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Liebes Forum,
ich habe hier eine Aufgabe, die ich versucht habe, zu lösen, aber ich bin mir nicht sicher. Außerdem weiß ich nicht genau, wie ich sie genau beweisen soll.
Hier erstmal die Aufgabe:
Seien V ein K-VR, und U ein Unterraum von V, also U [mm] \subseteq [/mm] V. Weiter seien W ein Unterraum von U, also W [mm] \subseteq [/mm] U.
Zeige:
i) U/W ist ein Unterraum von V/W.
ii) (V/W)/(U/W) und V/U sind isomorph.
Ich bin so vorgegangen:Ich weiß, dass W [mm] \subseteq [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] V gilt.
Zur i) erstmal: U/W [mm] \subseteq [/mm] V/W , das stimmt doch, oder?
Also folgt: x+W [mm] \subseteq [/mm] v+V für alle x [mm] \in [/mm] U und [mm] v\in [/mm] V.
D.h. doch nun, dass es ein v' [mm] \in [/mm] V gibt, sodass u+W = v'+W gilt, da U [mm] \subseteq [/mm] V ist, stimmt das? Also gilt, dass u-v' [mm] \in [/mm] W ist. Daraus folt doch, dass u [mm] \in [/mm] W und v' [mm] \in [/mm] W, wobei auch u [mm] \in [/mm] U und v' [mm] \in [/mm] V.
Daraus folgt doch, dass W [mm] \subseteq [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] V ist. Kann ich so beweisen? Oder ist das voll falsch?
Dann folgt doch die Behauptung, dass u+W [mm] \subseteq [/mm] v' [mm] \in [/mm] W. Aber wie bekomme ich jetzt das allgemeine v und nicht das v'?
Bei der ii) weiß ich dass, ich Wohldefiniertheit, Linearität, Bijektivät ziegen muss, aber ich komm mit der Schreibweise (V/W)/(U/W) nicht klar, was bedeutet das? Wie geht man hier am besten vor?
Danke für die Hilfe.
Wetterfrosch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 Mi 02.02.2005 | | Autor: | pjoas |
zu ii) schau mal unter https://matheraum.de/read?i=41146 bzw. dem 2. Isomorphiesatz nach
Gruß, Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 So 06.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nochmal zur (i), die (ii) findet man ja hier im Forum, wie zurecht angemerkt.
Die Beziehung
$U/W [mm] \subset [/mm] V/W$
ist ja wegen $U [mm] \subset [/mm] V$ offensichtlich.
Denn für $u + W [mm] \in [/mm] U/W$ gilt: $u [mm] \in [/mm] U$, also: $u [mm] \in [/mm] V$ und daher: $u+W [mm] \in [/mm] V/W$.
Jetzt müssen wir die Unterraumkriterien nachprüfen.
Natürlich gilt wegen $0 [mm] \in [/mm] U$ (da $U$ ein Unterraum ist) auch: $0+W [mm] \in [/mm] U/W$.
Es seien nun [mm] $u+W,\, [/mm] u' +W [mm] \in [/mm] U/W$ sowie [mm] $\lambda,\lambda' \in \IK$ [/mm] beliebig gewählt.
Dann gilt (nach Definition der Operationen im Quotientenraum $U/W$)_
[mm] $\lambda \cdot [/mm] (u+W) + [mm] \lambda' \cdot [/mm] (u'+W) = [mm] (\lambda \cdot [/mm] u + [mm] \lambda' \cdot [/mm] u') + W$.
Da $U$ ein Unterraum von $V$ ist, gilt aber:
[mm] $\lambda \cdt [/mm] u + [mm] \lambda' \cdot [/mm] u' [mm] \in [/mm] U$,
und daher:
[mm] $\lambda \cdot [/mm] (u+W) + [mm] \lambda' \cdot [/mm] (u'+W) = [mm] (\lambda \cdot [/mm] u + [mm] \lambda' \cdot [/mm] u') + W [mm] \in [/mm] U/W$.
Damit ist die (i) jetzt auch gezeigt, sehr ausführlich. 
Viele Grüße
Stefan
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