Unterraum? < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Di 15.09.2009 | | Autor: | ufuk |
| Aufgabe | Seien V und W Vektorräume, und F und G Lineare Abbildungen V [mm] \mapsto [/mm] W.
Ist [mm] \{v \in V : F(v)=G(v) \} \subseteq [/mm] V ein Unterraum?
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Mir scheint sich die Antwort schon allein aus der Definition des Vektorraums und der linearen Abbildung zu ergeben, nur irgendwie bereitet mir das ganze Schwierigkeiten, auch was die korrekte Schreibweise angeht.
Ich wäre für etwas Hilfe dankbar 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Di 15.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Seien V und W Vektorräume, und F und G Lineare Abbildungen
> V [mm]\mapsto[/mm] W.
> Ist [mm]\{v \in V : F(v)=G(v) \} \subseteq[/mm] V ein Unterraum?
>
> Mir scheint sich die Antwort schon allein aus der
> Definition des Vektorraums und der linearen Abbildung zu
> ergeben,
Wie lautet denn Deine Antwort ??
> nur irgendwie bereitet mir das ganze
> Schwierigkeiten,
Sei $U = [mm] \{v \in V : F(v)=G(v) \}$
[/mm]
Du hast 2 Möglichkeiten:
1. Du überprüfst mit Hilfe des Unterraum kriteriums, dass U ein Unterrraum ist.
2. Setze $H=F-G$. Was hat der Kern von H mit U zu tun ?
> auch was die korrekte Schreibweise
> angeht.
Werde etwas konkreter
FRED
> Ich wäre für etwas Hilfe dankbar
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Di 15.09.2009 | | Autor: | ufuk |
> Wie lautet denn Deine Antwort ??
Ich denke es handelt sich um einen Unterraum.
> 1. Du überprüfst mit Hilfe des Unterraum kriteriums, dass
> U ein Unterrraum ist.
Kriterium ist ja, dass die Teilmenge unter den Operationen [+,*] abgeschlossen ist, was hier doch der Fall wäre?
[mm] \{v \in V : F(v)=G(v) \} \subseteq [/mm] V
[mm] \{v' \in V : F(v')=G(v') \} \subseteq [/mm] V
=> [mm] \{v+v' \in V : F(v)+F(v')=G(v)+G(v') \} \subseteq [/mm] V
=> [mm] \{v+v' \in V : F(v+v')=G(v+v') \} \subseteq [/mm] V
analog dann für [*]
> 2. Setze [mm]H=F-G[/mm]. Was hat der Kern von H mit U zu tun ?
Das verstehe ich nicht ganz (eigentlich gar nicht).
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> > Wie lautet denn Deine Antwort ??
>
> Ich denke es handelt sich um einen Unterraum.
>
>
> > 1. Du überprüfst mit Hilfe des Unterraum kriteriums, dass
> > U ein Unterrraum ist.
>
> Kriterium ist ja, dass die Teilmenge unter den Operationen
> [+,*] abgeschlossen ist, was hier doch der Fall wäre?
>
> U:= [mm]\{v \in V : F(v)=G(v) \} \subseteq[/mm] V
> [mm]\{v' \in V : F(v')=G(v') \} \subseteq[/mm] V
>
> => [mm]\{v+v' \in V : F(v)+F(v')=G(v)+G(v') \} \subseteq[/mm] V
> => [mm]\{v+v' \in V : F(v+v')=G(v+v') \} \subseteq[/mm] V
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du meinst das sicher richtig, aber der Aufschrieb geht so nicht.
zu zeigen ist
2. [mm] v,v'\in [/mm] U==> [mm] v+v'\in [/mm] U
[mm] 3.v\in [/mm] U, [mm] \lambda\in [/mm] K [mm] ==>\lambda v\in [/mm] U
So macht man das:
Seien [mm] v,v'\in [/mm] U.
Dann gilt F(v)=G(v) und F(v')=G(v').
(Nun ist zu prüfen, ob F(v+v')=G(v+v').)
Es ist F(v+v')=F(v)+F(v') (Begründung?)
=...
=G(v+v')
==> v+v' [mm] \in [/mm] U.
> analog dann für [*]
Genau.
Etwas sehr Wichtiges hast Du vergessen, die Bedingung
1. U ist nicht leer.
>
>
> > 2. Setze [mm]H=F-G[/mm]. Was hat der Kern von H mit U zu tun ?
In U liegen genau die Vektoren v, für welche H(v)=0 ist.
Also ist U der Kern von H - hat also verflixt viel damit zu tun.
Gruß v. Angela
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> Das verstehe ich nicht ganz (eigentlich gar nicht).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 Mi 16.09.2009 | | Autor: | ufuk |
danke
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