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| Aufgabe | V bezeichne den Vektorraum der stetigen Funktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] über dem Körper [mm] \IR, [/mm] dabei werden Addition von Funktionen und Multiplikation mit Skalaren punktweise auf den Funktionswerten definiert.
Welche der folgenden Teilmengen sind Unterräume von V?
D= {f [mm] \in [/mm] V | [mm] (f(-1))^2 [/mm] = [mm] (f(1))^2}
[/mm]
E = {f [mm] \in [/mm] V| f ist schwach monoton wachsend oder fallend} |
Hallo,
also für D weiß ich nicht, wie ich rechnen soll.
Für Unterräume muss gelten:
1) D [mm] \not= \emptyset
[/mm]
2) [mm] \forall [/mm] f,g [mm] \in [/mm] D gilt: f+g [mm] \in [/mm] D
3) [mm] \forall \lambda \in \IR [/mm] gilt: [mm] \lambda*f \in [/mm] D
Mir fällt nur diese Vorgehensweise ein:
1) D ist nicht leer.
2) Beweis der Abgeschlossenheit bezüglich Addition:
[mm] ((f+g)(-1))^2 [/mm] = ... [mm] =...=...((f+g)(1))^2
[/mm]
Wie soll ich hier rechnen? Einfach das ganze ausklammern?
Wie sieht [mm] ((f+g)(-1))^2 [/mm] überhaupt aus? Löst man das mithilfe der binomischen Formel einfach auf? Darf man das?
Vielen Dank im Voraus.
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> V bezeichne den Vektorraum der stetigen Funktionen von [mm]\IR[/mm]
> nach [mm]\IR[/mm] über dem Körper [mm]\IR,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dabei werden Addition von
> Funktionen und Multiplikation mit Skalaren punktweise auf
> den Funktionswerten definiert.
> Welche der folgenden Teilmengen sind Unterräume von V?
>
> D= {f [mm]\in[/mm] V | [mm](f(-1))^2[/mm] = [mm](f(1))^2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> E = {f [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V| f ist schwach monoton wachsend oder fallend}
>
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> Hallo,
>
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> also für D weiß ich nicht, wie ich rechnen soll.
>
> Für Unterräume muss gelten:
>
> 1) D [mm]\not= \emptyset[/mm]
>
> 2) [mm]\forall[/mm] f,g [mm]\in[/mm] D gilt: f+g [mm]\in[/mm] D
>
> 3) [mm]\forall \lambda \in \IR[/mm] gilt: [mm]\lambda*f \in[/mm] D
>
> Mir fällt nur diese Vorgehensweise ein:
Hallo,
>
> 1) D ist nicht leer.
und wenn ich das nicht glaube?
Du müßtest hier eine Funktion angeben.
>
> 2) Beweis der Abgeschlossenheit bezüglich Addition:
> [mm]((f+g)(-1))^2[/mm] = ... [mm]=...=...((f+g)(1))^2[/mm]
>
> Wie soll ich hier rechnen? Einfach das ganze ausklammern?
Du mußt den Regeln entsprechend rechnen.
Seien f,g [mm] \in [/mm] D.
Dann gilt [mm] (f(-1))^2=(f(1))^2 [/mm] und [mm] (g(-1))^2=(g(1))^2.
[/mm]
Es ist
[mm] ((f+g)(-1))^2=(f(-1)+g(-1))^2 \qquad [/mm] nach Def. der Addition v. Funktionen
= [mm] (f(-1)^2+2f(-1)g(-1)+ (g(-1))^2 \qquad [/mm] Rechnen in den reellen Zahlen
=...
=...
[mm] =((f+g)(1))^2
[/mm]
LG Angela
> Wie sieht [mm]((f+g)(-1))^2[/mm] überhaupt aus? Löst man das
> mithilfe der binomischen Formel einfach auf? Darf man das?
>
> Vielen Dank im Voraus.
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Hallo,
eine Funktion anzugeben, um zu zeigen, dass D nicht leer ist, wäre zum Beispiel so eine:
f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR
[/mm]
f(x) = [mm] x^{2}
[/mm]
Zurück zu der Rechnung:
$ [mm] ((f+g)(-1))^2=(f(-1)+g(-1))^2 \qquad [/mm] $ nach Def. der Addition v. Funktionen
= $ [mm] (f(-1)^2+2f(-1)g(-1)+ (g(-1))^2 \qquad [/mm] $ Rechnen in den reellen Zahlen
= [mm] (f(1))^2 [/mm] + 2f(-1)g(-1) + [mm] (g(1))^2
[/mm]
Wie bekomme ich den zweiten Summanden weg? Muss ich hier irgendwie umformen?
Denn bis jetzt habe ich ja nur folgendes:
[mm] ((f+g)(1))^2 [/mm] + 2f(-1)g(-1)
hierhin muss ich:
$ [mm] =((f+g)(1))^2 [/mm] $
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> Hallo,
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> eine Funktion anzugeben, um zu zeigen, dass D nicht leer
> ist, wäre zum Beispiel so eine:
>
> f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm]
> f(x) = [mm]x^{2}[/mm]
>
> Zurück zu der Rechnung:
>
> [mm]((f+g)(-1))^2=(f(-1)+g(-1))^2 \qquad[/mm] nach Def. der Addition
> v. Funktionen
>
> = [mm](f(-1))^2+2f(-1)g(-1)+ (g(-1))^2 \qquad[/mm] Rechnen in den
> reellen Zahlen
>
> = [mm](f(1))^2[/mm] + 2f(-1)g(-1) + [mm](g(1))^2[/mm]
>
> Wie bekomme ich den zweiten Summanden weg? Muss ich hier
> irgendwie umformen?
>
> Denn bis jetzt habe ich ja nur folgendes:
> [mm]((f+g)(1))^2[/mm] + 2f(-1)g(-1)
>
> hierhin muss ich:
> [mm]=((f+g)(1))^2[/mm]
Tja.
Hast Du denn mal an ein paar Beispielen geprüft, ob es überhaupt stimmt, daß die Summe zweier Funktionen aus D wieder in D liegt?
LG Angela
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Hallo,
ich habe es gerade mit f(x) = x² und g(x)= [mm] x^4 [/mm] probiert.
In diesem Fall ist [mm] ((f+g)(-1))^2 [/mm] = [mm] ((f+g)(1))^2 [/mm] , für diese konkreten f(x) und g(x) gilt diese Gleichheit.
Wenn ich aber eine Funktion mit einer ungeraden Potenz nehme, dann zerstöre ich doch die Eigenschaft, dass [mm] (f(-1))^2 [/mm] = [mm] (f(1))^2 [/mm] , denn diese Eigenschaft gilt doch nur, wenn man Funktionen mit geradem Exponenten hat. Deshalb fällt es mir schwer, das zu widerlegen.
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> Hallo,
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> ich habe es gerade mit f(x) = x² und g(x)= [mm]x^4[/mm] probiert.
>
> In diesem Fall ist [mm]((f+g)(-1))^2[/mm] = [mm]((f+g)(1))^2[/mm] , für
> diese konkreten f(x) und g(x) gilt diese Gleichheit.
>
> Wenn ich aber eine Funktion mit einer ungeraden Potenz
> nehme, dann zerstöre ich doch die Eigenschaft, dass
> [mm](f(-1))^2[/mm] = [mm](f(1))^2[/mm] , denn diese Eigenschaft gilt doch
> nur, wenn man Funktionen mit geradem Exponenten hat.
> Deshalb fällt es mir schwer, das zu widerlegen.
Hallo,
schau doch mal die Funktionen mit [mm] f(x):=x^3 [/mm] und [mm] g(x)=5x^2.
[/mm]
Was ist f(1)? f(-1)? [mm] (f(1))^2? (f(-1))^2?
[/mm]
Was ist g(1)? g(-1)? [mm] (g(1))^2? (g(-1))^2?
[/mm]
Sind f und g in D?
Was ist (f+g)(x)?
Was ist (f+g)(1)?
Was ist (f+g)(-1)?
Was ist [mm] ((f+g)(1))^2?
[/mm]
Was ist [mm] ((f+g)(-1))^2?
[/mm]
Und?
LG Angela
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Hallo,
sorry für die späte Antwort.
Also, wenn wir f(x) = [mm] x^3 [/mm] und g(x) = [mm] 5x^2 [/mm] haben,
dann ist
[mm] (f(-1))^2 [/mm] = 1 = [mm] (f(1))^2 [/mm] , passt
[mm] (g(-1))^2 [/mm] = 25 = [mm] (g(1))^2, [/mm] passt auch
f und g sind also in D
Die Frage, ob [mm] ((f+g)(-1))^2 [/mm] = [mm] ((f+g)(1))^2 [/mm] ist:
[mm] ((f+g)(-1))^2 [/mm] = [mm] (f(-1))^2 [/mm] + [mm] 2f(-1)g(-1)+(g(-1))^2
[/mm]
= 1-2*5+25 = 16
[mm] ((f+g)(1))^2 [/mm] = [mm] (f(1))^2 [/mm] + [mm] 2f(1)g(1)+(g(1))^2
[/mm]
= 1+10+25 = 36
Es gilt also nicht [mm] ((f+g)(-1))^2 [/mm] = [mm] ((f+g)(1))^2 [/mm] , es ist [mm] ((f+g)(-1))^2 \not= ((f+g)(1))^2
[/mm]
Damit ist D kein Unterraum.
Ist das richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:37 So 24.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja
Gruß leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Sa 23.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo klar, wenn du 2 sym fkt addierst ist das Ergebnis wieder sym.
was ist mit [mm] x^2 [/mm] und [mm] x^3?
[/mm]
du kannst auch direkt sehen aus [mm] f^2(-1)=f^2(1) [/mm] folgt f(-1)=+-f(1) jetzt gibt es für f(1)*g(1) 3 Möglichkeiten.
gruß ledum
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:00 Sa 23.04.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
> Du mußt den Regeln entsprechend rechnen.
>
> Seien f,g [mm]\in[/mm] D.
> Dann gilt [mm](f(-1))^2=(f(1))^2[/mm] und [mm](g(-1))^2=(g(1))^2.[/mm]
>
> Es ist
>
> [mm]((f+g)(-1))^2=(f(-1)+g(-1))^2 \qquad[/mm] nach Def. der Addition
> v. Funktionen
>
> = [mm](f(-1)^2+2f(-1)g(-1)+ (g(-1))^2 \qquad[/mm] Rechnen in den
> reellen Zahlen
>
> =...
>
> =...
>
> [mm]=((f+g)(1))^2[/mm]
Das ist die typische Vorgehensweise, wenn Eigenschaft 2) gezeigt werden soll.
Soll 2) hingegen widerlegt werden, benötigen wir ein konkretes Beispiel von Funktionen [mm] $f,g\in [/mm] D$ mit der Eigenschaft [mm] $f+g\notin [/mm] D$.
Viele Grüße
Tobias
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