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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 Sa 19.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hi,
habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
Gegeben: $V$ und $W$ sind Vektorräume über $K$.
Zu Zeigen: [mm] $Hom_K(V,W)$ [/mm] ist eine Unterraum von $Abb(V,W)$.
Beweis:
Ich hab mir folgendes mal aufgeschrieben,
aber ich weiss nicht wie ich mit dem
Beweis anfangen soll und wie ich
diese Infos dazu benutzen kann...
Also:
[mm] $Hom_K(V,W):=\{ f | f: V \rightarrow W, f linear\}$
[/mm]
Bedingungen für Linearität von $f$:
1. $f(v+u)=f(v)+f(u)$ für alle $v,u [mm] \in [/mm] V$.
2. [mm] $f(\lambda \cdot [/mm] v) = [mm] \lambda \cdot [/mm] f(v)$
für alle $v [mm] \in [/mm] V$ und [mm] $\lambda \in [/mm] K$.
[mm] $Hom_K(V,W)$ [/mm] ist genau dann Unterraum
von $Abb(V,W)$, wenn $W$ bzgl. der
Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.
So wie kann ich anfangen, was kann ich daraus
verwenden???
Vielen Dank und schönen Abende noch
nevinpol
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 So 20.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo nevinpol,
> Gegeben: [mm]V[/mm] und [mm]W[/mm] sind Vektorräume über [mm]K[/mm].
>
> Zu Zeigen: [mm]Hom_K(V,W)[/mm] ist eine Unterraum von [mm]Abb(V,W)[/mm].
>
> Beweis:
>
> Ich hab mir folgendes mal aufgeschrieben,
> aber ich weiss nicht wie ich mit dem
> Beweis anfangen soll und wie ich
> diese Infos dazu benutzen kann...
>
> Also:
>
> [mm]Hom_K(V,W):=\{ f | f: V \rightarrow W, f linear\}[/mm]
>
>
> Bedingungen für Linearität von [mm]f[/mm]:
>
> 1. [mm]f(v+u)=f(v)+f(u)[/mm] für alle [mm]v,u \in V[/mm].
> 2. [mm]f(\lambda \cdot v) = \lambda \cdot f(v)[/mm]
>
> für alle [mm]v \in V[/mm] und [mm]\lambda \in K[/mm].
>
> [mm]Hom_K(V,W)[/mm] ist genau dann Unterraum
> von [mm]Abb(V,W)[/mm], wenn [mm]W[/mm] bzgl. der
> Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.
>
> So wie kann ich anfangen, was kann ich daraus
>
> verwenden???
Alles! 
Du brauchst aber noch, dass der Unterraum nicht leer ist. Du könntest zum Beispiel zeigen, dass der Nullvektor (welches wäre das?) in [mm] $Hom_K(V,W)$ [/mm] enthalten ist.
Für die Abgeschlossenheit nimmt du dir zwei Vektoren [mm] $f,g\in Hom_K(V,W)$ [/mm] her und zeigst, dass dann auch der Vektor $f+g [mm] \in Hom_K(V,W)$ [/mm] ist.
Wann ist ein Vektor in [mm] $Hom_K(V,W)$? [/mm] Genau, wenn er eine lineare Abbildung [mm] $V\to [/mm] W$ ist. Also mußt du zeigen, dass $f+g$ eine lineare Abbildung [mm] $V\to [/mm] W$ ist.
Ähnliches für die Skalarmultiplikation: Sei [mm] $s\in [/mm] K$ und [mm] $f\in Hom_K(V,W)$. [/mm] Du mußt nun zeigen, dass auch [mm] $s*g\in Hom_K(V,W)$ [/mm] ist.
Bin gespannt auf deine Ergebnisse 
Viel Erfolg,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 So 20.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo,
also hier ist mein Ergebnis:
Ich definere [mm] $U:=\{f|f:V \rightarrow W, f linear\}$
[/mm]
und $A:=Abb(V,W)$
Ich verwende im Folgendem immer die Eigenschaften für [mm] $U:=\{f|f:V \rightarrow W, f linear\}$,
[/mm]
also dass die folgenden Bedingungen für $f:V [mm] \rightarrow [/mm] W$ erfüllt sind.
1. $f(v+u)=f(v)+f(u)$ für alle $v,u [mm] \in [/mm] V$.
2. [mm] $f(\lambda \cdot [/mm] v) = [mm] \lambda \cdot [/mm] f(v)$
für alle $v [mm] \in [/mm] V$ und [mm] $\lambda \in [/mm] K$.
Ich prüfe zunächst, ob $U$ bzgl. der Addition abgeschlossen ist:
Seien $f,g [mm] \in [/mm] U$. Dann gilt für alle $a [mm] \in [/mm] A$:
$(f+g)(a)=f(a)+g(a)$
Also: $(f+g)= f+g$ und $(f+g) [mm] \in [/mm] U$.
Ich prüfe nun noch, ob $U$ bzgl. der Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.
Seien [mm] $\lambda \in [/mm] K$ und $f [mm] \in [/mm] U$, dann gilt für alle $a [mm] \in [/mm] A$:
$ [mm] \lambda \cdot [/mm] f(a)= [mm] (\lambda \cdot [/mm] f) (a) $
Also: $ [mm] \lambda \cdot [/mm] f = [mm] (\lambda \cdot [/mm] f)$ und [mm] $(\lambda \cdot [/mm] f) [mm] \in [/mm] U$.
Nun zeige ich, dass der Nullvektor in $U$ enthalten ist:
Sei [mm] $0_U [/mm] : V [mm] \rightarrow [/mm] W, a [mm] \mapsto [/mm] 0$
(Wobei 0 natürlich das neutrale Element bzgl. der Addition in $A$ bezeichnet)
Mit $f [mm] \in [/mm] U$ ist dann für alle $a [mm] \in [/mm] A$:
$ [mm] (f+0_U)(a)= [/mm] f(a) [mm] +0_U(a) [/mm] =f(a) +0= f(a)$
Also: [mm] $f+0_U [/mm] =f$. Somit ist [mm] $0_U$ [/mm] der Nullvektor in $(U,+)$.
Somit ist $U$ ein Unterraum von $A$.
Oder sollte ich es noch detaillierter machen und Assoziavität, Kommutavität und Distributivität zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 So 20.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo nevinpol,
> Ich definere [mm]U:=\{f|f:V \rightarrow W, f linear\}[/mm]
> und
> [mm]A:=Abb(V,W)[/mm]
> Ich verwende im Folgendem immer die Eigenschaften für
> [mm]U:=\{f|f:V \rightarrow W, f linear\}[/mm],
> also dass die
> folgenden Bedingungen für [mm]f:V \rightarrow W[/mm] erfüllt sind.
???
Was meinst du damit?
> 1. [mm]f(v+u)=f(v)+f(u)[/mm] für alle [mm]v,u \in V[/mm].
> 2. [mm]f(\lambda \cdot v) = \lambda \cdot f(v)[/mm]
> für alle [mm]v \in V[/mm] und [mm]\lambda \in K[/mm].
>
> Ich prüfe zunächst, ob [mm]U[/mm] bzgl. der Addition abgeschlossen
> ist:
>
> Seien [mm]f,g \in U[/mm]. Dann gilt für alle [mm]a \in A[/mm]:
>
>
> [mm](f+g)(a)=f(a)+g(a)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , so ist überlicherweise die Abbildung "f+g" definiert.
> Also: [mm](f+g)= f+g[/mm] und [mm](f+g) \in U[/mm].
Um das interessante hast du dich hier aber gedrückt.
Du mußt doch zeigen, dass "f+g" linear ist.
Also ist zu überprüfen, ob
(f+g)(v+u)=(f+g)(v)+(f+g)(u)
gilt.
> Ich prüfe nun noch, ob [mm]U[/mm] bzgl. der Skalarmultiplikation
> abgeschlossen ist.
>
> Seien [mm]\lambda \in K[/mm] und [mm]f \in U[/mm], dann gilt für alle [mm]a \in A[/mm]:
>
>
> [mm]\lambda \cdot f(a)= (\lambda \cdot f) (a)[/mm]
>
> Also: [mm]\lambda \cdot f = (\lambda \cdot f)[/mm] und [mm](\lambda \cdot f) \in U[/mm].
Die Frage ist aber nicht, wie die Skalarmultiplikation (und die Addition) definiert sind, sondern ob ein mit einem Skalar multiplizierten Element wieder linear.
> Nun zeige ich, dass der Nullvektor in [mm]U[/mm] enthalten ist:
>
> Sei [mm]0_U : V \rightarrow W, a \mapsto 0[/mm]
> (Wobei 0
> natürlich das neutrale Element bzgl. der Addition in [mm]A[/mm]
> bezeichnet)
>
> Mit [mm]f \in U[/mm] ist dann für alle [mm]a \in A[/mm]:
>
> [mm](f+0_U)(a)= f(a) +0_U(a) =f(a) +0= f(a)[/mm]
>
> Also: [mm]f+0_U =f[/mm]. Somit ist [mm]0_U[/mm] der Nullvektor in [mm](U,+)[/mm].
Damit ist ebenfalls nichts gezeigt. So ist der Nullvektor (also die Abbildung, die alles auf Null abbildet) definiert.
Du mußt aber zeigen, dass diese linear ist.
> Somit ist [mm]U[/mm] ein Unterraum von [mm]A[/mm].
Noch nicht, erst wenn du das interessante zeigst
> Oder sollte ich es noch detaillierter machen und
> Assoziavität, Kommutavität und Distributivität zeigen?
Nein, ich denke man darf hier annehmen, dass Abb(V,W) ein Vektorraum ist. Dann übertragen sich diese Rechengesetze natürlich auch auf einen eventuellen Unterraum.
Also, noch hast du gar nichts gezeigt...
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 So 20.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo Marc,
okay ich starte mal einen weiteren Versuch,
ich glaube jetzt bin ich sehr nahe dran;
mit deiner Hilfe natürlich :) Vielen Dank
Also ich lass meinen vorigen Anfang weg und
mach alles von vorn:
Ich überprüfe die Linerität:
1. Additivität
Seien $f,g [mm] \in Hom_K(V,W)$ [/mm] und $v,u [mm] \in [/mm] Abb(V,W)$.
Dann gilt:
$(f+g)(v+u)= f(v+u)+g(v+u)$
$=f(v)+f(u)+g(v)+g(u)$
$=f(v)+g(v)+f(u)+g(u)$
$=(f+g)(v) + (f+g)(u)$
2. Homogenität
Seien $f [mm] \in Hom_K(V,W)$ [/mm] und $v,u [mm] \in [/mm] Abb(V,W)$
und [mm] $\lambda \in [/mm] K$. Dann gilt:
[mm] $(\lambda \cdot [/mm] f)(v+u) = [mm] \lambda \cdot [/mm] f(v+u)$
[mm] $=\lambda \cdot [/mm] (f(v)+f(u))$
[mm] $=\lambda \cdot [/mm] f(v) + [mm] \lambda \cdot [/mm] f(u)$
Das mit dem Nullvektor ist mir noch nicht so klar,
wenn ich es schaffe mache ich das auch noch,
ansonsten wird Aufgabe halt nicht vollbewertet, denke ich.
Aber das ist ja auch schon ne Menge oder...
Übrigens soll ich das was ich im letzten Beitrag geschrieben
habe bei der Lösung erwähnen, ich meine das, wo du meintest,
so ist die Abbildung definiert oder war das für die Lösung
überhaupt nicht notwendig. Okay wenn ich mich missverständlich
ausgedrückt habe jetzt ... Sorry.. ich melde mich dann wieder...
Vielen herzlichen Dank
Das Forum ist meine Rettung!
Denn ich kenne leider nicht soviele Leute auf der UNI:(
nevinpol
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 So 20.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo nevinpol,
> Ich überprüfe die Linerität:
>
> 1. Additivität
>
> Seien [mm]f,g \in Hom_K(V,W)[/mm] und [mm]v,u \in Abb(V,W)[/mm].
u, v sind natürlich [mm] \in [/mm] V, und nicht Abbildungen...
> Dann
> gilt:
>
> [mm](f+g)(v+u)= f(v+u)+g(v+u)[/mm]
> [mm]=f(v)+f(u)+g(v)+g(u)[/mm]
Genau, wegen der Linearität von f und g.
> [mm]=f(v)+g(v)+f(u)+g(u)[/mm]
> [mm]=(f+g)(v) + (f+g)(u)[/mm]
Perfekt!
Es fehlt aber noch die Multiplikation, denn wir wollen doch zeigen, dass (f+g) linear ist:
[mm] $(f+g)(\lambda v)\stackrel{?}{=}\lambda*(f+g)(u)$
[/mm]
> 2. Homogenität
Die Additivität ist doch ein Teil der Homogenität!? Also überprüfst du hier nur die Skalarmultiplikation:
> Seien [mm]f \in Hom_K(V,W)[/mm] und [mm]v,u \in Abb(V,W)[/mm]
Siehe meine Bemerkung oben zu u und v.
> und [mm]\lambda \in K[/mm].
> Dann gilt:
>
> [mm](\lambda \cdot f)(v+u) = \lambda \cdot f(v+u)[/mm]
> [mm]=\lambda \cdot (f(v)+f(u))[/mm]
>
> [mm]=\lambda \cdot f(v) + \lambda \cdot f(u)[/mm]
, [mm] $(\lambda [/mm] f)$ erfüllt also die Additivität. Wie oben fehlt dann noch die Skalarmultiplikation, also
[mm] $(\lambda f)(\mu u)\stackrel{?}{=}\mu(\lambda [/mm] f)(u)$
> Das mit dem Nullvektor ist mir noch nicht so klar,
> wenn ich es schaffe mache ich das auch noch,
> ansonsten wird Aufgabe halt nicht vollbewertet, denke
> ich.
Das wäre doch schade, die Sachen, die zu zeigen sind, sind trivial, man muss nur erkennen, was zu zeigen ist.
Das Problem hier ist ja die "Zweistufigkeit": Die Homogenität von homogenen Abbildungen zu zeigen...
Ich beginne mal die Bedingungen für den Nullvektor aufzustellen:
Der Nullvektor von U ist die Abbildung [mm] $0_{Abb(V,W)}: V\to [/mm] W, [mm] u\mapsto [/mm] 0$.
Du mußt überprüfen, ob [mm] $0_{Abb(V,W)}\in [/mm] U$, ob also [mm] $0_{Abb(V,W)}$ [/mm] eine lineare Abbildung ist:
[mm] $0(u+v)\stackrel{?}{=}0(u)+0(v)$
[/mm]
[mm] $0(\lambda u)\stackrel{?}{=}\lambda0(u)$
[/mm]
> Aber das ist ja auch schon ne Menge oder...
>
> Übrigens soll ich das was ich im letzten Beitrag
> geschrieben
> habe bei der Lösung erwähnen, ich meine das, wo du
> meintest,
> so ist die Abbildung definiert oder war das für die
> Lösung
> überhaupt nicht notwendig. Okay wenn ich mich
> missverständlich
> ausgedrückt habe jetzt ... Sorry.. ich melde mich dann
> wieder...
Ja, das schadet nicht, wenn du erwähnst, wie $(f+g)$ und [mm] $(\lambda [/mm] f)$ definiert sind.
> Vielen herzlichen Dank
> Das Forum ist meine Rettung!
> Denn ich kenne leider nicht soviele Leute auf der UNI:(
Wie kommt's?
Viele Grüße,
Marc
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