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| Aufgabe | Sei U={ [mm] {{\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}}\in\IR^{3}: x_{1}+x_{2}+x_{3}=0} [/mm] }.
a.) Zeigen Sie, dass U ein Unterraum von [mm] \IR^{3} [/mm] mit geordneter Basis [mm] B=(\vektor{1\\-1\\0}, \vektor{0\\1\\-1}) [/mm] ist.
b.) Sei die lineare Abbildung [mm] A:U\to [/mm] U durch
[mm] A\vektor{1\\-1\\0}=\vektor{0\\1\\-1} [/mm] und [mm] A\vektor{0\\1\\-1}=\vektor{1\\-1\\0} [/mm] definiert. Finden Sie [mm] _{B}A_{B}, [/mm] die Eigenwerte und Eigenvektoren von A. |
ich fang mal an...ich habe gelernt:
U ist ein Unterraum (Teilraum) von [mm] \IR^{3}, [/mm] falls U bzgl. der auf [mm] \IR^{3} [/mm] gegebenen Addition und skalaren Multiplikation ein K-Vektorraum ist.
Schreibe: [mm] U\le\IR^{3} [/mm] und [mm] U<\IR^{3}, [/mm] falls [mm] U\subset\IR^{3}.
[/mm]
weiterhin kennt man das Unterraumkriterium:
(1) [mm] u_{1}+u_{2}\in [/mm] U für alle [mm] u_{1}, u_{2}\in [/mm] U
(2) [mm] k*{u}\in [/mm] U für alle [mm] k\in [/mm] K, für alle [mm] u\in [/mm] U
Nur irgendwie fehlt mir jetzt der erste Schritt wie ich die Sache angehen kann, könnte mir jemand nen Tipp geben? Lieben Gruß
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Tigerlilli,
> Sei U={ [mm]{{\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}}\in\IR^{3}: x_{1}+x_{2}+x_{3}=0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }.
>
> a.) Zeigen Sie, dass U ein Unterraum von [mm]\IR^{3}[/mm] mit
> geordneter Basis [mm]B=(\vektor{1\\-1\\0}, \vektor{0\\1\\-1})[/mm]
> ist.
>
> b.) Sei die lineare Abbildung [mm]A:U\to[/mm] U durch
>
> [mm]A\vektor{1\\-1\\0}=\vektor{0\\1\\-1}[/mm] und
> [mm]A\vektor{0\\1\\-1}=\vektor{1\\-1\\0}[/mm] definiert. Finden Sie
> [mm]_{B}A_{B},[/mm] die Eigenwerte und Eigenvektoren von A.
> ich fang mal an...ich habe gelernt:
>
> U ist ein Unterraum (Teilraum) von [mm]\IR^{3},[/mm] falls U bzgl.
> der auf [mm]\IR^{3}[/mm] gegebenen Addition und skalaren
> Multiplikation ein K-Vektorraum ist.
>
> Schreibe: [mm]U\le\IR^{3}[/mm] und [mm]U<\IR^{3},[/mm] falls
> [mm]U\subset\IR^{3}.[/mm]
>
> weiterhin kennt man das Unterraumkriterium:
>
> (1) [mm]u_{1}+u_{2}\in[/mm] U für alle [mm]u_{1}, u_{2}\in[/mm] U
> (2) [mm]k*{u}\in[/mm] U für alle [mm]k\in[/mm] K, für alle [mm]u\in[/mm] U
>
> Nur irgendwie fehlt mir jetzt der erste Schritt wie ich die
> Sache angehen kann, könnte mir jemand nen Tipp geben?
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung [mm]x_{1}+x_{2}+x_{3}=0[/mm].
Schreibe also diese Gleichung in Parameterform.
[mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\pmat{\cdots \\ \cdots \\ \cdots} + r* \pmat{\cdots \\ \cdots \\ \cdots} + s*\pmat{\cdots \\ \cdots \\ \cdots}[/mm]
> Lieben Gruß
Gruß
MathePower
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eine möglichkeit, wäre z.b. drei einfache punkte zu finden, die diese gleichung erfüllen. einfach zwei werte einsetzen, der dritte ergibt sich ja dann automatisch:
x+y+z=0
a) x=1, y=0 --> z=-1 --> a = (1,0,-1)
b) x=1, y=1 --> z=-2 --> b = (1,1,-2)
c) x=0, y=1 --> z=-1 --> c = (0,1,-1)
aus diesem drei punkten kann ich dann die parameterform x = a + r*(c-a) + s*(b-a) mit [mm] r,s\in [/mm] R aufstellen.
das ist dann...
[mm] \vektor{x_{1}\\x_{2}\\ x_{3}}= \vektor{1\\0\\-1} [/mm] + [mm] r*\vektor{-1\\1\\0} [/mm] + [mm] s*\vektor{0\\1\\-1}
[/mm]
soll man nun [mm] x_{1,2,3} [/mm] oder r und s berechnen. Lg
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Hallo Tigerlilli,
> eine möglichkeit, wäre z.b. drei einfache punkte zu finden,
> die diese gleichung erfüllen. einfach zwei werte einsetzen,
> der dritte ergibt sich ja dann automatisch:
>
> x+y+z=0
>
> a) x=1, y=0 --> z=-1 --> a = (1,0,-1)
> b) x=1, y=1 --> z=-2 --> b = (1,1,-2)
> c) x=0, y=1 --> z=-1 --> c = (0,1,-1)
>
>
> aus diesem drei punkten kann ich dann die parameterform x =
> a + r*(c-a) + s*(b-a) mit [mm]r,s\in[/mm] R aufstellen.
> das ist dann...
>
> [mm]\vektor{x_{1}\\x_{2}\\ x_{3}}= \vektor{1\\0\\-1}[/mm] +
> [mm]r*\vektor{-1\\1\\0}[/mm] + [mm]s*\vektor{0\\1\\-1}[/mm]
>
> soll man nun [mm]x_{1,2,3}[/mm] oder r und s berechnen. Lg
Nein, die bei den Parameter r und s stehenden Vektoren, sind jetzt die Basisvektoren.
Gruß
MathePower
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Könnte mir zu Aufgabe b jemand sagen, was genau [mm] _{B}B_{B} [/mm] bedeutet und wie man zu diesem gelangen kann? Leider hab ich diesen Teil nie wirklich verstanden. :'-(
Liebe Grüße
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> Könnte mir zu Aufgabe b jemand sagen, was genau [mm]_{B}A_{B}[/mm]
> bedeutet und wie man zu diesem gelangen kann? Leider hab
> ich diesen Teil nie wirklich verstanden. :'-(
Hallo,
das ist die darstellende Matrix von A bzgl der Basis B.
Du mußt dazu die Bilder der Basisvektoren von B berechen, die Bilder als Koordnatenvektoren bzgl. B schreiben und diese als Spalten in eine matrix stecken. Dann hast Du [mm] _{B}A_{B}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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hallo
könnte mir jemand leicht verständlich erklären,wie man das Bild eines Basisvektors berechnen kann? Ich hatte sonst nur gefunden, dass das Bild des Basisvektors gleich der Spalten sein soll,wie kann man das verstehen? Wäre nett wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte,danke
lieben Gruß
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> könnte mir jemand leicht verständlich erklären,wie man das
> Bild eines Basisvektors berechnen kann?
Hallo,
die Bilder sind die Funktionswerte, und die sind in der Aufgabe ja schon gegeben.
Du mußt sie jetzt noch in Koordinaten bzgl. B darstellen.
Gruß v. Angela
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Hey!
Wollt Fragen, wie denn die dritte Spalte von [mm] _{B}A_{B} [/mm] aussieht?
Und stimmt [mm] _{B}A_{B} [/mm] sonst?
[mm] _{B}A_{B} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & ? \\ 1 & -1 & ? \\ -1 & 0 & ?}
[/mm]
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> Hey!
> Wollt Fragen, wie denn die dritte Spalte von [mm]_{B}A_{B}[/mm]
> aussieht?
> Und stimmt [mm]_{B}A_{B}[/mm] sonst?
>
> [mm]_{B}A_{B}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 & ? \\ 1 & -1 & ? \\ -1 & 0 & ?}[/mm]
Hallo,
nein, das stimmt nicht.
Da wäre ansatzweise richtig, solltest Du die Abbildung v. [mm] U\to \IR^3 [/mm] betrachten bzgl B und der Standardbasis.
Eine dritte Spalte hättest Du hier nicht, weil der Startraum U nur zweidimensional ist.
Die Aufgabe ist aber, die Abbildung von U nach U zu betrachten, dh. zwischen zwei zweidimensionalen Räumen.
Also ist die gesuchte Matrix 2x2.
Du mußt die Ergebnisvektoren als Linearkombination v. B darstellen, die Koeffizienten geben dann die Spalten der gesuchten Matrix.
Gruß v. Angela
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