Unterräume identisch? < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Ally |
| Aufgabe | | Stellen Sie fest, ob die Spalten der Matrix B = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ -2 & -3 & -4\\ 7 & 12 & 17 } [/mm] denselben Unterraum im R3 aufspannen wie die Spalten der Matrix A = [mm] \pmat{ 1 & 3 & 5\\ 1 & 4 & 3\\ 1 & 1 & 9 }. [/mm] |
Kann mir jemand helfen, hab nicht die Idee eines Ansatzes.
Habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Prüf' nach, ob die Spalten linear unabhängig sind (also die Spalten einer Matrix untereinander, nicht die Spalten der verschiedenen Matrizen untereinander - ich hoffe du verstehst, was ich meine ^^).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Ally |
das hab ich. sie sind abhängig. ein maximales unabhängiges system von A ist [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 1} [/mm] und von B [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 7} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ -3 \\ 12}. [/mm] Aber wie bringt mich das jetzt weiter in der Frage, ob sie den selben Unterraum aufspannen?
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> das hab ich. sie sind abhängig. ein maximales unabhängiges
> system von A ist [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] und [mm]\vektor{3 \\ 4 \\ 1}[/mm]
> und von B [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 7}[/mm] und [mm]\vektor{2 \\ -3 \\ 12}.[/mm]
> Aber wie bringt mich das jetzt weiter in der Frage, ob sie
> den selben Unterraum aufspannen?
Hallo,
es hätte ja sein können, daß die beiden Matrizen verschiedenen Rang gehabt hätten, dann wärest Du nämlich fertig gewesen.
Du kannst jetzt z.B. nachschauen, ob Du jeden der beiden B-Vektoren als Linearkomination der beiden A-Vektoren schreiben kannst.
Damit wären die beiden A-Vektoren ein Erzeugendensystem des B-Unterraumes, und da dessen Dimension =2 ist, eine Basis.
Du kannst aber auch was anderes machen: stelle die 4 Vektoren als Spalten in eine Matrix und bestimme den Rang. Ist er =2, so erzeugen die Vektoren denselben Raum.
Im Prinzip kannst Du das auch gleich so machen:
stelle alle 6 Vektoren in eine Matrix, welche Du auf ZSF bringst.
Sind die führenden Elemente der Zeilen in den ersten drei Spalten, so erzeugen die Vektoren v. A und B denselben Raum,
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:00 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Ally |
ach so! *hand vor kopf schlag*. stimmt, hätten sie unterschiedliche ränge, wäre klar, dass sie verschiedene Räume aufspannen.
habe die variante mit den je 2 unabhängigen vektoren probiert. hier also auch rang 2. also ist es derselbe unterraum.
nur: die letzte möglichkeit versteh ich nicht...?
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> ach so! *hand vor kopf schlag*. stimmt, hätten sie
> unterschiedliche ränge, wäre klar, dass sie verschiedene
> Räume aufspannen.
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> habe die variante mit den je 2 unabhängigen vektoren
> probiert. hier also auch rang 2. also ist es derselbe
> unterraum.
>
> nur: die letzte möglichkeit versteh ich nicht...?
Hallo,
mach's einfach mal.
Schreib beide Matrizen als eine 3x6-Matrix, bring sie auf ZSF und zeig' das Ergebnis. Ich zeig' Dir dann, wie Du's ablesen kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Ally |
ok, dann hab ich:
[mm] \vmat{ 1 & 0 & 11 & 10 & 17 & 24 \\ 0 & 1 & -2 & -3 & -5 & -7\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
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> ok, dann hab ich:
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> [mm]\vmat{ 1 & 0 & 11 & 10 & 17 & 24 \\ 0 & 1 & -2 & -3 & -5 & -7\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
Hallo,
Du hast die führenden Elemente in der 1. und 2. Spalte, daraus kannst Du wissen, daß der erste und zweite Spaltenvektor der großen Startmatrix den Raum aufspannen.
Wäre Deine ZSF so gewesen
[mm] \vmat{ 1 & 0 & 11 & 10 & 17 & 24 \\ 0 & 1 & -2 & -3 & -5 & -7\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 },
[/mm]
hättest Du gewußt, daß der 5 Startvektor nicht in dem Raum, der von den ersten dreien aufgspannt wird, liegt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Ally |
super - ich danke dir vielmals!
also wären die spalten, aus denen sich die Identische machen lässt wieder die basisvektoren des raums, in dem fall die ersten beiden. und alle anderen sind linearkombinationen der ersten beiden.
wenn so ne aussage raus kommt, wie bei deinem beispiel, könnte man das ja weiter umformen und hätte dann ne 3 dimensionale basis, bestehend aus 1., 2. und 5. vektor, oder? dann würden doch wieder alle vektoren in dem (3-dimensionalen) raum liegen.
seh ich das richtig?
ach so, ich merk gerad, dann ist es aber ein anderer, als von den matritzen einzeln aufgespannt wird, also wären in deinem fall die räume nicht die selben, ja?
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