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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:34 Mi 12.01.2011 | | Autor: | hilbert |
Aufgabe: Sei V ein endlich erzeuger K-Vektorraum. Setze n = dim V.
Seien W [mm] \le [/mm] V mit dim W = n - m. Dann gibt es genau m [mm] U_{\delta} [/mm] Unterräume von V mit dim [mm] U_{\delta} [/mm] = n-1 für [mm] \delta [/mm] = 1,...,m und [mm] U_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap U_m [/mm] = W.
Mein Ansatz Induktion:
IA
m=1
Dann hat W die Dimension n-1. Also ist mein [mm] U_1 [/mm] = W und es passt alles.
IV siehe Aufgabe
IS m-m+1
So hier gibt es Probleme.
Ich muss zeigen, dass es m+1 Unterräume [mm] U_{\delta} [/mm] mit [mm] \delta [/mm] = 1,...,m+1 gibt, mit der Dimension n-1, sodass der Schnitt aller [mm] U_{\delta} [/mm] = W ist.
Die IV wäre ja [mm] U_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap U_m [/mm] = [mm] W_m
[/mm]
Und zu zeigen ist jetzt, dass es [mm] U_{m+1} [/mm] gibt mit
[mm] W_m \cap U_{m+1} [/mm] = [mm] W_{m+1}
[/mm]
Wobei [mm] W_m [/mm] aus der IV ist. Also dim [mm] W_m [/mm] = n-m und dim [mm] W_{m+1} [/mm] = n-(m+1)
Könnt ihr mir hier weiterhelfen? Zweifle langsam an dem Ansatz.
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:49 Do 13.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aufgabe: Sei V ein endlich erzeuger K-Vektorraum. Setze n
> = dim V.
>
> Seien W [mm]\le[/mm] V mit dim W = n - m. Dann gibt es genau m
> [mm]U_{\delta}[/mm] Unterräume von V mit dim [mm]U_{\delta}[/mm] = n-1 für
> [mm]\delta[/mm] = 1,...,m und [mm]U_1 \cap[/mm] ... [mm]\cap U_m[/mm] = W.
>
> Mein Ansatz Induktion:
>
> IA
> m=1
> Dann hat W die Dimension n-1. Also ist mein [mm]U_1[/mm] = W und es
> passt alles.
>
> IV siehe Aufgabe
>
> IS m-m+1
> So hier gibt es Probleme.
> Ich muss zeigen, dass es m+1 Unterräume [mm]U_{\delta}[/mm] mit
> [mm]\delta[/mm] = 1,...,m+1 gibt, mit der Dimension n-1, sodass der
> Schnitt aller [mm]U_{\delta}[/mm] = W ist.
> Die IV wäre ja [mm]U_1 \cap[/mm] ... [mm]\cap U_m[/mm] = [mm]W_m[/mm]
>
> Und zu zeigen ist jetzt, dass es [mm]U_{m+1}[/mm] gibt mit
>
> [mm]W_m \cap U_{m+1}[/mm] = [mm]W_{m+1}[/mm]
>
> Wobei [mm]W_m[/mm] aus der IV ist. Also dim [mm]W_m[/mm] = n-m und dim
> [mm]W_{m+1}[/mm] = n-(m+1)
>
> Könnt ihr mir hier weiterhelfen? Zweifle langsam an dem
> Ansatz.
ich kapier die Aufgabe gar nicht wirklich. Nehmen wir mal den [mm] $\IR^3$ [/mm] mit der Dimension [mm] $3\,$ [/mm] her. Die [mm] "$x\,$-Achse" [/mm] ist dann ein Unterraum, wir nennen ihn [mm] $W\,$. $W\,$ [/mm] hat dann Dimension [mm] $1=3-2\,,$ [/mm] hier ist also [mm] $m=2\,.$
[/mm]
Unterräume der Dimension [mm] $n-1=3-1=2\,$ [/mm] sind Ebenen durch den Ursprung.
Unterräume der Dimension [mm] $2\,,$ [/mm] deren Schnitt aber die [mm] $x\,$-Achse [/mm] ist, gibt's aber verdammt viele:
Ich schau' mir halt mal alle Ebenen an, die die [mm] $x\,$-Achse [/mm] enthalten - drehe also eine Ebene um die $x-$Achse...
Komisch...
Sollte oben vielleicht eher anstatt "genau [mm] $m\,$" [/mm] besser mindestens [mm] $m\,$" [/mm] stehen? Dann wäre vll. der Basisergänzungssatz anwendbar (das ist aber auch dann nur "geraten" von mir - scheint mir aber naheliegend)...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:55 Do 13.01.2011 | | Autor: | hilbert |
Das kann gut möglich sein.
Habe gerade noch einmal nachgeschaut und in der Aufgabe steht " Es gibt m Unterräume", damit wird wohl mindestens gemeint.
Ist denn die Idee mit der Induktion hier angebracht oder bin ich auf dem Holzweg?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:58 Do 13.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das kann gut möglich sein.
> Habe gerade noch einmal nachgeschaut und in der Aufgabe
> steht " Es gibt m Unterräume", damit wird wohl mindestens
> gemeint.
ja. Dann ist das mit Sicherheit so gemeint!
> Ist denn die Idee mit der Induktion hier angebracht oder
> bin ich auf dem Holzweg?
Das geht sicher auch induktiv. Aber ich befürchte fasst, dass man auch da zu Mitteln wie dem Basisergänzungssatz greifen muss - und wenn man das einigermaßen vernünftig aufschreibt, dann auch ohne Induktion auskommt.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:03 Do 13.01.2011 | | Autor: | hilbert |
Wie ginge das denn mit dem Basisausergänzungssatz?
Ich habe für W ja n-m Basisvektoren.
Jetzt muss ich mit dem Schnitt aller [mm] U_{\delta} [/mm] ja dieselbe Dimension herausbekomen.
Also habe ich [mm] U_1 \cap U_2 \cap ...\cap U_m.
[/mm]
Alle haben jeweils die Dimension n-1.
Wie kann ich das dann begründen, dass ich auf n-m komme?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:29 Do 13.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie ginge das denn mit dem Basisausergänzungssatz?
>
> Ich habe für W ja n-m Basisvektoren.
>
> Jetzt muss ich mit dem Schnitt aller [mm]U_{\delta}[/mm] ja dieselbe
> Dimension herausbekomen.
>
> Also habe ich [mm]U_1 \cap U_2 \cap ...\cap U_m.[/mm]
>
> Alle haben jeweils die Dimension n-1.
> Wie kann ich das dann begründen, dass ich auf n-m komme?
naja, alles verrate ich nicht. Aber ich sage Dir, wie Du [mm] $m\,$ [/mm] passende [mm] $U_{\delta}$'s [/mm] konstruieren kannst:
[mm] $W\,$ [/mm] hat Dimension [mm] $n-m\,,$ [/mm] nach dem Basisergänzungssatz gibt es also eine Familie [mm] $(w_1,\ldots,w_{n-m})$ [/mm] von [mm] $n-m\,$ [/mm] linear unabhängigen Vektoren aus [mm] $W\,$ [/mm] (bzw. aus [mm] $V\,,$ [/mm] weil ja $W [mm] \subseteq [/mm] V$ ist), welche eine Basis für [mm] $W\,$ [/mm] ist. Nach dem Basisergänzungssatz finden wir dann [mm] $v_1,\ldots,v_m$ [/mm] aus $V [mm] \setminus W\,,$ [/mm] so dass die aus [mm] $n\,$ [/mm] Vektoren bestehende Familie
[mm] $$F:=(w_1,\ldots,w_{n-m},v_1,\ldots,v_m)$$
[/mm]
dann eine Basis von [mm] $V\,$ [/mm] ist. Insbesondere sind also diese [mm] $n=(n-m)+m\,$ [/mm] Vektoren linear unabhängig, und damit auch jede Teilfamilie davon.
Nun betrachte halt für [mm] $k=1,\ldots,\,m$ [/mm] die Unterräume [mm] $U_k\,,$ ($k=1,\ldots,m$), [/mm] wobei dann [mm] $U_k$ [/mm] nichts anderes als der Unterraum von [mm] $V\,$ [/mm] ist, der der lineare Span der Familie ist, wenn man aus [mm] $F\,$ [/mm] den Vektor [mm] $v_k$ [/mm] entfernt. Also "konkreter":
[mm] $\bullet$ $U_1$ [/mm] wird von der Familie [mm] $(w_1,\ldots,w_{n-m},\blue{v_2},\ldots,v_m)$ [/mm] aufgespannt. (Hier wurde [mm] $v_1$ [/mm] aus [mm] $F\,$ [/mm] entfernt!)
[mm] $\bullet$ $U_2$ [/mm] wird von der Familie [mm] $(w_1,\ldots,w_{n-m},v_1,\blue{v_3},\ldots,v_m)$ [/mm] aufgespannt. (Hier wurde [mm] $v_2$ [/mm] aus [mm] $F\,$ [/mm] entfernt!)
[mm] $\bullet$ $U_3$ [/mm] wird von der Familie [mm] $(w_1,\ldots,w_{n-m},v_1,v_2,\blue{v_4},\ldots,v_m)$ [/mm] aufgespannt. (Hier wurde [mm] $v_3$ [/mm] aus [mm] $F\,$ [/mm] entfernt!)
.
.
.
Dann erhältst Du [mm] $U_1,\ldots,U_m$ [/mm] und alle diese haben Dimension [mm] $n-1\,$ [/mm] (Warum?). Jetzt hast Du noch die Schnitteigenschaft zu begründen, also dass der Schnitt über alle [mm] $U_k$ [/mm] gerade [mm] $W\,$ [/mm] ergibt.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:36 Do 13.01.2011 | | Autor: | hilbert |
WoW.
Also sage ich, dass ich mir meine [mm] U_{\delta} [/mm] so definiere wie du es mir aufgezeigt hast.
Ich weiß, dass dim F = dim V = n.
Wenn ich jetzt einen Basisvektor entferne habe ich also nur noch die Dimension n-1. Demnach haben alle [mm] U_{\delta} [/mm] die Dimension n-1.
Da [mm] U_i [/mm] neben [mm] w_1,...,w_{n-m} [/mm] alle [mm] v_j [/mm] enthält mit Ausnahme von j=i ist der Schnitt meiner [mm] U_i [/mm] eben nur [mm] w_1 [/mm] ,..., [mm] w_{n-m}
[/mm]
Und damit hätte ich die [mm] U_{\delta} [/mm] gefunden.
Ist das so okay?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:28 Do 13.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> WoW.
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> Also sage ich, dass ich mir meine [mm]U_{\delta}[/mm] so definiere
> wie du es mir aufgezeigt hast.
>
> Ich weiß, dass dim F
das macht so keinen Sinn. Du meinst dim [mm] (linspan$F$)$=n\,.$ [/mm] Und die folgende Gleichheit folgt wegen [mm] $\text{linspan}(F)=V:$
[/mm]
> = dim V = n.
> Wenn ich jetzt einen Basisvektor entferne habe ich also
> nur noch die Dimension n-1.
Sinn? Der von diesen aufgespannte Unterraum hat Dimension [mm] $n-1\,.$ [/mm] Achte auf Deine Formulierungen! Begründung?
> Demnach haben alle [mm]U_{\delta}[/mm]
> die Dimension n-1.
Da fehlt eine genauere Begründung, nach der ich gerade oben gefragt hatte: Z.B. sollte man erwähnen, dass die [mm] $n-1\,$ [/mm] Vektoren stets linear unabhängig sind.
> Da [mm]U_i[/mm] neben [mm]w_1,...,w_{n-m}[/mm] alle [mm]v_j[/mm] enthält mit
> Ausnahme von j=i ist der Schnitt meiner [mm]U_i[/mm] eben nur [mm]w_1[/mm]
> ,..., [mm]w_{n-m}[/mm]
Nein! Wir schneiden Unterräume. Ein Unterraum [mm] $U_k$ [/mm] enthält alle Linearkombination der Vektoren, die verbleiben, wenn man aus [mm] $F\,$ [/mm] den Vektor [mm] $v_k$ [/mm] entfernt. Also alle Linearkombinationen der verbleibenden [mm] $n-1\,$ [/mm] Vektoren nach Entfernung des Vektors [mm] $v_k$ [/mm] aus [mm] $F\,.$
[/mm]
Klar ist: [mm] $W\,$ [/mm] ist ein Unterraum aller [mm] $U_k$ [/mm] und damit auch ein Unterraum von
[mm] $$U_1 \cap \ldots \cap U_m\,.$$
[/mm]
Wir haben noch zu zeigen:
[mm] $$U_1 \cap \ldots \cap U_m$$
[/mm]
ist auch ein Unterraum von [mm] $W\,.$
[/mm]
Nimm' dazu mal ein [mm] $v\,$ [/mm] aus diesem Schnitt her. Für jedes [mm] $k\,$ [/mm] kann ich dann (mit jeweils von [mm] $k\,$ [/mm] abhängigen Koeffizienten des Körpers [mm] $K\,$) [/mm] dieses als Linearkombination einer Basis von [mm] $U_k$ [/mm] schreiben (ich kenne aber schon eine, nach Konstruktion). Zeige, dass man so folgern kann, dass dieses [mm] $v\,$ [/mm] sich dann als alleinige Linearkombination der [mm] $w_1,\ldots,w_{n-m}$ [/mm] schreiben läßt; anders formuliert:
Die Koeffizienten vor den [mm] $v_k$ [/mm] fallen alle weg. Daraus folgt dann $v [mm] \in W\,,$ [/mm] da die [mm] $w_1,\ldots, w_{n-m}$ [/mm] ja [mm] $W\,$ [/mm] aufspannen.
Gruß,
Marcel
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