Unterraum des R^5 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Sa 04.11.2006 | | Autor: | Hollo |
| Aufgabe | Gib ein homogenes Gleichungssystem an dessen Lösungsraum der von
[mm] \vektor{-15 \\ 21 \\ 3 \\ 0 \\ 0} \vektor{1 \\ -11 \\ 0 \\ \pi \\ 0} \vektor{-1 \\ 5 \\ 0 \\ 0 \\ 5}
[/mm]
erzeugte Unterraum des [mm] \IR^{5} [/mm] ist. |
Hi,
habe einen Haufen LA-Aufgaben die ich nicht verstehe und schaff es nicht mehr ohne Hilfe..
Zu dieser Aufgabe hab ich jetzt einfach mal folgendes LGS aufgestellt (weiß eigentlich nicht genau warum..):
[mm]-15a+21b+3c+0d+0e=0[/mm]
[mm]a-11b+0c+(\pi)d+0e=0[/mm]
[mm]-a+5b+0c+0d+5e=0[/mm]
Lösungen sind dann:
[mm]a=\bruch{5(\pi)d+55e}{6}[/mm]
[mm]b=\bruch{(\pi)d+5e}{6}[/mm]
[mm]c=3(\pi)d+40e[/mm]
Ist das jetzt irgendwie der erzeugte Unterraum? Wenn ja: und jetzt?
Wär nett wenn mir jemand helfen könnte, hab schon erfolglos LA Bücher gewälzt..
Warum muss ich eigentlich jedes mal den Erstpostersatz einfügen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 Sa 04.11.2006 | | Autor: | Hollo |
Bin echt ein bisschen verzweifelt...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Sa 04.11.2006 | | Autor: | Hollo |
Hey ich glaub ich bin jetzt etwas weiter:
Ich hatte ja folgende Lösungen:
mit d=t und e=r
[mm]a=\bruch{5(\pi)t +55r}{6}[/mm]
[mm]b=\bruch{(\pi)t +5r}{6}[/mm]
[mm]c=3(\pi)t +40r[/mm]
[mm]d=t[/mm]
[mm]e=r[/mm]
Wenn ich jetzt für r und t werte einsetze bekomm ich sowas:
[mm](5(\pi) +55) x_{1}+((\pi) +5) x_{2}+(18(\pi) +240) x_{3}+6x_{4}+6x_{5}=0[/mm]
[mm](10(\pi) +55)x_{1}+(2(\pi) +5)x_{2}+(36(\pi) +240)x_{3}+12x_{4}+6x_{5}=0[/mm]
[mm](5(\pi) +110)x_{1}+((\pi) +10)x_{2}+(18(\pi) +480)x_{3}+6x_{4}+12x_{5}=0[/mm]
Wäre das jetzt ein gesuchtes homogenes Gleichungssystem?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Sa 04.11.2006 | | Autor: | Eisbude |
Prüf doch erstmal die Vektoren, ob sie überhaupt im [mm] R^5 [/mm] liegen!
Wie machst du das denn?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 Sa 04.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Eisbude
Die vektoren haben 5 Komponenten und liegen deshalb sicher im [mm] \IR^5.
[/mm]
Vielleicht meinst du ja ob die 3 Vektoren lin. unabh. sind oder nicht? Aber das wurde ja indirekt nachgeprüft! der Unterraum ist wirklich 3d.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Sa 04.11.2006 | | Autor: | Hollo |
Hi! Danke für die Reaktionen!
Also bin ich jetzt schon fertig mit der Aufgabe!?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Sa 04.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Hollo
Deine Lösung ist richtig, nur hast du eine zuviel! die 3 Lösungen sind nicht mehr unabhängig. d.h. die dritte schadet zwar nicht, aber die 2 ersten sind schon ausreichend.
einfacher wär es noch gewesen t=6,r=0 und t=0, r=6 zu nehmen.
Kurze Zusammenfassung. Dein Raum ist 5d, die 3 gegebenen Vektoren sind lin uabhängig, also 3d, also suchst du ne Abbildung mit Kern 3d wobei die 3 Vektoren den Kern aufspannen. Dann ist die dim. des Bildes 2 also suchst du 2 Gleichungen, mit den koeff. a1 bis e1 und a2 bis e2 die die 3 vektoren auf 0 Abbilden.
Die hast du, wenn auch etwas unsystematisch, gefunden und nur noch ne dritte davon lin abh. gleichung dazugeschrieben.
Die Dimensionsformel dim(Kern)+dim(Bild)=dim(Raum) ist immer wieder wichtig, also behalt sie gut im Hinterkopf.
Gruss leduart
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> Gib ein homogenes Gleichungssystem an dessen Lösungsraum
> der von
> [mm] \vektor{-15 \\ 21 \\ 3 \\ 0 \\ 0} \vektor{1 \\ -11 \\ 0 \\ \pi \\ 0} \vektor{-1 \\ 5 \\ 0 \\ 0 \\ 5}
[/mm]
>
> erzeugte Unterraum des [mm]\IR^{5}[/mm] ist.
Hallo,
wenn der von obigen Vektoren erzeugte Unterraum Lösung eines Linearen Gleichungssystems sein soll, suchen wir also ein Gleichungssystem mit den Variablen [mm] x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 [/mm] mit folgender Eigenschaft:
[mm] a\vektor{-15 \\ 21 \\ 3 \\ 0 \\ 0} +b\vektor{1 \\ -11 \\ 0 \\ \pi \\ 0}+c \vektor{-1 \\ 5 \\ 0 \\ 0 \\ 5}=\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 }. [/mm]
Hieraus ergeben sich 5 Gleichungssysteme, aus welchen Du a,b,c eliminieren kannst.
Übrig behältst Du zwei Gleichungen, welche ein Gleichungssystem zum Lösungsraum bilden.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 Sa 04.11.2006 | | Autor: | Hollo |
Hallo!
Vielen Dank an alle!
Also kriegt man dann dieses LGS als Lösung raus?
[mm]-x_{2}+7x_{3}-\bruch{11}{\pi}x_{4}+x_{5}=0[/mm]
[mm]-x_{1}-5x_{3}+\bruch{1}{\pi}x_{4}-\bruch{1}{5}x_{5}=0[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Sa 04.11.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo Hollo!
> Gib ein homogenes Gleichungssystem an dessen Lösungsraum
> der von
> [mm]\vektor{-15 \\ 21 \\ 3 \\ 0 \\ 0} \vektor{1 \\ -11 \\ 0 \\ \pi \\ 0} \vektor{-1 \\ 5 \\ 0 \\ 0 \\ 5}[/mm]
>
> erzeugte Unterraum des [mm]\IR^{5}[/mm] ist.
Die Unterraum läßt sich doch sehr leicht als Lösung eines LGS entstanden denken, weil die unteren drei Komponenten der drei Vektoren sozusagen Diagonalgestalt haben.
Fall 1: [mm] $\pi\not=0$ [/mm] (oder ist mit [mm] $\pi$ [/mm] tatsächlich die Konstante gemeint?)
Der von den drei Vektoren aufgespannte Unterraum bleibt derselbe, wenn jeder Vektor mit einem (von Null verschiedenen) Skalar multipliziert wird:
[mm] $\vektor{-5 \\ 7 \\ 1 \\ 0 \\ 0} \vektor{\bruch{1}{\pi} \\ -\bruch{11}{\pi} \\ 0 \\ 1 \\ 0} \vektor{-\bruch{1}{5} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}$
[/mm]
Diese drei Vektoren spannen denselben Unterraum auf. Ein Vektor [mm] $x\in\IR^5$ [/mm] liegt in diesem Unterraum, wenn gilt:
[mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=x_3*\vektor{-5 \\ 7 \\ 1 \\ 0 \\ 0}+x_4*\vektor{\bruch{1}{\pi} \\ -\bruch{11}{\pi} \\ 0 \\ 1 \\ 0}+x_5* \vektor{-\bruch{1}{5} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}$
[/mm]
Daraus lässt sich ohne großen Aufwand nun das LGS erstellen: Einfach die rechte Seite der Gleichung nach links bringen, fertig 
Viele Grüße,
Marc
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(Korrektur) Korrekturmitteilung  | | Datum: | 19:26 Sa 04.11.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo,
das ist Quatsch... sorry.
Viele Grüße,
Marc
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(Korrektur) Korrekturmitteilung | | Datum: | 19:30 Sa 04.11.2006 | | Autor: | Marc |
Sorry für die Verwirrung. Meine ursprüungliche Antwort ist mMn doch richtig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 Sa 04.11.2006 | | Autor: | Hollo |
Mit [mm] \pi [/mm] war die Konstante gemeint.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 Sa 04.11.2006 | | Autor: | Eisbude |
Es können nicht drei Vektoren den [mm] R^5 [/mm] aufspannen!!!!
Jedoch wäre der [mm] R^3 [/mm] ein Unterraum des [mm] R^5!
[/mm]
Sorry ich verbesser mich! Sie können es schon. Aber wenn zwei im Gleichungssystem eins oder mehrere Gleichungen linear unabhängig sind, also sprich durch LK den Nullvektor ergeben, dann spannen sich nicht den [mm] R^5 [/mm] auf! So meint ichs
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 Sa 04.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Eisbude
Das gehört nicht zu dem Thema hier.
Natürlich spannen 3 Vektoren nie den [mm] \IR^5 [/mm] auf.
Den Rest deiner Bemerkung versteh ich nicht. Aber zum Thema trägt es sichr nicht bei.
Gruss leduart
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