Unterräume und Dimension < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Sa 05.11.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | Prüfen Sie, ob die Menge U= { (0,0,0), (1,1,2), (2,2,1) } ein Unterraum von [mm] \IZ_{3}^3 [/mm] ist. Falls ja, welche Dimension hat dieser? |
Okey, also es muss bei einem Unterraum gelten: [mm] U\le\IZ_{3}^3, [/mm] was es zu überprüfen gilt.
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2}+\vektor{2 \\ 2 \\ 1}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0} \in [/mm] U . Wieso kann ich dies so verraussetzen? Weil gleich isses ja nicht, weil das alles Elemente des U sind? Könnte ich also auch schreiben: [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}+\vektor{2 \\ 2 \\ 1}= \vektor{1 \\ 1 \\ 2}?
[/mm]
Weiter wird mit der Überprüfung des Faktores a gemacht:
[mm] 2*\vektor{1 \\ 1 \\ 2}=\vektor{2 \\ 2 \\ 1} \in [/mm] U und [mm] 2*\vektor{2 \\ 2 \\ 1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2} \in [/mm] U und daraus soll folgen: U [mm] \le \IZ_{3}^3 [/mm] , und dies macht für mich wieder keinen Sinn, es ist doch in dem Fall nicht gleich?
Zum Begriff der Dimension: Ist also das minimalste Erzeugungssystem.
U= (Hülle) von [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2}= [/mm] (Hülle) [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 1} [/mm] und daraus folgt [mm] dim_\IZ_3 [/mm] U=1
Nun was soll das bedeuten? Das ich mit nur einem Vektor den VR erzeugen kann, also das es egal ist ob ich den einen oder anderen Vektor nehme?
Ich bedanke mich
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Sa 05.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo durden88,
zunächst zum Verständnis von [mm] $\IZ_3$. [/mm] Ich weiß nicht genau, wie ihr diesen Körper eingeführt habt. Jedenfalls gilt [mm] $\IZ_3=\{0,1,2\}$ [/mm] und in ihm gilt anders als im Körper der reellen Zahlen:
1+2=2+1=0
2+2=1
[mm] $2\cdot [/mm] 2=1$
Nun zur eigentlichen Aufgabe. Die Lösung meiner Meinung nach zu knapp gehalten.
Zu prüfen ist für den Nachweis von [mm] $U\leq \IZ_3^3$:
[/mm]
1. [mm] $0\in [/mm] U$
2. [mm] $v,w\in U\Rightarrow v+w\in [/mm] U$
3. [mm] $a\in \IZ_3, v\in U\Rightarrow a\cdot v\in [/mm] U$.
zu 1.: Wie lautet der Nullvektor von [mm] $\IZ_3^3$? [/mm] Liegt er in U?
zu 2.: Spiele die verschiedenen Fälle für $v,w$ durch.
Der Fall $v=(1,1,2), w=(2,2,1)$ wird hier behandelt:
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+\vektor{2 \\ 2 \\ 1}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0} \in U[/mm]
> Wieso kann ich dies so verraussetzen? Weil gleich isses
> ja nicht,
Doch! Die Rechnung findet ja im [mm] $\IZ_3^3$ [/mm] und nicht im Vektorraum [mm] $\IR^3$ [/mm] statt.
> weil das alles Elemente des U sind? Könnte ich
> also auch schreiben: [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+\vektor{2 \\ 2 \\ 1}= \vektor{1 \\ 1 \\ 2}?[/mm]
Nein. Es gilt [mm] $(0,0,0)+(2,2,1)=(2,2,1)\not=(1,1,2)$.
[/mm]
zu 3.: Spiele auch hier die Fälle für [mm] $\lambda$ [/mm] und $v$ durch.
Die Fälle [mm] $\lambda=2,v=(1,1,2)$ [/mm] und [mm] $\lambda=2,v=(2,2,1)$ [/mm] werden hier behandelt:
> [mm]2*\vektor{1 \\ 1 \\ 2}=\vektor{2 \\ 2 \\ 1} \in[/mm] U und
> [mm]2*\vektor{2 \\ 2 \\ 1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2} \in[/mm] U und
> und dies macht für
> mich wieder keinen Sinn, es ist doch in dem Fall nicht
> gleich?
Doch s.o.
> Zum Begriff der Dimension: Ist also das minimalste
> Erzeugungssystem.
Die Dimension ist die LÄNGE VON den minimalen Erzeugendensystemen. Beachte hierbei: Es gibt nicht nur ein minimales Erzeugendensystem.
> U= (Hülle) von [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2}=[/mm] (Hülle) [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> und daraus folgt [mm]dim_\IZ_3[/mm] U=1
>
> Nun was soll das bedeuten? Das ich mit nur einem Vektor den
> VR erzeugen kann, also das es egal ist ob ich den einen
> oder anderen Vektor nehme?
Genau. (Nur den Nullvektor kannst du nicht nehmen.) Im [mm] $\IR^3$ [/mm] gilt z.B. auch
Hülle von $(1,2,3)=$Hülle von [mm] $(2\cdot(1,2,3))$.
[/mm]
Falls du eine nähere Begründung des Aufgabenteils mit der Dimension suchst, frag bitte nochmal nach.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Sa 05.11.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | Wie viele 1-dimensionale Unterräume hat [mm] \IZ_{3}^3 [/mm] insgesamt? Geben sie zwei dieser Unterräume an! |
> Hallo durden88,
>
> zunächst zum Verständnis von [mm]\IZ_3[/mm]. Ich weiß nicht
> genau, wie ihr diesen Körper eingeführt habt. Jedenfalls
> gilt [mm]\IZ_3=\{0,1,2\}[/mm] und in ihm gilt anders als im Körper
> der reellen Zahlen:
>
> 1+2=2+1=0
> 2+2=1
> [mm]2\cdot 2=1[/mm]
>
Also diese Regeln für Körper merken?!
> Nun zur eigentlichen Aufgabe. Die Lösung meiner Meinung
> nach zu knapp gehalten.
>
> Zu prüfen ist für den Nachweis von [mm]U\leq \IZ_3^3[/mm]:
> 1.
> [mm]0\in U[/mm]
> 2. [mm]v,w\in U\Rightarrow v+w\in U[/mm]
> 3. [mm]a\in \IZ_3, v\in U\Rightarrow a\cdot v\in U[/mm].
>
> zu 1.: Wie lautet der Nullvektor von [mm]\IZ_3^3[/mm]? Liegt er in
> U?
Der Nullvektor ist doch im Vorhinein schon bei U durch [mm] \vektor{0 \\ 0 \\0} [/mm] gegeben oder?
> zu 2.: Spiele die verschiedenen Fälle für [mm]v,w[/mm] durch.
> Der Fall [mm]v=(1,1,2), w=(2,2,1)[/mm] wird hier behandelt:
> > [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+\vektor{2 \\ 2 \\ 1}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0} \in U[/mm]
>
> > Wieso kann ich dies so verraussetzen? Weil gleich isses
> > ja nicht,
> Doch! Die Rechnung findet ja im [mm]\IZ_3^3[/mm] und nicht im
> Vektorraum [mm]\IR^3[/mm] statt.
Also das gilt wegen 2. Punkt der Regel, Nun Was wär, wenn ich die [mm] \IZ= [/mm] (1,2,3) gegeben hätte? Würde dann gelten: 2+3=1 ?
> > weil das alles Elemente des U sind? Könnte ich
> > also auch schreiben: [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+\vektor{2 \\ 2 \\ 1}= \vektor{1 \\ 1 \\ 2}?[/mm]
>
> Nein. Es gilt [mm](0,0,0)+(2,2,1)=(2,2,1)\not=(1,1,2)[/mm].
>
> zu 3.: Spiele auch hier die Fälle für [mm]\lambda[/mm] und [mm]v[/mm]
> durch.
> Die Fälle [mm]\lambda=2,v=(1,1,2)[/mm] und [mm]\lambda=2,v=(2,2,1)[/mm]
> werden hier behandelt:
> > [mm]2*\vektor{1 \\ 1 \\ 2}=\vektor{2 \\ 2 \\ 1} \in[/mm] U und
> > [mm]2*\vektor{2 \\ 2 \\ 1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2} \in[/mm] U und
AHHH gecheckt! Danke
> > und dies macht für
> > mich wieder keinen Sinn, es ist doch in dem Fall nicht
> > gleich?
> Doch s.o.
>
>
> > Zum Begriff der Dimension: Ist also das minimalste
> > Erzeugungssystem.
> Die Dimension ist die LÄNGE VON den minimalen
> Erzeugendensystemen. Beachte hierbei: Es gibt nicht nur ein
> minimales Erzeugendensystem.
>
> > U= (Hülle) von [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2}=[/mm] (Hülle) [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> > und daraus folgt [mm]dim_\IZ_3[/mm] U=1
> >
> > Nun was soll das bedeuten? Das ich mit nur einem Vektor den
> > VR erzeugen kann, also das es egal ist ob ich den einen
> > oder anderen Vektor nehme?
> Genau. (Nur den Nullvektor kannst du nicht nehmen.) Im
> [mm]\IR^3[/mm] gilt z.B. auch
> Hülle von [mm](1,2,3)=[/mm]Hülle von [mm](2\cdot(1,2,3))[/mm].
>
> Falls du eine nähere Begründung des Aufgabenteils mit der
> Dimension suchst, frag bitte nochmal nach.
>
> Viele Grüße
> Tobias
Ich habe zudem noch eine weitere Frage oben angegeben, dazu hier meine Fragen und Anregungen:
Ich denke dazu sind zum einen die Anzahl der Elemente des Körpers von bedeutung [mm] 3^3=27.Aber [/mm] was meinen sie mit 1-dimensional? Also das gilt [mm] \IZ^1? [/mm] Dann gibbet doch 26 Unterräume, also 27-den Nullvektor?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Sa 05.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> > zunächst zum Verständnis von [mm]\IZ_3[/mm]. Ich weiß nicht
> > genau, wie ihr diesen Körper eingeführt habt. Jedenfalls
> > gilt [mm]\IZ_3=\{0,1,2\}[/mm] und in ihm gilt anders als im Körper
> > der reellen Zahlen:
> >
> > 1+2=2+1=0
> > 2+2=1
> > [mm]2\cdot 2=1[/mm]
> >
> Also diese Regeln für Körper merken?!
Sie gelten nur für diesen Körper [mm] $\IZ_3$. [/mm] Du brauchst dir nicht jede einzelne Regel von [mm] $\IZ_3$ [/mm] zu merken, sondern nur [mm] $a+_{\IZ_3}b=(a+_{\IZ}b)\operatorname{mod}3$ [/mm] und $a [mm] \cdot_{\IZ_3}b=(a\cdot_{\IZ}b)\operatorname{mod}3$. [/mm] Vielleicht habt ihr den Körper [mm] $\IZ_3$ [/mm] so eingeführt?
> > zu 1.: Wie lautet der Nullvektor von [mm]\IZ_3^3[/mm]? Liegt er in
> > U?
> Der Nullvektor ist doch im Vorhinein schon bei U durch
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\0}[/mm] gegeben oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau, das ist der Nullvektor von [mm] $\IZ_3^3$ [/mm] und er ist in $U$ nach Definition von $U$.
> > Der Fall [mm]v=(1,1,2), w=(2,2,1)[/mm] wird hier behandelt:
> > > [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+\vektor{2 \\ 2 \\ 1}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0} \in U[/mm]
>
> >
> > > Wieso kann ich dies so verraussetzen? Weil gleich isses
> > > ja nicht,
> > Doch! Die Rechnung findet ja im [mm]\IZ_3^3[/mm] und nicht im
> > Vektorraum [mm]\IR^3[/mm] statt.
> Also das gilt wegen 2. Punkt der Regel, Nun Was wär,
> wenn ich die [mm]\IZ=[/mm] (1,2,3) gegeben hätte? Würde dann
> gelten: 2+3=1 ?
Du meinst, wenn du einen Körper [mm] $K=\{1,2,3\}$ [/mm] gegeben hättest? Dann müsstest du in die Definition dieses Körpers schauen, wie da die Verknüpfungen definiert wären.
> Ich habe zudem noch eine weitere Frage oben angegeben, dazu
> hier meine Fragen und Anregungen:
>
> Ich denke dazu sind zum einen die Anzahl der Elemente des
> Körpers von bedeutung [mm]3^3=27.
Das ist schon einmal eine gute Überlegung.
> Aber[/mm] was meinen sie mit
> 1-dimensional? Also das gilt [mm]\IZ^1?[/mm]
Ein eindimensionaler Unterraum ist ein Unterraum, dessen Basen (=minimale Erzeugendensysteme) Länge 1 haben. Man kann sich überlegen, dass dies gerade die Unterräume der Form
"Hülle von v"
für Vektoren [mm] $v\not=0$ [/mm] sind.
> Dann gibbet doch 26
> Unterräume, also 27-den Nullvektor?
Den Nullvektor lassen wir weg, denn dessen Hülle ist der Nullvektorraum, der 0-dimensional ist.
26 ist noch nicht die Lösung, da
"Hülle von v"="Hülle von w"
für [mm] $v\not=w$ [/mm] gelten kann. Es ist daher zu überlegen, wie viele Vektoren jeweils den gleichen Untervektorraum erzeugen. Jeder Untervektorraum der Form
"Hülle von v"
mit [mm] $v\not=0$ [/mm] hat die Gestalt [mm] \{0\cdot v, 1\cdot v, 2\cdot v\}. [/mm] Wie viele Vektoren kommen als Erzeuger infrage?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Sa 05.11.2011 | | Autor: | durden88 |
Ja dann wohl 26+26 oder? Weil die 0 wird ja nicht mitgezählt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Sa 05.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Ja dann wohl 26+26 oder? Weil die 0 wird ja nicht
> mitgezählt
Nein.
Jeder Untervektorraum der Form [mm] $\mbox{Hülle von }v=\{0\cdot v, 1\cdot v, 2\cdot v\}=\{0, v, 2\cdot v\}$ [/mm] für einen Vektor [mm] $v\not=0$ [/mm] wird von $v$ und [mm] $2\cdot [/mm] v$ erzeugt. Dabei gilt [mm] $v\not=2\cdot [/mm] v$.
Also haben wir jeden eindimensionalen Untervektorraum genau 2 mal gezählt, als wir auf 26 kamen. Daher lautet die tatsächliche Zahl der eindimensionalen Untervektorräume $26/2=13$.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:11 Sa 05.11.2011 | | Autor: | durden88 |
Ah ich verstehe, darauf wär ich im Leben nicht gekommen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Sa 05.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Ah ich verstehe, darauf wär ich im Leben nicht gekommen...
Ich ehrlich gesagt auch nicht... Habe ein ähnliches Argument schon einmal gesehen, daher kam ich darauf.
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