Unterräume von IR < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, weiß jemand wie man leicht zeigen kann, dass die einzigen Unterräume von dem [mm] \IR [/mm] - Vektorraum [mm] \IR [/mm] die trivialen Unterräume {0} und [mm] \IR [/mm] sind.
Danke für eure Hilfe.
Grüße mathmetzsch
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Salut!
Vielleicht liege ich jetzt ja komplett daneben, aber war es nicht immer so, dass Unterräume die Vektorraumaxiome (u. a. Abgeschlossenheit unter Addition und Multiplikation sowie Existenz eines neutralen und inversen Elements etc. pp.) erfüllen müssen?
Davon ausgehend wäre es meines Erachtens möglich, die Nichtexistenz weiterer außer der genannten zwei trivialen Unterräume per Widerspruch zu zeigen, à la:
Seien [mm] r_{1}...r_{n} [/mm] paarweise verschiedene, reelle Zahlen. Sei [mm] {r_{1},...,r_{n}} [/mm] ein von den genannten Unterräumen verschiedener, weiterer Unterraum.
Da [mm] r_{1}...r_{n} [/mm] aus [mm] \IR [/mm] und paarweise verschieden, ist es möglich, darüber eine Äquivalenzrelation ">" zu definieren.
Sei nun [mm] r_{i} [/mm] > [mm] r_{1},...,r_{n} [/mm] ohne [mm] r_{i} [/mm] (also die größte reele Zahl).
Nun addiert man eine beliebige reelle Zahl aus dem Unterraum zu [mm] r_{i}.
[/mm]
Das Ergebnis ist größer als [mm] r_{i}, [/mm] jedoch ist [mm] r_{i} [/mm] das größte Element des Unterraums. Somit ist das Ergebnis nicht Element des Unterraums und die Abgeschlossenheit gegenüber der Addition verletzt.
=> Widerspruch zu Annahme
Für [mm] \IR [/mm] und {0} kannst du nun noch der Vollständigkeit halber die Gültigkeit der Axiome zeigen (was aber eigentlich o. B. d. A. trivial ist... :) ), und somit sollte der Beweis erbracht sein - hoffe ich...
Au revoir!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 So 12.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> Vielleicht liege ich jetzt ja komplett daneben, aber war es
> nicht immer so, dass Unterräume die Vektorraumaxiome (u. a.
> Abgeschlossenheit unter Addition und Multiplikation sowie
> Existenz eines neutralen und inversen Elements etc. pp.)
> erfüllen müssen?
Ja.
> Davon ausgehend wäre es meines Erachtens möglich, die
> Nichtexistenz weiterer außer der genannten zwei trivialen
> Unterräume per Widerspruch zu zeigen, à la:
Besser: Angenommen es ist nicht der Null-raum, dann ist es schon der ganze. (Denn dann gibt es ein element ungleich 0, also ... Idee?)
> Seien [mm]r_{1}...r_{n}[/mm] paarweise verschiedene, reelle Zahlen.
> Sei [mm]{r_{1},...,r_{n}}[/mm] ein von den genannten Unterräumen
> verschiedener, weiterer Unterraum.
Was willst du hier? Ein Unterraum hat im Allgemeinen auch unendlich viele Elemente, was soll der "verschiedene" Unterraum sein? Eine endliche Menge ist i.a. kein Unterraum.
> Da [mm]r_{1}...r_{n}[/mm] aus [mm]\IR[/mm] und paarweise verschieden, ist es
> möglich, darüber eine Äquivalenzrelation ">" zu
> definieren.
Einfach irgendeine oder wie? Oder doch Größer?
> Sei nun [mm]r_{i}[/mm] > [mm]r_{1},...,r_{n}[/mm] ohne [mm]r_{i}[/mm] (also die
> größte reele Zahl).
> Nun addiert man eine beliebige reelle Zahl aus dem
> Unterraum zu [mm]r_{i}.[/mm]
> Das Ergebnis ist größer als [mm]r_{i},[/mm] jedoch ist [mm]r_{i}[/mm] das
> größte Element des Unterraums. Somit ist das Ergebnis nicht
> Element des Unterraums und die Abgeschlossenheit gegenüber
> der Addition verletzt.
Du hast gerade beweisen, daß deine Menge von oben kein Unterraum war. Das zeigt natürlich nicht, welche Unterräume es tatsächlich gibt. Dein Argument geht quasi so in jedem [m]\IR^n[/m], die ja bekanntlich mehrere echte Unterräume haben.
> Für [mm]\IR[/mm] und {0} kannst du nun noch der Vollständigkeit
> halber die Gültigkeit der Axiome zeigen (was aber
> eigentlich o. B. d. A. trivial ist... :) ), und somit
> sollte der Beweis erbracht sein - hoffe ich...
Welche Axiome? Von was? Vektorraum? Ordnungs?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 So 12.06.2005 | | Autor: | jeu_blanc |
Tja, damit sieht es wohl so aus, als wäre es beim "Antwortversuch" geblieben.
Entschuldige bitte, mathmetzsch, aber vielleicht kann dir ja einer der anderen weiterhelfen!
Au revoir!
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