Unterraumkriterium anwenden < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Di 03.07.2012 | | Autor: | mythbu |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie, ob U ein Unterraum des [mm] \IR^\IR [/mm] Vektorraumes V ist für: $V := [mm] \IR^\IR, [/mm] U= [mm] \{f:\IR->\IR|f(x)>= 0, \forall x \in \IR\}$. [/mm] |
Hey,
"normale" Untersuchungen auf Unterraum mit, z.B. $V := [mm] \IR^n, [/mm] U= [mm] \{(\vektor{x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n})|x_1 = 0}$ [/mm] kann ich schon. Aber bei der obigen Aufgabenstellung weiß ich einfach nicht vor und nicht zurück.
Ich weiß aber, dass ich folgendes zeigen muss:
1.) U darf nicht die leere Menge sein, also 0 muss Element U sein
2.) Wenn ich zwei Elemente aus u addiere, muss ich immernoch in U sein
3.) Wenn ich ein Element aus u mit einem Skalar multipliziere, muss ich auch noch in U sein
Könntet Ihr mir vielleicht einen Anstoß geben? Das Problem ist, dass ich mir hier U nicht vorstellen kann und daher auch nicht weiß, wie ich anfangen soll.
Gruß,
mythbu
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> Untersuchen Sie, ob U ein Unterraum des [mm]\IR^\IR[/mm]
> Vektorraumes V ist für: [mm]V := \IR^\IR, U= \{f:\IR->\IR|f(x)>= 0, \forall x \in \IR\}[/mm].
>
> Hey,
>
> "normale" Untersuchungen auf Unterraum mit, z.B. [mm]V := \IR^n, U= \{(\vektor{x_1 \\
x_2 \\
... \\
x_n})|x_1 = 0}[/mm]
> kann ich schon.
Hallo,
das ist doch schonmal eine gute Ausgangssituation.
> Aber bei der obigen Aufgabenstellung weiß
> ich einfach nicht vor und nicht zurück.
Dann schauen wir uns doch zuerst einmal den zugrundeliegenden VR V := [mm] \IR^\IR [/mm] an.
Er enthält Funktionen, die aus dem [mm] \IR [/mm] in den [mm] \IR [/mm] abbilden.
Die Vektoren (=Elmente des Vektorraumes) sind hier also Funktionen.
Nun müssen wir die Verknüpfungen ansehen:
wenn f,g [mm] \in [/mm] V, wie ist dann die Funktion f+g definiert? Das habt Ihr in der Vorlesung garantiert besprochen.
Und wie ist [mm] für\lambda \in \IR [/mm] die Funktion [mm] \lambda [/mm] f definiert?
Nun wenden wir uns der Menge U= [mm] \{f:\IR->\IR|f(x)\ge 0\quad \forall x \in \IR\} [/mm] zu.
Sie enthält die Funktionen, deren Funktionswerte überall nichtnegativ sind.
> Ich weiß aber, dass ich folgendes zeigen muss:
> 1.) U darf nicht die leere Menge sein, also 0 muss Element
> U sein
Hiermuß man bedenken, wasmit "0" gemeint ist: nämlich das neutrale Element derAddition im zugrundeliegenden VR, hier also in V.
Was ist das neutrale Element in V?
> 2.) Wenn ich zwei Elemente aus u addiere, muss ich
> immernoch in U sein
Genau. Seien [mm] g,f\in [/mm] U.
Dann gilt ja für alle [mm] x\in \IR: f(x)\ge [/mm] 0, [mm] g(x)\ge [/mm] 0.
Du mußt nun rausfinden, ob f+g auch in U ist, ob also [mm] (f+g)(x)\ge [/mm] 0 für alle [mm] x\in \IR.
[/mm]
> 3.) Wenn ich ein Element aus u mit einem Skalar
> multipliziere, muss ich auch noch in U sein
Analog zu 2)
LG Angela
>
> Könntet Ihr mir vielleicht einen Anstoß geben? Das
> Problem ist, dass ich mir hier U nicht vorstellen kann und
> daher auch nicht weiß, wie ich anfangen soll.
>
> Gruß,
> mythbu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Di 03.07.2012 | | Autor: | mythbu |
Hallo,
zunächst einmal Danke für die Antwort  .
> Dann schauen wir uns doch zuerst einmal den
> zugrundeliegenden VR V := [mm]\IR^\IR[/mm] an.
> Er enthält Funktionen, die aus dem [mm]\IR[/mm] in den [mm]\IR[/mm]
> abbilden.
> Die Vektoren (=Elmente des Vektorraumes) sind hier also
> Funktionen.
Also z.B. [mm] $f(x)=x^2>=0$ [/mm] als ein "Vektor"/Element aus dem VR?
> wenn f,g [mm]\in[/mm] V, wie ist dann die Funktion f+g definiert?
> Das habt Ihr in der Vorlesung garantiert besprochen.
> Und wie ist [mm]für\lambda \in \IR[/mm] die Funktion [mm]\lambda[/mm] f
> definiert?
Das zielt dann einfach auf die "Hinereinanderschaltung"/"Verkettung" von Abbildungen ab? Also $(f [mm] \circ [/mm] g)(x) =f(g(x))$ nur eben hier mit dem Plus als Verknüpfung? Und bei dem Lambda eben selbiges.
> Hiermuß man bedenken, wasmit "0" gemeint ist: nämlich das
> neutrale Element derAddition im zugrundeliegenden VR, hier
> also in V.
> Was ist das neutrale Element in V?
Die Umkehrabbildung (also Identität)? Aber die würde ja nur für bijektive Abbildungen existieren. Und da man nicht garantieren kann, dass jede f(x) >= 0 bijektiv ist würde es schon hier scheitern?
> Du mußt nun rausfinden, ob f+g auch in U ist, ob also
> [mm](f+g)(x)\ge[/mm] 0 für alle [mm]x\in \IR.[/mm]
Etwa so: da gefordert ist, dass g(x) >= 0 ist für alle x, wird aus (f+g)(x)=f(g(x)) auch nur ein positives x eingesetzt und da f(x) auch lt. forderung >= 0 ist, ist die Verkettung der Abbildungen auch >= 0 und somit wieder Element des Unterraums.
Zusätzlich noch eine Frage: angenommen es würde sich um einen Unterraum handeln, wie gebe ich dann dafür eine Basis (=max. Anzahl l.u. Vektoren + Erzeugendensystem + ohne Nullelement)? Bei Unterraumaufgaben mit Vektoren suche ich mir immer zwei Vektoren, die die Bedingung des Unterraums erfüllen und bilde dann mit dem Kreuzprodukt/Vektorprodukt einen l.u. Vektor zu beiden anderen und hätte somit dann eine Basis von 3 l.u. Vektoren, die den Raum aufspannen (natürlich nur für den [mm] $\IR^3$). [/mm] (Ist doch richtig, oder?) Aber hier scheint mir das etwas suboptimal ...
Gruß,
mythbu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:34 Mi 04.07.2012 | | Autor: | fred97 |
Mit der Verkettung liegst Du völlig falsch !
(f+g)(x):=f(x)+g(x)
und
[mm] (\lambda*f)(x)=\lambda*f(x)
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:02 Mi 04.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> zunächst einmal Danke für die Antwort .
>
> > Dann schauen wir uns doch zuerst einmal den
> > zugrundeliegenden VR V := [mm]\IR^\IR[/mm] an.
> > Er enthält Funktionen, die aus dem [mm]\IR[/mm] in den [mm]\IR[/mm]
> > abbilden.
> > Die Vektoren (=Elmente des Vektorraumes) sind hier also
> > Funktionen.
>
> Also z.B. [mm]f(x)=x^2>=0[/mm] als ein "Vektor"/Element aus dem VR?
>
> > wenn f,g [mm]\in[/mm] V, wie ist dann die Funktion f+g definiert?
> > Das habt Ihr in der Vorlesung garantiert besprochen.
> > Und wie ist [mm]für\lambda \in \IR[/mm] die Funktion [mm]\lambda[/mm] f
> > definiert?
>
> Das zielt dann einfach auf die
> "Hinereinanderschaltung"/"Verkettung" von Abbildungen ab?
> Also [mm](f \circ g)(x) =f(g(x))[/mm] nur eben hier mit dem Plus als
> Verknüpfung? Und bei dem Lambda eben selbiges.
>
> > Hiermuß man bedenken, wasmit "0" gemeint ist: nämlich das
> > neutrale Element derAddition im zugrundeliegenden VR, hier
> > also in V.
> > Was ist das neutrale Element in V?
>
> Die Umkehrabbildung (also Identität)? Aber die würde ja
> nur für bijektive Abbildungen existieren. Und da man nicht
> garantieren kann, dass jede f(x) >= 0 bijektiv ist würde
> es schon hier scheitern?
>
> > Du mußt nun rausfinden, ob f+g auch in U ist, ob also
> > [mm](f+g)(x)\ge[/mm] 0 für alle [mm]x\in \IR.[/mm]
>
> Etwa so: da gefordert ist, dass g(x) >= 0 ist für alle x,
> wird aus (f+g)(x)=f(g(x)) auch nur ein positives x
> eingesetzt und da f(x) auch lt. forderung >= 0 ist, ist die
> Verkettung der Abbildungen auch >= 0 und somit wieder
> Element des Unterraums.
>
> Zusätzlich noch eine Frage: angenommen es würde sich um
> einen Unterraum handeln, wie gebe ich dann dafür eine
> Basis (=max. Anzahl l.u. Vektoren + Erzeugendensystem +
> ohne Nullelement)? Bei Unterraumaufgaben mit Vektoren suche
> ich mir immer zwei Vektoren, die die Bedingung des
> Unterraums erfüllen und bilde dann mit dem
> Kreuzprodukt/Vektorprodukt einen l.u. Vektor zu beiden
> anderen und hätte somit dann eine Basis von 3 l.u.
> Vektoren, die den Raum aufspannen (natürlich nur für den
> [mm]\IR^3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
). (Ist doch richtig, oder?) Aber hier scheint mir das
> etwas suboptimal ...
Du hast vieles nachzuarbeiten. Zum einen erläutere ich das von Fred gesagte mal genauer:
Wenn man den $\IR^{\IR}=\{u: \IR \to \IR\}$ hat, dann betrachtet man $\IR^{\IR}$ mit einer Addition $\oplus: \IR^{\IR} \times \IR^{\IR} \to \IR^{\IR}}$ (d.h. $(f,g) \in \IR^{\IR} \times \IR^{\IR}$ wird abgebildet auf $(f \oplus g):=f \oplus g:=\oplus((f,g)) \in \IR^{\IR}$ - kurz: Man bildet für zwei Funktionen $f,g: \IR \to \IR$ eine "Summenfunktion" $\oplus((f,g))\,,$ die wieder eine Funktion $\IR \to \IR$ sein wird, und aus Gründen der Praxisbwährtheit schreibt man $f \oplus g:=(f \oplus g):=\oplus((f,g))$!) und einer skalaren Multiplikation $\odot: \IR \times \IR^{\IR} \to \IR^{\IR}}$ als Vektorraum über $\IR$ wie folgt:
Für $f,g \in \IR^{\IR}$ definiert man die Funktion $(f \oplus g): \IR \to \IR$ punktweise durch
$$(f \oplus g)(x):=f(x)+g(x) \text{ für alle }x \in \IR$$
(die Addition rechterhand ist die bekannte/übliche Addition $+\;\;:\;\IR \times \IR \to \IR$!!)
und für $\lambda \in \IR$ setzt man
$$(\lambda \odot f)(x):=\lambda*f(x) \text{ für alle }x \in \IR\,.$$
(Auch hier ist die Multiplikation rechterhand die übliche $*\;\;:\;\IR \times \IR \to \IR$!!)
Dann schreibt man auch $f \oplus g:=(f \oplus g)$ und $(\lambda \odot f):=\lambda \odot f\,,$ und sogar, weil die "Addition" und "skalare Multiplikation" eben pktw. definiert wurde sogar einfach $f+g:=f \oplus g$ und $\lambda f:=\lambda * f:= \lambda \odot f\,.$
Mach' Dir das erstmal klar, dann siehst Du auch, dass das neutrale Element in $\IR^{\IR}$ die Nullfunktion $\IR \to \IR$ ist und dass hier für $f \in \IR^{\IR}$ das additiv inverse Element $-f:=(-1) \odot f$ ist.
Und zu der Sache mit der Basis: Unter gewissen Voraussetzungen kann man sowas wie das Schmidtsche Orthogonalverfahren anwenden. Generell kann man natürlich versuchen, wenn man eine linear unabhängige Teilmenge von Vektoren hat, die den Raum noch nicht erzeugen, durch sukzessive Hinzunahme eines weiteren Vektors, so, dass die neue Teilmenge linear unabhängig wird, zu einer Basis auszubauen. Das wird in endlichdimensionalen Vektorräumen auch klappen, weil dieser Algorithmus halt irgendwann "terminieren" wird.
Aber Deine Idee mit dem Kreuzprodukt wird fast nie gutgehen können - überlege mal: In welchem Vektorraum ist das Kreuzprodukt überhaupt definiert?
P.S.
Zu Deiner Aufgabe: Wenn $f \in U\,,$ also $f: \IR \to \IR$ (anders gesagt: $f \in \IR^{\IR}$) mit $f(x) \ge 0$ für alle $x \in \IR$ ist:
Was ist dann mit $-f=-1*f\,$? Ist dann $-1*f \in U$?
P.P.S.
Beachte: $(f,g) \in \IR^{\IR} \times \IR^{\IR}$ gilt genau dann, wenn $f,g \in \IR^{\IR}\,.$ Und generell solltest Du mal versuchen, den Begriff des ![[]](/images/popup.gif) kartesischen Produkts zu verstehen - denn dann wird Dir auch klar, dass man eine Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] als eine Familie [mm] $(f_x)_{x \in \IR}$ [/mm] auffassen kann, wobei man [mm] $f_x:=f(x)$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] setzt und daher ist für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] dann auch [mm] $f(x)=f_x \in \IR\,.$
[/mm]
Also [mm] $f=(f_x)_{x \in \IR} \in \produkt_{x \in \IR}\IR=\IR^{\IR}\,.$ [/mm] Und solch' eine Familie [mm] $(f_x)_{x \in \IR}$ [/mm] ist sowas wie ein abstraktes Analogon eines Vektors in [mm] $\IR^n\,.$ [/mm] Insbesondere kann man [mm] $\IR^n:=\IR^{\{1,...,n\}}$ [/mm] auffassen, dann ist ein Vektor des [mm] $\IR^n$ [/mm] nichts anderes als eine Funktion [mm] $\{1,...,n\} \to \IR\,.$ [/mm] In Analogie ist [mm] $\IR^{\IN}$ [/mm] die Menge aller Funktion [mm] $\IN \to \IR\,,$ [/mm] also aller reellwertigen Folgen - und spätestens hier wird die Idee klar:
Eine Funktion $a: [mm] \IN \to \IR$ [/mm] steht in eineindeutiger Beziehung zu einem Vektor mit abzählbar unendlich vielen Komponenten mit Einträgen aus [mm] $\IR\,,$ [/mm] man identifiziert [mm] $a\,$ [/mm] quasi mit [mm] $(a(1),\;a(2),\;a(3),\;\ldots)\,.$
[/mm]
(Das kennst Du, erinnere Dich an: Die guten alten (unendlichen) Folgen...)
Diese Wahl ist naheliegend, weil wir sowas wie ein kleinstes Element in [mm] $\IN$ [/mm] haben und weil es in [mm] $\IN$ [/mm] immer direkte Nachfolger gibt. Für Funktionen [mm] $\IR \to \mathbf{\blue{{\IR}}}$ [/mm] hat man bei dieser "Sammlung von Funktionswerten als Komponenten" halt das "Problem", dass [mm] $\mathbf{\blue{{\IR}}}$ [/mm] halt ein wenig anders aussieht als [mm] $\IN$ [/mm] - es gibt weder ein kleinstes Element noch einen direkten Nachfolger. Das kartesische Produkt ist dann das passende abstrakte Konstrukt dazu!
Gruß,
Marcel
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