Unterraum von Abb(R,R) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Fr 01.02.2008 | | Autor: | timako |
| Aufgabe | Ist die Menge Unterraum des angegebenen Vektorraums?
U := [mm] \{f \in Abb(\IR, \IR): f(x)=f(-x) \forall x \in \IR\} \subset Abb(\IR, \IR) [/mm] |
Hallo,
mal wieder die liebe lineare Algebra.. ;)
U [mm] \not= \emptyset [/mm] ist klar, zuerst prüfe ich nun auf Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation mit einem Skalar:
Sei [mm] \underline{x} \in [/mm] U, [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \lambda*\underline{x} [/mm] = [mm] (\lambda*f)(x) [/mm] = [mm] (\lambda*f)(-x) [/mm] = [mm] \lambda*f(-x) [/mm] = [mm] \lambda*f(x) [/mm] = [mm] (\lambda*f)(x) [/mm] = g(x) [mm] \Rightarrow \in [/mm] U
Ist diese Gleichungskette so richtig und sinnvoll? Bin mir nicht sicher wie ich bei solchen Aufgaben korrekt vorgehe..
Gruß, T.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Fr 01.02.2008 | | Autor: | dormant |
Hi!
> U [mm]\not= \emptyset[/mm] ist klar, zuerst prüfe ich nun auf
> Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation mit einem Skalar:
>
> Sei [mm]\underline{x} \in[/mm] U, [mm]\lambda \in \IR[/mm]
Somit ist [mm] \underline{x}\in\IR\not=U. [/mm] D.h. du schießt daneben. Du sollst ein [mm] \underline{f}\in [/mm] U betrachten. Dann sollst du zeigen, dass für [mm] \lambda\in\IR \lambda\underline{f}\in [/mm] U, oder eben, dass [mm] \forall x\in\IR [/mm] gilt [mm] \lambda\underline{f}(x)=\lambda\underline{f}(-x). [/mm] Dann sollst du noch die Abgeschlossenheit bezüglich der Addition in U zeigen, d.h. für f, g [mm] \in [/mm] U ist auch f+g [mm] \in [/mm] U.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Fr 01.02.2008 | | Autor: | timako |
Hallo dormant,
Danke, besser ist natürlich deine vorgeschlagene Bezeichnung [mm] \underline{f}
[/mm]
Ist denn dann folgende Gleichungskette richtig?
zu zeigen: [mm] \lambda\underline{f} \in [/mm] U
[mm] \lambda\underline{f} [/mm] = [mm] (\lambda*f)(x) [/mm] = [mm] \lambda*f(x) [/mm] = [mm] \lambda*f(-x) [/mm] = [mm] (\underbrace{\lambda*f}_{\underline{g}})(-x) [/mm] = [mm] \underline{g}(-x) [/mm] = [mm] \underline{g}(x) \Rightarrow \in [/mm] U
Gruß,
timako
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Hallo timako,
das Vorgehen ist dir offenbar klar, nur wenn die Vektoren Funktionen sind, solltest du genauer aufschreiben:
So ganz gefallen mir die Bezeichnungen und v.a. das erste "=" nicht
Nochmal vorab: Die Vektoren in U sind Abbildungen von [mm] $\IR\to\IR$, [/mm] etwa [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] mit gewissen Eigenschaften, nämlich, dass [mm] $\forall x\in\IR:f(x)=f(-x)$ [/mm] gilt
Nun nimmst du dir ein beliebigen Vektor f (wieso nennst du das [mm] \underline{f}?) [/mm] aus U her und einen beliegigen reellen Skalar [mm] $\lambda$
[/mm]
Dann musst du zeigen, dass [mm] $\lambda\cdot{}f\in [/mm] U$ ist
Dh. du musst zeigen, dass [mm] $\forall x\in\IR:(\lambda\cdot{}f)(x)=(\lambda\cdot{}f)(-x)$ [/mm] gilt
Sei also [mm] $x\in\IR$ [/mm] beliebig
Dann ist [mm] $(\lambda\cdot{}f)(x)=\lambda\cdot{}f(x)=\lambda\cdot{}f(-x)$ [/mm] denn [mm] $f\in [/mm] U$
[mm] $=(\lambda\cdot{}f)(-x)$
[/mm]
Da [mm] $x\in\IR$ [/mm] beliebig war, gilt dies für alle [mm] $x\in\IR$, [/mm] also ist [mm] $\lambda\cdot{}f\in [/mm] U$
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Fr 01.02.2008 | | Autor: | timako |
Hallo schachuzipus,
vielen Dank für deine ausführliche Erläuterung.
Nun, [mm] \underline{f} [/mm] schrieb ich auf Anregung von dormant, aber in Zukunft werde ich weiter bei der Bezeichnung [mm] \underline{x} [/mm] für ein Element des Vektorraumes bleiben.
Zu meiner Vorgehensweise: Mein Professor ging in früheren ähnlichen Übungen so vor...
Sei [mm] \underline{x} \in [/mm] U, [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \lambda*\underline{x} [/mm] = [mm] (\lambda*f)(x) [/mm] = ...usw.
An der Stelle wo du endest glaubte ich noch weiter formulieren zu müssen:
... [mm] (\lambda*f)(-x) [/mm] = [mm] \underline{y}(-x) [/mm] (um auszudrücken dass dies wiederum ein Element des Vektorraums ist) = [mm] \underline{y}(x) [/mm] (für dass die o.g. Bedingung gilt) [mm] \Rightarrow \underline{y} \in [/mm] U (und ist damit in U enthalten)
Aber irgendwie habe ich hier das Gefühl mich im Kreis zu drehen...
Ich muss also in diesem Fall die Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation folgendermaßen zeigen:
Sei [mm] \underline{x} \in [/mm] U, [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
zu zeigen: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR: (\lambda*f)(x) [/mm] = [mm] (\lambda*f)(-x)
[/mm]
Sei x [mm] \in \IR [/mm] beliebig
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] (\lambda*f)(x) [/mm] = [mm] \lambda*f(x) [/mm] = [mm] \lambda*f(-x) [/mm] (da f [mm] \in [/mm] U) = [mm] (\lambda*f)(-x) \Rightarrow \lambda\underline{x} \in [/mm] U
Ich habe bei den verschiedenen Aufgaben immer wieder Probleme, den richtigen Ansatz zu wählen..
Gruß,
timako
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Hallo nochmal,
diese komische Schreibweise führt zu Missverständnissen 
> Hallo schachuzipus,
>
> vielen Dank für deine ausführliche Erläuterung.
>
> Nun, [mm]\underline{f}[/mm] schrieb ich auf Anregung von dormant,
> aber in Zukunft werde ich weiter bei der Bezeichnung
> [mm]\underline{x}[/mm] für ein Element des Vektorraumes bleiben.
>
> Zu meiner Vorgehensweise: Mein Professor ging in früheren
> ähnlichen Übungen so vor...
>
> Sei [mm]\underline{x} \in[/mm] U, [mm]\lambda \in \IR[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\lambda*\underline{x}[/mm] = [mm](\lambda*f)(x)[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") = ...usw.
Lies dir mal selbst laut vor, was da steht...
Der Vektor aus U, den du mit [mm] \underline{x} [/mm] bezeichnest, ist eine ABBILDUNG, ob du sie f, [mm] \underline{x} [/mm] oder TANNENBAUM nennst, ist egal.
Nehmen wir deine Bezeichnung [mm] \underline{x}
[/mm]
Dann ist zu zeigen, dass für beliebiges [mm] \lambda\in\IR [/mm] gilt: [mm] \lambda\cdot{}\underline{x}\in [/mm] U
dh. wie oben schon gesagt, musst du zeigen, dass [mm] $\forall x\in\IR: (\lambda\cdot{}\underline{x})(x)=(\lambda\cdot{}\underline{x})(-x)$ [/mm] gilt
Die [mm] x\in\IR [/mm] haben mit deinem [mm] \underline{x} [/mm] nix zu tun, das sind verschiedene Dinge, die [mm] x\in\IR [/mm] sind die Argumente, die du in die Abbildung [mm] \underline{x} [/mm] reinsteckst.
Zur Erinnerung: [mm] $\underline{x}\in [/mm] U$ ist eine Abbildung [mm] $\underline{x}:\IR\to\IR$ [/mm] mit [mm] $\underline{x}(x)=\underline{x}(-x)$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IR$
[/mm]
Da siehst du, warum ich lieber die Abbildung aus U mit f oder g bezeichnen würde, da vertut man sich nicht so schnell
> An der Stelle wo du endest glaubte ich noch weiter
> formulieren zu müssen:
>
> ... [mm](\lambda*f)(-x)[/mm] = [mm]\underline{y}(-x)[/mm] (um auszudrücken
> dass dies wiederum ein Element des Vektorraums ist) =
> [mm]\underline{y}(x)[/mm] (für dass die o.g. Bedingung gilt)
> [mm]\Rightarrow \underline{y} \in[/mm] U (und ist damit in U
> enthalten)
Das kannst du machen, wenn du das, was ich mit f bezeichnet habe, mit [mm] \underline{x} [/mm] bezeichnest und "mein" [mm] (\lambda\cdot{}f) [/mm] mit [mm] \underline{y}
[/mm]
>
> Aber irgendwie habe ich hier das Gefühl mich im Kreis zu
> drehen...
Das rührt von der unglücklichen Bezeichnung, die du für die Vektoren aus U, also die Abbildungen, gewählt hast
>
> Ich muss also in diesem Fall die Abgeschlossenheit bzgl.
> Multiplikation folgendermaßen zeigen:
>
> Sei [mm]\underline{x} \in[/mm] U, [mm]\lambda \in \IR[/mm]
>
> zu zeigen: [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR: (\lambda*f)(x)[/mm]
schon wieder, was ist f? Das hast du nirgends definiert, du hattest dir ein [mm] \underline{x}\in [/mm] U hergenommen
> = [mm](\lambda*f)(-x)[/mm]
>
> Sei x [mm]\in \IR[/mm] beliebig
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm](\lambda*f)(x)[/mm] = [mm]\lambda*f(x)[/mm] = [mm]\lambda*f(-x)[/mm] (da f [mm]\in[/mm] U)
> = [mm](\lambda*f)(-x) \Rightarrow \lambda\underline{x} \in[/mm] U
>
> Ich habe bei den verschiedenen Aufgaben immer wieder
> Probleme, den richtigen Ansatz zu wählen..
>
> Gruß,
> timako
>
Ja, versuche, die Dinge anders zu bezeichnen, das hilft oft weiter.
Wenn du die Abbildungen mit f,g usw bezeichnest, kriegst du das hin
Du kannst ja dann anschließend wieder jedes f mit [mm] \underline{x} [/mm] bezeichnen, wenn das deinem Prof so besser gefällt
LG
schachuzipus
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 20:03 Fr 01.02.2008 | | Autor: | timako |
Langsam wird mir mein Denkfehler klarer - ich dachte, grundsätzlich ein Element des Vektorraums mit [mm] \underline{x} [/mm] bezeichnen zu müssen... Das ist natürlich Quatsch, vielen Dank für deine anschaulichen Denkanstösse ;)
Habe jetzt mein Element aus U in der Lösung mit f bezeichnet, damit bezeichne ich IRGENDEINE Abbildung aus U, denke ich habs jetzt..
In der Aufgabenstellung ist ja die Menge U wie folgt definiert:
U := [mm] \{f \in Abb(\IR, \IR): f(x)=f(-x) \forall x \in \IR\} \subset Abb(\IR, \IR)
[/mm]
Also sieht meine Untersuchung, ob die geg. Menge ein UR ist, so aus:
U [mm] \not= \emptyset
[/mm]
U [mm] \subset [/mm] Abb(R,R)
Sei f [mm] \in [/mm] U, [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
[mm] \lambda*f \in [/mm] U ?
zu zeigen: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR: (\lambda*f)(x) [/mm] = [mm] (\lambda*f)(-x)
[/mm]
Sei x [mm] \in \IR [/mm] beliebig
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \lambda*f [/mm] = [mm] (\lambda*f)(x) [/mm] = [mm] \lambda*f(x) [/mm] = [mm] \lambda*f(-x) [/mm] (da f [mm] \in [/mm] U) = [mm] (\lambda*f)(-x) \Rightarrow \lambda*f \in [/mm] U
Sei f,g [mm] \in [/mm] U
(f+g) [mm] \in [/mm] U?
zu zeigen: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR: [/mm] (f+g)(x) = (f+g)(-x)
[mm] \Rightarrow
[/mm]
f+g = (f+g)(x) = f(x)+g(x) = f(-x)+g(-x) (da f,g [mm] \in [/mm] U) = (f+g)(-x) [mm] \Rightarrow [/mm] (f+g) [mm] \in [/mm] U
[mm] \Rightarrow
[/mm]
U ist UR von [mm] Abb(\IR,\IR)
[/mm]
Danke für deine Hilfe und beste Grüsse
timako
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