eine Basis von V ergeben, kannst Du sicher sein, daß V die direkte Summe der beiden ist.
> Und ich soll nun zeigen, dass diese Basen V erzeugen.
Nicht unbedingt. Es reicht, wenn Du zu jedem [mm] f\in [/mm] V ein [mm] f_1\in U_1 [/mm] und ein [mm] f_2\in U_2 [/mm] angeben kannst, so daß [mm] f=f_1+f_2.
[/mm]
Wie (und ob überhaupt!) das geht, da müßte ich mal ganz scharf nachdenken.
Offensichtlich ist es für mich im Moment nicht.
> Also V kann ja unendlich dimensional sein.
Ich denke, "kann" können wir streichen.
> Vorhin hatte ich gesagt, dass [mm]U_1[/mm] alle Funktionen vom
> minimalen Grad drei enthält
Wie gesagt: Deine Welt ist zu klein. Es gibt nicht nur Polynome...
> und [mm]U_2[/mm] enthält ja alle
> Funktionen bis zum maximalen Grad zwei.
> Das der Schnitt also bis auf [mm]\{0\}[/mm] keine Elemente enthält
> sollte also klar sein
Ja, das ist mir auch klar, allerdings müßtest Du es für Deine Chefs begründen.
> und auch das dies am Ende den Raum
> der unendlich oft diff'baren Funktionen erzeugt.
Echt? Mir ist das im Moment überhaupt nicht klar.
Ich sage nicht, daß es nicht so ist, aber da müßte ich mal genauer überlegen.
Ich weiß es zur Zeit nicht.
Am besten bringst Du jetzt erstmal den Rest auf die Reihe, dann kann man weiterüberlegen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 So 01.06.2014 | | Autor: | YuSul |
"Am besten bringst Du jetzt erstmal den Rest auf die Reihe, dann kann man weiterüberlegen."
Ja, das ist gerade der Grund meiner Frage. Ich habe meine Gedanken zu der Aufgabe dargelegt und diese Fragen sind dabei offen geblieben und dafür benötige ich nun Hilfe.
Also die Funktion
[mm] $f(x)=sin(\pi\cdot [/mm] x)$
wäre nicht in der Menge, weil sie keine Nullstelle für x=1.5 hat, aber ansonsten ist mir der Einwand natürlich klar, dass es nicht unbedingt ein Polynom sein muss.
"Rechne vor, daß sowohl f+g als auch $ [mm] \lambda [/mm] $ f Nullstellen bei 1, 2, 1.5 haben."
Okay, das macht Sinn, aber dazu bräuchte ich ja erstmal eine allgemeine Form dafür, oder? Also das was ich hier versucht habe mit dem Polynom auszudrücken.
"Meinst Du nicht, daß das hier der Körper $ [mm] \IR [/mm] $ sein soll?"
Ich meine, dass es nahe liegt, dass der Körper [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] gemeint ist, aber im Endeffekt ist es egal. Es sollte halt nur 1, 2 und 3/2 drin enthalten sein...
Ist für die Lösung der Aufgabe ja jetzt auch eher unwichtig.
Das größte Problem habe ich mit der direkten Summe, ich habe damit noch nie gearbeitet und die Definition verstehe ich nicht so ganz.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 So 01.06.2014 | | Autor: | hippias |
> "Am besten bringst Du jetzt erstmal den Rest auf die Reihe,
> dann kann man weiterüberlegen."
>
> Ja, das ist gerade der Grund meiner Frage. Ich habe meine
> Gedanken zu der Aufgabe dargelegt und diese Fragen sind
> dabei offen geblieben und dafür benötige ich nun Hilfe.
>
> Also die Funktion
>
> [mm]f(x)=sin(\pi\cdot x)[/mm]
>
> wäre nicht in der Menge, weil sie keine Nullstelle für
> x=1.5 hat, aber ansonsten ist mir der Einwand natürlich
> klar, dass es nicht unbedingt ein Polynom sein muss.
>
> "Rechne vor, daß sowohl f+g als auch [mm]\lambda[/mm] f Nullstellen
> bei 1, 2, 1.5 haben."
>
> Okay, das macht Sinn, aber dazu bräuchte ich ja erstmal
> eine allgemeine Form dafür, oder? Also das was ich hier
> versucht habe mit dem Polynom auszudrücken.
Die Addition der beiden Vektoren, also hier der beiden Funktionen, hat eine Definition. Wenn Du diese anwendest, erhaelst Du, dass auch die Summe die entsprechenden Nullstellen hat: [mm] $(f+g)(1)=\ldots [/mm] = 0$. Ebenso fuer die Skalarmultiplikation.
>
> "Meinst Du nicht, daß das hier der Körper [mm]\IR[/mm] sein
> soll?"
>
> Ich meine, dass es nahe liegt, dass der Körper [mm]\mathbb{R}[/mm]
> gemeint ist, aber im Endeffekt ist es egal. Es sollte halt
> nur 1, 2 und 3/2 drin enthalten sein...
> Ist für die Lösung der Aufgabe ja jetzt auch eher
> unwichtig.
Ja und nein: Direkte Summen gibt es selbstverstaendlich in Vektorraeumen ueber beliebigen Koerpern. Aber Ableitungen sind schon ziemlich spezielle Konstrukte...
>
> Das größte Problem habe ich mit der direkten Summe, ich
> habe damit noch nie gearbeitet und die Definition verstehe
> ich nicht so ganz.
Stell Dir vielleicht die ueblichen Koordinatenachsen in der Ebene vor: Jeder Punkt ergibt sich, wenn man eine eindeutig bestimmte Anzahl von Schritten auf jeder Achse geht. In diesem Sinne ist die Ebene die direkte Summe der Koordinatenachsen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 So 01.06.2014 | | Autor: | fred97 |
Zu $ [mm] V=U_1\oplus U_2 [/mm] $:
1. ist f [mm] \in U_1 \cap U_2, [/mm] so ist f ein Polynom vom Grade [mm] \le [/mm] 2 mit 3 paarweise verschiedenen Nullstellen. Was folgt für f ?
2. Zu zeigen ist noch: ist f [mm] \in [/mm] V, so ex. eindeutig bestimmte g [mm] \in U_1 [/mm] und h [mm] \in U_2 [/mm] mit: f=g+h.
h hat die Form
[mm] h(x)=ax^2+bx+c.
[/mm]
Frage: wie finden wir a,b, und c ?
Aus f=g+h folgt:
h=f-g,
also: h(1)=f(1), h(2)=f(2) und h(3/2)=f(3/2).
Diese 3 Gleichungen liefern Dir ein LGS für a,b,c. Lösen musst Du das nicht. Schreibe es mal hin und zeige, dass es eindeutig lösbar ist.
Damit haben wir h .
Aus g=f-h folgt dann sofort: g [mm] \in U_1.
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 So 01.06.2014 | | Autor: | YuSul |
"1. ist f $ [mm] \in U_1 \cap U_2, [/mm] $ so ist f ein Polynom vom Grade $ [mm] \le [/mm] $ 2 mit 3 paarweise verschiedenen Nullstellen. Was folgt für f ?"
Dann folgt doch ein Widerspruch, oder?
Wenn der Grad von f höchstens 2 ist, aber sich die Funktion aus drei paarweise verschiedenen Nullstellen zusammensetzt, dann muss f mindestens Grad drei haben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 So 01.06.2014 | | Autor: | hippias |
> "1. ist f [mm]\in U_1 \cap U_2,[/mm] so ist f ein Polynom vom Grade
> [mm]\le[/mm] 2 mit 3 paarweise verschiedenen Nullstellen. Was folgt
> für f ?"
>
> Dann folgt doch ein Widerspruch, oder?
> Wenn der Grad von f höchstens 2 ist, aber sich die
> Funktion aus drei paarweise verschiedenen Nullstellen
> zusammensetzt, dann muss f mindestens Grad drei haben.
Beweise doch einmal diese Behauptung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 So 01.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> "1. ist f [mm]\in U_1 \cap U_2,[/mm] so ist f ein Polynom vom Grade
> [mm]\le[/mm] 2 mit 3 paarweise verschiedenen Nullstellen. Was folgt
> für f ?"
>
> Dann folgt doch ein Widerspruch, oder?
Unsinn ! Es gibt genau ein Polynom vom Grade [mm] \le [/mm] 2, welches 3 paarweise verschiedenen Nullstellen hat.Welches ist das ? Dieses Polynom hat sogar 87 paarweise verschiedenen Nullstellen, es hat auch 123456789 paarweise verschiedenen Nullstellen......
FReD
> Wenn der Grad von f höchstens 2 ist, aber sich die
> Funktion aus drei paarweise verschiedenen Nullstellen
> zusammensetzt, dann muss f mindestens Grad drei haben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 So 01.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Du willst jetzt doch nicht etwa auf so ein Konstrukt hinaus, oder?
[mm] $\frac{(x-1)(x-2)(x-3/2)\cdots(x-a)}{(x-1)(x-2)(x-3/2)\cdots(x-a)}$
[/mm]
Entschuldigung, aber ich sehe nicht welches Polynom du meinst...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 So 01.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Du willst jetzt doch nicht etwa auf so ein Konstrukt
> hinaus, oder?
>
> [mm]\frac{(x-1)(x-2)(x-3/2)\cdots(x-a)}{(x-1)(x-2)(x-3/2)\cdots(x-a)}[/mm]
>
> Entschuldigung, aber ich sehe nicht welches Polynom du
> meinst...
Das Polynom sieht so aus: [mm] ax^2+bx+c [/mm] und hat 3 (!) Nullstellen. Wiefallen a,b und c aus ?
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 So 01.06.2014 | | Autor: | YuSul |
$a=b=c=0$
Naja, ob man hier dann von Nullstellen spricht finde ich fragwürdig.
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> [mm]a=b=c=0[/mm]
>
> Naja, ob man hier dann von Nullstellen spricht finde ich
> fragwürdig.
Wieso fragwürdig?
Wie ist denn "Nullstelle" definiert? Als eine Stelle, an der der Funktionswert =0 ist.
Ich sehe nichts Fragwürdiges. Hab' die Definition befragt, und schon paßt's.
Oder hast Du eine andere Definition?
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 So 01.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Nein habe ich nicht.
Okay, dann nun zu dem LGS.
Es ist ja
h(1)=f(1)
h(2)=f(2)
h(3/2)=f(3/2)
so erhält man die Gleichungen:
[mm] $a+b+c=f(1)=x_1$
[/mm]
[mm] $4a+2b+c=f(2)=x_2$
[/mm]
[mm] $9/4a+3/2b+c=f(3/2)=x_3$
[/mm]
Dies ist eindeutig lösbar, da die Gleichungen linear unabhängig sind.
[mm] $\begin{pmatrix}1&1&1&|x_1\\0&2&3&|4x_1-x_2\\0&0&-\frac{1}{4}&|-\frac32x_1-\frac34x_2-2x_3\end{pmatrix}$
[/mm]
Habe mich jetzt hoffentlich nicht verrechnet.
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> Nein habe ich nicht.
>
> Okay, dann nun zu dem LGS.
>
> Es ist ja
>
> h(1)=f(1)
> h(2)=f(2)
> h(3/2)=f(3/2)
>
> so erhält man die Gleichungen:
>
> [mm]a+b+c=f(1)=x_1[/mm]
> [mm]4a+2b+c=f(2)=x_2[/mm]
> [mm]9/4a+3/2b+c=f(3/2)=x_3[/mm]
>
> Dies ist eindeutig lösbar, da die Gleichungen linear
> unabhängig sind.
>
> [mm]\begin{pmatrix}1&1&1&|x_1\\0&2&3&|4x_1-x_2\\0&0&-\frac{1}{4}&|-\frac32x_1-\frac34x_2-2x_3\end{pmatrix}[/mm]
>
> Habe mich jetzt hoffentlich nicht verrechnet.
Hallo,
ich meine, Du hast einen Vorzeichenfehler in der letzten Zeile.
Rechne einfach nochmal nach.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Mo 02.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Stimmt, es müssten 1/4 sein.
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> Stimmt, es müssten 1/4 sein.
Hallo,
ich weiß nicht genau, was Du mit "es" meinst.
Falls Du das meinst, was ich mir denke, das Du meinen könntest, ist mein Ergebnis immer noch anders.
Aber vielleicht ist ja auch meins falsch.
LG Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Mo 02.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Nein habe ich nicht.
>
> Okay, dann nun zu dem LGS.
>
> Es ist ja
>
> h(1)=f(1)
> h(2)=f(2)
> h(3/2)=f(3/2)
>
> so erhält man die Gleichungen:
>
> [mm]a+b+c=f(1)=x_1[/mm]
> [mm]4a+2b+c=f(2)=x_2[/mm]
> [mm]9/4a+3/2b+c=f(3/2)=x_3[/mm]
>
> Dies ist eindeutig lösbar, da die Gleichungen linear
> unabhängig sind.
Gleichungen können nicht linear unabhängig sein. Du meinst sicher die Zeilen der obigen Koeffizientenmatrix.
Wenn Du zeigst, dass die Det. dieser Matrix [mm] \ne [/mm] 0 ist, bist Du schneller fertig
FRED
>
> [mm]\begin{pmatrix}1&1&1&|x_1\\0&2&3&|4x_1-x_2\\0&0&-\frac{1}{4}&|-\frac32x_1-\frac34x_2-2x_3\end{pmatrix}[/mm]
>
> Habe mich jetzt hoffentlich nicht verrechnet.
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 Mo 02.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Gute Idee, nur nicht unbedingt schneller, da ich im Kopf rechne, da ist die Determinante zu berechnen wahrscheinlich sogar etwas mehr arbeit.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mo 02.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Das LGS ist also eindeutig lösbar.
Ist die Aufgabe damit bereits gelöst?
Ich kann also V als direkte Summe von Elementen aus [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] schreiben.
Dann müsste ich jetzt nur noch die Unterraumkritierien für [mm] $U_1$ [/mm] nachrechnen.
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> Das LGS ist also eindeutig lösbar.
> Ist die Aufgabe damit bereits gelöst?
Hallo,
im Prinzip ja.
Jedenfalls wurden im Verlauf des Threads alle Zutaten der Lösung angesprochen.
Ob Du diese nun sinnvoll kombiniert und aufgeschrieben hast, wissen wir nicht.
> Ich kann also V als direkte Summe von Elementen aus [mm]U_1[/mm] und
> [mm]U_2[/mm] schreiben.
Du kannst V als direkte Summe von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] schreiben.
LG Angela
> Dann müsste ich jetzt nur noch die Unterraumkritierien
> für [mm]U_1[/mm] nachrechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Mo 02.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Gut, und wenn ich nun zeigen möchte, dass [mm] U_1 [/mm] ein Unterraum ist, dann muss ich nur zeigen, dass für f, [mm] g\in U_1 [/mm] beliebig gilt, dass sie bei 1, 2 und 1.5 Nullstellen haben, also
Sei $f, [mm] g\in U_1$ [/mm] beliebig, dann ist
$(f+g)(1)=f(1)+g(1)=0$
usw.
Und dann wäre ich bereits fertig?
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> Gut, und wenn ich nun zeigen möchte, dass [mm]U_1[/mm] ein
> Unterraum ist, dann muss ich nur zeigen, dass für f, [mm]g\in U_1[/mm]
> beliebig gilt, dass sie bei 1, 2 und 1.5 Nullstellen haben,
> also
>
> Sei [mm]f, g\in U_1[/mm] beliebig, dann ist
>
> [mm](f+g)(1)=f(1)+g(1)=0[/mm]
>
> usw.
>
> Und dann wäre ich bereits fertig?
Die die Abgeschlossenheit unter Multiplikation mit Skalaren mußt Du auch noch vormachen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Mo 02.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Die Frage war erstmal nur auf die Abgeschlossenheit der Addition bezogen.
Für die beiden anderen Nullstellen geht es dann Analog und für die Multiplikation mit Skalaren sollte es einfach
[mm] $(a\cdof f)(1)=a\cdot f(1)=a\cdot [/mm] 0=0$
Die anderen Fälle würden dann auch Analog gehen, wenn es so überhaupt richtig ist...
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> Die Frage war erstmal nur auf die Abgeschlossenheit der
> Addition bezogen.
> Für die beiden anderen Nullstellen geht es dann Analog
> und für die Multiplikation mit Skalaren sollte es einfach
>
> [mm](a\cdof f)(1)=a\cdot f(1)=a\cdot 0=0[/mm]
>
Genau.
LG Angela
> Die anderen Fälle würden dann auch Analog gehen, wenn es
> so überhaupt richtig ist...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Mo 02.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Vielen Dank für die Hilfe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Mi 04.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Hätte ich hier um zu zeigen, dass [mm] U_1 [/mm] ein Unterraum ist auch argumentieren können, dass die Elemente von [mm] U_1 [/mm] gerade der Kern sind und der Kern ist ja ein Unterraum?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Mi 04.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hätte ich hier um zu zeigen, dass [mm]U_1[/mm] ein Unterraum ist
> auch argumentieren können, dass die Elemente von [mm]U_1[/mm]
> gerade der Kern sind
Kern von was ????
FRED
> und der Kern ist ja ein Unterraum?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Mi 04.06.2014 | | Autor: | YuSul |
[mm] $U_1=\{f\in V|f(1)=f(2)=f(3/2)=0\}$
[/mm]
Weil f(1), f(2) und f(3/2) auf Null abbilden liegen diese im Kern von [mm] U_1, [/mm] oder vertue ich mich da?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Mi 04.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]U_1=\{f\in V|f(1)=f(2)=f(3/2)=0\}[/mm]
>
> Weil f(1), f(2) und f(3/2) auf Null abbilden liegen diese
> im Kern von [mm]U_1,[/mm] oder vertue ich mich da?
Ja, ganz gewaltig !!!
"Kern von [mm] U_1" [/mm] ist völlig sinnlos ! Sind [mm] $V_1 [/mm] $ und [mm] V_2 [/mm] Vektorräume und [mm] \phi:V_1 \to V_2 [/mm] eine lineare Abbildung, so ist
[mm] Kern(\phi)=\{x \in V_1: \phi(x)=0\}.
[/mm]
Sei nun $ [mm] V=C^{\infty}(0,3) [/mm] $ und [mm] U_1 [/mm] wie in der Aufgabe. Dann könnte man definieren:
[mm] \phi:V \to \IR^3, \quad \phi(f):=(f(1),f(2),f(3/2))^T.
[/mm]
Dann ist [mm] \phi [/mm] linear und [mm] Kern(\phi)=U_1.
[/mm]
Wenn Du damit argumentieren willst, hast Du aber nichts gewonnen, denn der Nachweis, dass [mm] \phi [/mm] linear ist, ist hier nichts anderes als der direkte Nachweis, dass [mm] U_1 [/mm] ein Untervektorraum ist. Probier beide Nachweise mal aus.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Mi 04.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Okay, werde ich tun.
Vielen Dank für die Klarstellung.
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