Unterräume von R^N < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:07 So 08.11.2009 | | Autor: | r2d2 |
| Aufgabe | Gegeben ist der Vektorraum [mm]\IR^{\IN}[/mm] aller Folgen [mm]\IN\to\IR[/mm]. Welche der folgenden Mengen sind Unterräume?
(a) Die Menge aller nach oben beschränkten Folgen
(b) Die Menge aller konvergenter Folgen
(c) Die Menge aller divergenten Folgen
(d) Die Menge aller Nullfolgen
(e) Die Menge aller Folgen mit [mm]\limes_{I\rightarrow\infty}a_{i} = 1[/mm]
(f) Die Menge aller konstanten Folgen
(g) Die Menge aller Folgen [mm](a_{i})_{i\in\IN}[/mm], bei denen endlich viele [mm]a_i[/mm] gleich 0 sind.
(h) Die Menge aller periodischen Folgen [mm](a_{i})_{i\in\IN}[/mm]; d.h es gibt natürliche Zahlen [mm] n_{a} > 0[/mm] mit [mm] a_{i} = a_{i+n_{a}}[/mm] für alle [mm]i\in\IN[/mm]
(i) Die Menge aller gemischt periodischen Folgen [mm](a_{i})_{i\in\IN}[/mm]; d.h. es gibt natürliche Zahlen [mm] n_{a} > 0, m_{a}\ge 0[/mm] mit [mm] a_{i} = a_{i+n_{a}}[/mm] für alle [mm] i \in \left{ m_{a}, m_{a}+1,...}\subset\IN[/mm].
(j) Die Menge aller arithmetischen Folgen.
(k) Die Menge aller geometrischen Folgen.
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Hallo,
ich habe mir bereits (a) bis (e) überlegt.
Die Beispiele ab (f) wären für mich auch Unterräume, da sich meiner Meinung nach die erklärten Einschränkungen nicht von bereits bewiesenen Unterräumen aus den ersten 5 Nummern relevant unterscheiden.(z.B. sehe ich keinen Unterschied bei (c) und (g) für die Eigenschaft des Unterraums)
Ich verstehe nicht wie sich die Einschränkungen in (f)-(k) so grob von bereits berechneten unterscheiden sollen - oder beachte ich ein paar Feinheiten der spezielleren Folgen nicht?
Unterraumkriterium:
U ist genau dann ein Unterraum von V , wenn gilt:
1. [mm] U\not= \{\}[/mm]
2. [mm] a, b \in U \wedge \lambda \in\IK \Rightarrow a + b \in U \wedge \lambda *a \in U[/mm]
Meine Lösungen:
(a) kein Unterraum: [mm]a,b \in U; a + b \ge c_{a} \Rightarrow a + b \not\in U[/mm]
(b) ist Unterraum
(c) ist Unterraum
(d) kein Unterraum: [mm]a,b \in U; a + b = 0 \not\in U[/mm]
(e) kein Unterraum: [mm]a,b \in U; a + b = 1 \not\in U[/mm]
(f) - (k) ?
wären für mich alle Unterräume. Mir fällt nichts ein, was für diese Folgen gelten würde, was für (b),(c) nicht gilt (das Unterraumkriterium betreffend).
Kann mir jemand helfen oder meine Idee bekräftigen?
Grüße,
Daniel
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum/auf keiner anderen Webseite gestellt.
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> Gegeben ist der Vektorraum [mm]\IR^{\IN}[/mm] aller Folgen
> [mm]\IN\to\IR[/mm]. Welche der folgenden Mengen sind Unterräume?
> (a) Die Menge aller nach oben beschränkten Folgen
> (b) Die Menge aller konvergenter Folgen
> (c) Die Menge aller divergenten Folgen
> (d) Die Menge aller Nullfolgen
> (e) Die Menge aller Folgen mit
> [mm]\limes_{I\rightarrow\infty}a_{i} = 1[/mm]
> (f) Die Menge aller
> konstanten Folgen
> (g) Die Menge aller Folgen [mm](a_{i})_{i\in\IN}[/mm], bei denen
> endlich viele [mm]a_i[/mm] gleich 0 sind.
> (h) Die Menge aller periodischen Folgen [mm](a_{i})_{i\in\IN}[/mm];
> d.h es gibt natürliche Zahlen [mm]n_{a} > 0[/mm] mit [mm]a_{i} = a_{i+n_{a}}[/mm]
> für alle [mm]i\in\IN[/mm]
> (i) Die Menge aller gemischt periodischen Folgen
> [mm](a_{i})_{i\in\IN}[/mm]; d.h. es gibt natürliche Zahlen [mm]n_{a} > 0, m_{a}\ge 0[/mm]
> mit [mm]a_{i} = a_{i+n_{a}}[/mm] für alle [mm]i \in \left{ m_{a}, m_{a}+1,...}\subset\IN[/mm].
>
> (j) Die Menge aller arithmetischen Folgen.
> (k) Die Menge aller geometrischen Folgen.
>
> Hallo,
>
> ich habe mir bereits (a) bis (e) überlegt.
> Die Beispiele ab (f) wären für mich auch Unterräume, da
> sich meiner Meinung nach die erklärten Einschränkungen
> nicht von bereits bewiesenen Unterräumen aus den ersten 5
> Nummern relevant unterscheiden.(z.B. sehe ich keinen
> Unterschied bei (c) und (g) für die Eigenschaft des
> Unterraums)
>
> Ich verstehe nicht wie sich die Einschränkungen in (f)-(k)
> so grob von bereits berechneten unterscheiden sollen - oder
> beachte ich ein paar Feinheiten der spezielleren Folgen
> nicht?
>
> Unterraumkriterium:
> U ist genau dann ein Unterraum von V , wenn gilt:
> 1. [mm]U\not= \{\}[/mm]
> 2. [mm]a, b \in U \wedge \lambda \in\IK \Rightarrow a + b \in U \wedge \lambda *a \in U[/mm]
>
> Meine Lösungen:
> (a) kein Unterraum: [mm]a,b \in U; a + b \ge c_{a} \Rightarrow a + b \not\in U[/mm]
>
> (b) ist Unterraum
> (c) ist Unterraum
> (d) kein Unterraum: [mm]a,b \in U; a + b = 0 \not\in U[/mm]
> (e)
> kein Unterraum: [mm]a,b \in U; a + b = 1 \not\in U[/mm]
>
> (f) - (k) ?
> wären für mich alle Unterräume. Mir fällt nichts ein,
> was für diese Folgen gelten würde, was für (b),(c) nicht
> gilt (das Unterraumkriterium betreffend).
>
> Kann mir jemand helfen oder meine Idee bekräftigen?
>
> Grüße,
> Daniel
Hallo Daniel,
das ist ja gerade ein ansehnliches Paket ...
Einverstanden bin ich mit deinen Antworten zu (b) und (e).
Bei (a),(c) und (d) komme ich aber zum gegenteiligen
Resultat.
Das Beispiel (i) habe ich noch nicht untersucht.
(k) liefert bestimmt keinen Unterraum.
Vorläufig mal so viel.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 So 08.11.2009 | | Autor: | r2d2 |
Hallo,
(a) habe ich nochmal überdacht --> ist Unterraum
(c) ich verstehe nicht, warum das kein Unterraum sein soll. ich kann doch irgendwelche beliebigen reellen Zahlen aneinanderreihen. Ist die Menge der divergenten Folgen nicht gleich den reellen Zahlen und somit trivialer Unterraum?
(d) ich weiß nicht, wie die Menge aller Nullfolgen ein Unterraum sein kann: zB. habe ich die harmonische Folge [mm]x_{n}=\bruch{1}{n}[/mm] und eine weitere [mm]y_{n}=\bruch{-1}{n}[/mm] (beide Folgen sind Nullfolgen), somit [mm]x_{1}+y_{1}=1+(-1)=0\not\in U[/mm]. oder mach ich etwas falsch?
(k) da habe ich leider vergessen die ganze Aufgabenstellung anzuschreiben:
> (k) Die Menge aller geometrischen Folgen [mm](a_{i})_{i\in\IN}[/mm]; d.h. [mm]a_{i} = a_{0}*q_{a}^{i}, q_{a} \in\IR^{\times}[/mm]
Diese Definition versteh ich nicht ganz, weil laut meinem Buch gilt [mm]x_{n}=q^{n}[/mm] für die geometrische Folge und diese konvergiert gegen Null (somit ähnlich wie (d)). Nach der Definition in der Angabe kann aber [mm]a_{0}=0[/mm] gewählt werden und somit ist auch 0 enthalten.
Die restlichen Aufgaben muss ich mir nochmals anschauen.
Lg, Daniel
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> Hallo,
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> (a) habe ich nochmal überdacht --> ist Unterraum ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(ja, die obere Schranke der neuen Folge darf ohne weiteres
größer sein als die OS der Folgen, aus welchen man sie
gemacht hat)
> (c) ich verstehe nicht, warum das kein Unterraum sein
> soll. ich kann doch irgendwelche beliebigen reellen Zahlen
> aneinanderreihen. Ist die Menge der divergenten Folgen
> nicht gleich den reellen Zahlen und somit trivialer
> Unterraum?
Die Summe von zwei divergenten Folgen muss
keineswegs wieder divergent sein.
Beispiel: $\ [mm] a_n=n\qquad b_n=5-n\qquad c_n=a_n+b_n=5$
[/mm]
> (d) ich weiß nicht, wie die Menge aller Nullfolgen ein
> Unterraum sein kann: zB. habe ich die harmonische Folge
> [mm]x_{n}=\bruch{1}{n}[/mm] und eine weitere [mm]y_{n}=\bruch{-1}{n}[/mm]
> (beide Folgen sind Nullfolgen), somit
> [mm]x_{1}+y_{1}=1+(-1)=0\not\in U[/mm]. oder mach ich etwas falsch?
Es ist sogar [mm] x_n+y_n=0 [/mm] für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Die
Summenfolge ist also die Folge aus lauter Nullen,
und die ist ja die absolut "nulligste" Nullfolge !
> (k) da habe ich leider vergessen die ganze Aufgabenstellung
> anzuschreiben:
> > (k) Die Menge aller geometrischen Folgen
> [mm](a_{i})_{i\in\IN}[/mm]; d.h. [mm]a_{i} = a_{0}*q_{a}^{i},\qquad q_{a} \in\IR^{\times}[/mm]
Mit dem [mm] \IR^{\times} [/mm] ist wohl [mm] \IR\backslash\{0\} [/mm] gemeint ...
[mm] q_a [/mm] bedeutet, dass jede Folge einen eigenen
(der Folge a zugehörigen) Quotienten haben
darf. Wenn wir nun z.B. die Folgen
a= <1,2,4,8,16, .....>
b= <1,3,9,27,81, .....>
addieren, so erhalten wir die Folge c=a+b mit
c= <2,5,13,35,97, .....>
welche offensichtlich nicht geometrisch ist.
> Diese Definition versteh ich nicht ganz, weil laut meinem
> Buch gilt [mm]x_{n}=q^{n}[/mm] für die geometrische Folge und diese
> konvergiert gegen Null (somit ähnlich wie (d)).
Das glaube ich nicht. Es sollte z.B. heißen
[mm] x_n=x_0*q^n
[/mm]
und diese Folge konvergiert nur dann,
wenn entweder [mm] x_0=0 [/mm] oder |q|<1 ist.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Mo 09.11.2009 | | Autor: | r2d2 |
Danke, für die Erklärung.
Jetzt weiß ich, wo mein Fehler lag. Ich habe Menge aller Folgen mit Menge aller Folgenglieder von den jeweiligen Folgen verwechselt.
Meine Lösungen sind:
a ja
b ja
c nein
d ja
e nein
f ja
g ja
h ja
i ja
j ja
k nein
Ich hoffe, das stimmt so.
Lg,
Daniel
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> Danke, für die Erklärung.
> Jetzt weiß ich, wo mein Fehler lag. Ich habe Menge aller
> Folgen mit Menge aller Folgenglieder von den jeweiligen
> Folgen verwechselt.
>
> Meine Lösungen sind:
> a ja
> b ja
> c nein
> d ja
> e nein
> f ja
> g ja
> h ja
> i ja
> j ja
> k nein
>
> Ich hoffe, das stimmt so.
>
> Lg,
> Daniel
Bei (i) mit den "gemischt periodischen Folgen" hatte
ich zuerst doch gewisse Zweifel, doch vermutlich hast
du Recht. Hast du dafür aber auch einen Beweis klipp
und klar notiert ?
Denk dran, dass die Folgen, die man addiert, unter-
schiedliche Periodenlängen haben können und mög-
licherweise ab ganz unterschiedlichen Indices über-
haupt periodisch sind.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Mo 09.11.2009 | | Autor: | r2d2 |
Einen schönen formalen Beweis zu (i) habe ich leider keinen.
Aber da für die periodischen Folgen (h) gilt, dass die Summe der Folge <a> +<b> = <c>, wobei für die Periodenlänge gilt [mm]n_{a}=x, n_{b}=y \Rightarrow n_{c}=kgV(n_{a},n_{b})[/mm].
Und für die Summe der gemischt periodischen kann man das übernehmen: wenn die Anfangspunkte der Perioden der beiden Folgen zusammengezählt werden, sind wir bei (h) und haben eine Periode.
Und bevor das so weit ist (vor [mm]m_{a}[/mm]), haben wir einfach den unspannenden Teil der gemischt periodischen Folge.
z.B.
[mm]= <0,1,2,3,4,3,4,3,4,3,4,...> (n_{a}=2, m_{a}=4), =<8,0,1,2,0,1,2,0,1,2,0,1,2,...> (n_{b}=3, m_{b}=2)[/mm]
[mm]+==<8,1,3,5,4,4,6,[Beginn der Periode]3,5,5,4,4,6,[Ende]...> (n_{c}=6, m_{c}=8)[/mm]
in diesem Fall werden beim 8. Folgenglied die beiden Anfangspunkte der Perioda zusammengezählt und die restliche Folge verläuft analog zu (h)
also [mm]n_{c}=6= kgV(n_{a},n_{b})[/mm]
Wie ich auf eine "Formel" für [mm]m_{c}[/mm] komme bzw. schöne beweise, dass die Menge aller gemischt periodischen Folgen ein Unterraum ist, weiß ich leider auch nicht.
Jedenfalls muss es (meiner Überlegung nach) irgendein (endliches) Folgenglied in einem beliebigen [mm][/mm] geben, wo der nicht-periodische Teil der Folge abbricht und der periodische beginnt.
Lg,
Daniel
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> Einen schönen formalen Beweis zu (i) habe ich leider
> keinen.
Guten Abend Daniel,
ich denke, die wesentlichen Gedanken hast du
jedenfalls. Übrigens können nicht nur streng
"formale" Beweise schön sein, sondern auch
solche, die in Worten gut formuliert sind und
die Kerngedanken klar rüberbringen.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 11.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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