Unterraum und Jordan-Form < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (i) V ist ein n-dim. Vektorraum, [mm] f:V\rightarrow [/mm] V Endomorphismus mit Ker(f)=Bild(f). Wie sieht die Jordan-Normalform aus?
(ii) Gib einen Endomorphismus [mm] f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2 [/mm] an, so dass [mm] 0,\mathbb{R}^2 [/mm] und die Geraden { [mm] (x,x)|x\in \mathbb{R} [/mm] } und { [mm] (x,-x)|x\in \mathbb{R} [/mm] } die einzigen f-invarianten Unterräume sind.
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Hallo,
Zu (i). Da gilt ja dann [mm] dimKer(f)=dimBild(f)=\frac{n}{2}. [/mm] Ich weiß allerdings nicht recht, wie ich damit auf die Jordan-Form komme?
Zu (ii). Ich dachte mir, dass die Matrix [mm] $A:=\begin{pmatrix}0 & 1\\
1 & 0\end{pmatrix}$ [/mm] die Bedingungen erfüllt, also wollte ich A als Darstellungsmatrix des Endomorphismus betrachten.
f würde dann den zweiten kanonischen Basisvektor auf den ersten abbilden und umgekehrt.
Ich hatte schon f((1,0))=(0,1) und f((0,1))=(1,0). Ich kann hier aber nicht die Linearität nachweisen, also kanns das ja nicht so recht sein. Aber wie dann?
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> (i) V ist ein n-dim. Vektorraum, [mm]f:V\rightarrow[/mm] V
> Endomorphismus mit Ker(f)=Bild(f). Wie sieht die
> Jordan-Normalform aus?
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> (ii) Gib einen Endomorphismus [mm]f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2[/mm]
> an, so dass [mm]0,\mathbb{R}^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und die Geraden { [mm](x,x)|x\in \mathbb{R}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } und { [mm](x,-x)|x\in \mathbb{R}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} die einzigen f-invarianten
> Unterräume sind.
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> Hallo,
>
> Zu (i). Da gilt ja dann [mm]dimKer(f)=dimBild(f)=\frac{n}{2}.[/mm]
> Ich weiß allerdings nicht recht, wie ich damit auf die
> Jordan-Form komme?
Hallo,
immerhin Kennst Du damit schon 3/4 der Jordanmatrix: [mm] J=\pmat{ 0 & 0 \\ 0& \* }. [/mm] (Als Blockmatrix)
Jetzt überleg' Dir mal, was [mm] f^2 [/mm] ist.
>
> Zu (ii). Ich dachte mir, dass die Matrix
> [mm]$A:=\begin{pmatrix}0 & 1\\
1 & 0\end{pmatrix}$[/mm] die
> Bedingungen erfüllt, also wollte ich A als
> Darstellungsmatrix des Endomorphismus betrachten.
> f würde dann den zweiten kanonischen Basisvektor auf den
> ersten abbilden und umgekehrt.
> Ich hatte schon f((1,0))=(0,1) und f((0,1))=(1,0). Ich
> kann hier aber nicht die Linearität nachweisen, also kanns
> das ja nicht so recht sein. Aber wie dann?
Deine durch f(x):=Ax definierte Abbildung kann überhaupt nicht anders als linear sein.
Du brauchst das noch nichtmal vorzurechnen, weil jede Matrix auf diese Weise eine lineare Abbildung definiert, was sicher aus der Vorlesung bekannt ist.
Aber die Linearität kannst Du natürlich auch zu Fuß nachweisen:
rechne vor, daß [mm] A(\vektor{x_1\\x_2}+\vektor{y_1\\y_2})=A\vektor{x_1\\x_2}+A\vektor{y_1\\y_2}, [/mm] Multiplikation entsprechend.
Gruß v. Angela
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> > Hallo,
> >
> > Zu (i). Da gilt ja dann [mm]dimKer(f)=dimBild(f)=\frac{n}{2}.[/mm]
> > Ich weiß allerdings nicht recht, wie ich damit auf die
> > Jordan-Form komme?
>
> Hallo,
>
> immerhin Kennst Du damit schon 3/4 der Jordanmatrix:
> [mm]J=\pmat{ 0 & 0 \\ 0& \* }.[/mm] (Als Blockmatrix)
>
> Jetzt überleg' Dir mal, was [mm]f^2[/mm] ist.
Ich hab so die Vermutung, dass [mm] f^2=0 [/mm] ist. Aber ich brauche was über den [mm] Ker(f^2) [/mm] oder? Dann kann [mm] f^2 [/mm] doch nicht null sein.
>
> >
> > Zu (ii). Ich dachte mir, dass die Matrix
> > [mm]$A:=\begin{pmatrix}0 & 1\\
1 & 0\end{pmatrix}$[/mm] die
> > Bedingungen erfüllt, also wollte ich A als
> > Darstellungsmatrix des Endomorphismus betrachten.
> > f würde dann den zweiten kanonischen Basisvektor auf
> den
> > ersten abbilden und umgekehrt.
> > Ich hatte schon f((1,0))=(0,1) und f((0,1))=(1,0). Ich
> > kann hier aber nicht die Linearität nachweisen, also kanns
> > das ja nicht so recht sein. Aber wie dann?
>
> Deine durch f(x):=Ax definierte Abbildung kann überhaupt
> nicht anders als linear sein.
> Du brauchst das noch nichtmal vorzurechnen, weil jede
> Matrix auf diese Weise eine lineare Abbildung definiert,
> was sicher aus der Vorlesung bekannt ist.
>
> Aber die Linearität kannst Du natürlich auch zu Fuß
> nachweisen:
>
> rechne vor, daß
> [mm]A(\vektor{x_1\\x_2}+\vektor{y_1\\y_2})=A\vektor{x_1\\x_2}+A\vektor{y_1\\y_2},[/mm]
> Multiplikation entsprechend.
>
> Gruß v. Angela
Hierzu nochmal etwas: meine Matrix A war natürlich falsch, denn dann gilt ja A(x,-x)=(-x,x), also ist die zweite Gerade gar kein A-invarianter Unterraum. Dann dachte ich mir, nimmste für A einfach die Einheitsmatrix. Dann sind zumindest alle geforderten Räume wirklich invariant.
Aber dann sind doch leider auch solche Räume { [mm] (x,y)|x\neq [/mm] y } A invariant, also die geforderten Geraden, 0 und [mm] \mathbb{R}^2 [/mm] sind nicht mehr die einzigen Räume, die A-invariant sind. Wo liegt der Fehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:36 Mi 08.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Jetzt überleg' Dir mal, was [mm]f^2[/mm] ist.
>
> Ich hab so die Vermutung, dass [mm]f^2=0[/mm] ist.
Ja. Weisst du auch warum? (Schau dir mal die Voraussetzung an.)
> Aber ich brauche was über den [mm]Ker(f^2)[/mm] oder?
Ja.
> Dann kann [mm]f^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
doch nicht null sein.
Wieso? Es ist doch $\ker(0)$ der ganze Vektorraum.
> Hierzu nochmal etwas: meine Matrix A war natürlich falsch,
> denn dann gilt ja A(x,-x)=(-x,x), also ist die zweite
> Gerade gar kein A-invarianter Unterraum.
Wieso das? Natuerlich ist das dann ein $A$-invarianter Unterraum, schliesslich liegt $(-x, x) = -(x, -x)$ wieder im gleichen Untervektorraum wie $(x, -x)$ selber.
> Dann dachte ich
> mir, nimmste für A einfach die Einheitsmatrix. Dann sind
> zumindest alle geforderten Räume wirklich invariant.
Ja, aber es gibt noch ganz viele andere invarianten Unterraeume.
> Aber dann sind doch leider auch solche Räume {
> [mm](x,y)|x\neq[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
y } A invariant, also die geforderten Geraden,
> 0 und [mm]\mathbb{R}^2[/mm] sind nicht mehr die einzigen Räume, die
> A-invariant sind. Wo liegt der Fehler?
Du darfst nicht die Einheitsmatrix nehmen. Dein $A$ ist schon ganz gut gewaehlt.
Allgemein: du brauchst zwei eindimensionale Eigenraeume, naemlich die beiden gegebenen Untervektorraeume.
LG Felix
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Zur Jordan-Form für Ker(f)=Bild(f), [mm] f\in [/mm] End(V).
Also die Frage ist, warum ist [mm] f^2=0? [/mm] Ich kanns nicht recht begründe. Dimensionsformel vllt? Aber wie?
Ich versuche trotzdem mal meine Schlüsse daraus zuschließen. Wenn ich weiß, dass [mm] f^2=0 [/mm] ist, dann ist f doch nilpotent, oder nicht?
Also [mm] Ker(f)=\frac{n}{2} [/mm] und [mm] Ker(f^2)=n. [/mm] Damit Partition für Jordan-Form:
[mm] p=(\frac{n}{2},\frac{n}{2}).
[/mm]
Ich hätte also 2 Jordanblöcke, die jeweils [mm] \frac{n}{2} [/mm] Spalten und Zeilen haben.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Mi 08.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zur Jordan-Form für Ker(f)=Bild(f), [mm]f\in[/mm] End(V).
> Also die Frage ist, warum ist [mm]f^2=0?[/mm] Ich kanns nicht
> recht begründe. Dimensionsformel vllt? Aber wie?
Sei $v [mm] \in [/mm] V$. Dann ist offenbar $f(v) [mm] \in [/mm] Bild(f) = Ker(f)$. Was gilt dann fuer [mm] $f^2(v) [/mm] = f(f(v))$, wenn $f(v)$ im Kern von $f$ liegt?
> Ich versuche trotzdem mal meine Schlüsse daraus
> zuschließen. Wenn ich weiß, dass [mm]f^2=0[/mm] ist, dann ist f
> doch nilpotent, oder nicht?
Ja, es ist nilpotent.
> Also [mm]Ker(f)=\frac{n}{2}[/mm] und [mm]Ker(f^2)=n.[/mm] Damit Partition
Da fehlt wohl zweimal ein [mm] $\dim$.
[/mm]
> für Jordan-Form:
> [mm]p=(\frac{n}{2},\frac{n}{2}).[/mm]
> Ich hätte also 2 Jordanblöcke, die jeweils [mm]\frac{n}{2}[/mm]
> Spalten und Zeilen haben.
Dann waer das Minimalpolynom durch [mm] $X^{\frac{n}{2}}$ [/mm] gegeben und nicht durch [mm] $X^2$.
[/mm]
LG Felix
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> > Also [mm]Ker(f)=\frac{n}{2}[/mm] und [mm]Ker(f^2)=n.[/mm] Damit Partition
>
> Da fehlt wohl zweimal ein [mm]\dim[/mm].
Ja das hatte ich vergessen.
>
> > für Jordan-Form:
> > [mm]p=(\frac{n}{2},\frac{n}{2}).[/mm]
> > Ich hätte also 2 Jordanblöcke, die jeweils
> [mm]\frac{n}{2}[/mm]
> > Spalten und Zeilen haben.
>
> Dann waer das Minimalpolynom durch [mm]X^{\frac{n}{2}}[/mm] gegeben
> und nicht durch [mm]X^2[/mm].
>
> LG Felix
>
ok, ich weiß also, dass der längste Jordan-Block ein [mm] 2\times [/mm] 2 -Block ist.
Wenn ich jetzt an mein p noch ein ' mache, also die duale Partition [mm] p'=(\frac{n}{2},\frac{n}{2}) [/mm] dann müsste es aber wirklich passen, denn dann wäre p=(2,2,...,2) entsprechend [mm] \frac{n}{2} [/mm] mal, also [mm] \frac{n}{2} 2\times [/mm] 2 Jordan-Blöcke. Stimmts so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:16 Do 09.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ok, ich weiß also, dass der längste Jordan-Block ein
> [mm]2\times[/mm] 2 -Block ist.
Genau.
> Wenn ich jetzt an mein p noch ein ' mache, also die duale
> Partition [mm]p'=(\frac{n}{2},\frac{n}{2})[/mm] dann müsste es aber
> wirklich passen, denn dann wäre p=(2,2,...,2) entsprechend
> [mm]\frac{n}{2}[/mm] mal, also [mm]\frac{n}{2} 2\times[/mm] 2 Jordan-Blöcke.
> Stimmts so?
Ja, es stimmt so.
LG Felix
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Ich muss hierzu noch mal ergänzend was fragen.
Gilt nicht [mm] dimBild(f)=dimKer(f^2)+dimBild(f^2)?
[/mm]
Ist jetzt Ker(f)=Bild(f) für dimV=n, so ist [mm] dimKer(f)=\frac{n}{2}=dimBild(f).
[/mm]
Dann wäre aber für [mm] f^2=0, dimBild(f^2)=0 [/mm] und somit:
[mm] dimKer(f^2)=\frac{n}{2} [/mm] und nicht =n, so wie ich es oben gesagt hatte.
Das verwirrt mich irgendwie.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:30 Mi 15.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich muss hierzu noch mal ergänzend was fragen.
>
> Gilt nicht [mm]dimBild(f)=dimKer(f^2)+dimBild(f^2)?[/mm]
Nein, das gilt nicht; das gilt nur dann, wenn $f$ bijektiv ist (und dann ist es trivial), und das ist es bei dir ganz bestimmt nicht.
LG Felix
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> Hierzu nochmal etwas: meine Matrix A war natürlich falsch,
> denn dann gilt ja A(x,-x)=(-x,x), also ist die zweite
> Gerade gar kein A-invarianter Unterraum.
Papperlapapp.
Es werden zwar nicht die Punkte der Geraden jeweils auf sich selbst abgebildet, aber das Bild der geraden ist doch die gerade selbst.
(-x, x) liegt doch drauf für jedes x, und Du kannst jeden Punkt der geraden so schreiben.
Gruß v. Angela
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