Unterring/teilerfremd < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Di 25.03.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Seien K und L Körper, und sei K ein Unterring von L. Seien p und q Polynome mit Koeffizienten in K.
Beweisen Sie, dass folgendes Aussagen äquivalent sind:
1) p und q sind in K[T] teilerfremd
2) p und q sind in L[T] teilerfremd |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
leider bin ich im Beweisen ganz schlecht.
Ich würde den Beweis in 2 Richtungen machen
Voraussetzung 1), dann 2)
Voraussetzung 2), dann 1)
Dann habe ich den Ansatz, dass wenn p und q teilerfremd sind, ihr ggT=1 ist und somit das 1-Element in K[T] enthalten ist.
Aber jetzt komme ich schon nicht mehr weiter.
Vielen Dank, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:13 Mi 26.03.2008 | | Autor: | statler |
Hi Susanne!
> Seien K und L Körper, und sei K ein Unterring von L. Seien
> p und q Polynome mit Koeffizienten in K.
> Beweisen Sie, dass folgendes Aussagen äquivalent sind:
> 1) p und q sind in K[T] teilerfremd
> 2) p und q sind in L[T] teilerfremd
> leider bin ich im Beweisen ganz schlecht.
Dann solltest du das üben, üben, üben, weil das nämlich die Seele der Mathematik ausmacht.
> Ich würde den Beweis in 2 Richtungen machen
> Voraussetzung 1), dann 2)
> Voraussetzung 2), dann 1)
So kann man durchaus vorgehen.
> Dann habe ich den Ansatz, dass wenn p und q teilerfremd
> sind, ihr ggT=1 ist und somit das 1-Element in K[T]
> enthalten ist.
Was soll das heißen? Die 1 ist immer in K[T]. Also wenn p und q in K[T] teilerfremd sind, dnn gibt es r und s in K[T] mit 1 = rp + sq. Aber das ist auch eine Darstellung in L[T], also sind die Polynome p und q auch in L[T] teilerfremd.
Jetzt machen wir den 2. Schritt etwas anders, indem wir zeigen: Wenn 1) nicht, dann auch 2) nicht. Wenn p und q in K[T] nicht teilerfremd sind, dann sind beide Vielfache eines gemeinsamen Teilers s (der keine Einheit ist) aus K[T]. Aber dann sind sie auch Vielfache von s in L[T], und s ist wegen des Grades auch keine Einheit in L[T].
Klaro soweit?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Mi 26.03.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Dieter
vielen Dank für Deine Hilfe !
> > Seien K und L Körper, und sei K ein Unterring von L. Seien
> > p und q Polynome mit Koeffizienten in K.
> > Beweisen Sie, dass folgendes Aussagen äquivalent sind:
> > 1) p und q sind in K[T] teilerfremd
> > 2) p und q sind in L[T] teilerfremd
>
> > Dann habe ich den Ansatz, dass wenn p und q teilerfremd
> > sind, ihr ggT=1 ist und somit das 1-Element in K[T]
> > enthalten ist.
Ich dachte, ich müsste etwas mit dem Unterring zeigen, aber das war wohl komplett falsch !
>
> Jetzt machen wir den 2. Schritt etwas anders, indem wir
> zeigen: Wenn 1) nicht, dann auch 2) nicht. Wenn p und q in
> K[T] nicht teilerfremd sind, dann sind beide Vielfache
> eines gemeinsamen Teilers s (der keine Einheit ist) aus
> K[T]. Aber dann sind sie auch Vielfache von s in L[T], und
> s ist wegen des Grades auch keine Einheit in L[T].
Puh, so ganz verstehe ich das noch nicht:
Angenommen, p und q sind in K[T] nicht teilerfremd, dann gibt es ein s in K[T], dessen Grad > 0 ist, also kein konstantes Polynom mehr ist. Dieses s ist aber in L[T] auch kein konstantes Polynom. Dann ist p und q in L[T] auch nicht teilerfremd.
Ist das ausreichend ?
Vielen Dank und Grüße nach HH-Harburg, Susanne.
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> > Jetzt machen wir den 2. Schritt etwas anders, indem wir
> > zeigen: Wenn 1) nicht, dann auch 2) nicht. Wenn p und q in
> > K[T] nicht teilerfremd sind, dann sind beide Vielfache
> > eines gemeinsamen Teilers s (der keine Einheit ist) aus
> > K[T]. Aber dann sind sie auch Vielfache von s in L[T], und
> > s ist wegen des Grades auch keine Einheit in L[T].
> Puh, so ganz verstehe ich das noch nicht:
> Angenommen, p und q sind in K[T] nicht teilerfremd, dann
> gibt es ein s in K[T], dessen Grad > 0 ist, also kein
> konstantes Polynom mehr ist. Dieses s ist aber in L[T] auch
> kein konstantes Polynom. Dann ist p und q in L[T] auch
> nicht teilerfremd.
>
> Ist das ausreichend ?
Hallo,
naja, es wäre sicher noch gut, würdest Du irgendwie erwähnen, was das s mit p und q zu tun hat...
Aber Du scheinst es schon richtig verstanden zu haben:
wenn es [mm] p_1, q_2, [/mm] s [mm] \in [/mm] K[t] , grad [mm] s\ge [/mm] 1, mit p=p_1s und q=q_1s gibt, so sind diese Polynome natürlich auch L[t], also haben p und q auch dort einen gemeinsamen Teiler, welcher kein konstantes Polynom ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Mi 26.03.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Angela,
vielen Dank für Deine Hilfe !
> wenn es [mm]p_1, q_2,[/mm] s [mm]\in[/mm] K[t] , grad [mm]s\ge[/mm] 1, mit p=p_1s und q=q_1s gibt, so sind diese Polynome natürlich auch L[t], also haben p und q auch dort einen gemeinsamen Teiler, welcher kein konstantes Polynom ist.
Und das ( wenn in K[T] dann auch in L[T] ) kann man einfach so behaupten, weil in der Vorraussetzung steht, dass K ein Unterring von L ist ?
Danke , Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Mi 26.03.2008 | | Autor: | statler |
Hi noch mal!
> Und das ( wenn in K[T] dann auch in L[T] ) kann man einfach so behaupten, weil in der Voraussetzung steht, dass K ein Unterring von L ist ?
Bei mir würdest du damit jedenfalls durchkommen.
Ciao
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 Mi 26.03.2008 | | Autor: | SusanneK |
Lieber Dieter, liebe Angela, vielen Dank !!
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