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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Di 07.07.2009 | | Autor: | notinX |
| Aufgabe | Sei [mm] U\subseteq [/mm] V ein Unterraum des K-Vektorraums V. Wir definieren die Relation ~ auf [mm] V\times [/mm] V mit a~b, genau dann wenn [mm] a-b\in [/mm] U
a) Zeigen Sie, dass ~ eine Äquvalenzrelation ist.
b) Zeigen Sie, dass folgende Addition und Skalar-Multiplikation
[mm] $[x]_{\sim} \oplus[y]_{\sim}:=[x+y]_{\sim} \quad \lambda\odot[x]_{\sim}:=[\lambda\cdot x]_{\sim}$
[/mm]
auf der Menge der Restklassen bzgl. ~ wohldefiniert ist.
c) Zeigen Sie, dass die Menge der Restklassen mit dieser Addition und Multiplikation ein Vektorraum ist. |
a) Für eine Äquvalenzrelation sind folgende Eigenschaften zu prüfen:
-Reflexivität:
z.z.: [mm] a\sim a\Leftrightarrow a-a\in [/mm] U
Bew: Sei [mm] a\in [/mm] V
a-a=0 und der Nullvektor ist immer Element eines Untervektorraums
-Symmetrie:
z.z.: $a-b [mm] \in U\Rightarrow [/mm] b-a [mm] \in [/mm] U$
Da Unterräume bezügl. Addition und Multiplikation abgeschlossen sind gilt: [mm] \lambda(a-b)\in [/mm] U
wähle [mm] \lambda=-1 \Rightarrow \underbrace{(-1)(a-b)}_{\in U}=-a+b=b-a
[/mm]
-Transivität:
z.z.: [mm] $a\sim b\wedge b\sim c\Rightarrow a\sim [/mm] c$
Ist das richtig und wie zeige ich die Transivität?
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> Sei [mm]U\subseteq[/mm] V ein Unterraum des K-Vektorraums V. Wir
> definieren die Relation ~ auf [mm]V\times[/mm] V mit a~b, genau dann
> wenn [mm]a-b\in[/mm] U
> a) Zeigen Sie, dass ~ eine Äquvalenzrelation ist.
> b) Zeigen Sie, dass folgende Addition und
> Skalar-Multiplikation
> [mm][x]_{\sim} \oplus[y]_{\sim}:=[x+y]_{\sim} \quad \lambda\odot[x]_{\sim}:=[\lambda\cdot x]_{\sim}[/mm]
>
> auf der Menge der Restklassen bzgl. ~ wohldefiniert ist.
> c) Zeigen Sie, dass die Menge der Restklassen mit dieser
> Addition und Multiplikation ein Vektorraum ist.
> a) Für eine Äquvalenzrelation sind folgende
> Eigenschaften zu prüfen:
Hallo,
> -Reflexivität:
> z.z.: [mm]a\sim a\Leftrightarrow a-a\in[/mm] U
> Bew: Sei [mm]a\in[/mm] V
> a-a=0 und der Nullvektor ist immer Element eines
> Untervektorraums,
also ist [mm] a\sim [/mm] a.
> -Symmetrie:
> z.z.: [mm]a-b \in U\Rightarrow b-a \in U[/mm]
Bew. Seien a,b [mm] \in [/mm] V mit [mm] a\sim [/mm] b
==> [mm] a-b\in [/mm] U.
> Da Unterräume
> bezügl. Addition und Multiplikation abgeschlossen sind
> gilt: [mm]\lambda(a-b)\in[/mm] U
> wähle [mm]\lambda=-1 \Rightarrow \underbrace{(-1)(a-b)}_{\in U}=-a+b=b-a[/mm],
also ist [mm] b\sim [/mm] a.
Ja, so kannst Du es machen.
Du kannst Dich aber auch darauf berufen, daß U eine Gruppe bzgl + ist, mit a-b also auch das Inverse -(a-b)=b-a in U ist.
>
> -Transivität:
> z.z.: [mm]a\sim b\wedge b\sim c\Rightarrow a\sim c[/mm]
Seien a,b,c [mm] \in [/mm] V mit [mm] a\sim [/mm] b und [mm] b\sim [/mm] c
==> [mm] a-b\in [/mm] U und b-c [mm] \in [/mm] U
Du hast oben ja schon geschrieben, daß U bzgl. der Addition abgeschlossen ist. Dann addier sie doch einfach mal...
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Tip zu b)
[mm] [x]_{\sim} [/mm] ist die Äquivalenzklasse von x. Da sind alle Elemente drin, die zu x äquivalent [mm] (\sim) [/mm] sind.
Wenn [mm] x\sim [/mm] z, dann ist [mm] z\in [x]_{\sim} [/mm] .
Du kannst Dir überlegen, daß [mm] [x]_{\sim} [/mm] = [mm] [z]_{\sim}. [/mm] (Hängt mit der Äquivalenzrelation zusammen und wurde sicher in der VL behandelt.)
x und z sind beide Repräsentanten der Äquivalenzklasse.
Wir nähern uns dem springenden Punkt:
bei der Wohldefiniertheit geht es um die Repräsentantenunabhängigkeit.
Es darf ja nicht passieren, daß für [mm] [x_1]_{\sim} [/mm] = [mm] [x_2]_{\sim} [/mm] und [mm] [y_1]_{\sim} [/mm] = [mm] [y_2]_{\sim} [/mm] bei den Additionen [mm] [x_1]_{\sim} \oplus [y_1]_{\sim} [/mm] und [mm] [x_2]_{\sim} \oplus [y_2]_{\sim} [/mm] etwas Verschiedenes herauskommt.
Zu zeigen ist also hier für die Wohldefiniertheit :
[mm] [x_1]_{\sim} [/mm] = [mm] [x_2]_{\sim} [/mm] und [mm] [y_1]_{\sim} [/mm] = [mm] [y_2]_{\sim} [/mm]
==> [mm] [x_1]_{\sim} \oplus [y_1]_{\sim} [/mm] = [mm] [x_2]_{\sim} \oplus [y_2]_{\sim}. [x_1]_{\sim} [/mm] = [mm] [x_2]_{\sim}
[/mm]
Für die Multiplikation
[mm] [x_1]_{\sim} [/mm] = [mm] [x_2]_{\sim} [/mm] und [mm] \lambda\in [/mm] K ==> [mm] \lambda [x_1]_{\sim} [/mm] = [mm] \lambda [x_2]_{\sim}
[/mm]
c) ist dann Nachrechnen der VR-Axiome.
Gruß v. Angela
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