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| Aufgabe | Finden Sie
a) den von x erzeugten Unterring von [mm] \IQ[x].
[/mm]
b) den von x erzeugten [mm] \IQ-Untermodul [/mm] von [mm] \IQ[x]. [/mm] |
zu a)
Die Defintion für den von x erzeugten Unterring ist ja wie folgt:
<x> := [mm] \bigcap_{S \in L_{x}} [/mm] S ist der von x erzeugte Unterring von R,
wobei [mm] L_x [/mm] = {S [mm] \subset [/mm] R Unterring | x [mm] \subset [/mm] S}.
Ich denke, dass <x> wie folgt aussehen könnte:
[mm] \{a_{1}x+ ... + a_kx^k , a_i \in \IZ\} [/mm] ?
Doch dann wollte ich zuerst mal zeigen, dass S ein Unterring von [mm] \IQ[x] [/mm] ist.
1.) (S, +) muss eine Untergruppe von [mm] \IQ[x] [/mm] sein. Dies ist ok.
2.) 0 [mm] \in [/mm] S, ist auch ok.
3.) a , b [mm] \in [/mm] S [mm] \Rightarrow [/mm] ab [mm] \in [/mm] S.
Doch dieser letzte Punkt finde ich unlogisch.
Nehme ich z.B. das Element [mm] 2x^k [/mm] und das Element x. Dann ist das Produkt ja [mm] 2x^{k+1}. [/mm] Und dies liegt dann doch nicht mehr in S, oder?
Was habe ich denn genau falsch gemacht?
zu b)
[mm] \IQ[x] [/mm] = [mm] \IQ \oplus \IQ [/mm] x [mm] \oplus \IQ x^2 \oplus [/mm] ...
Behauptung: [mm] \IQ [/mm] x ist der von x erzeugte [mm] \IQ-Untermodul.
[/mm]
Zuerst habe ich gezeigt, dass [mm] \IQx [/mm] überhaupt ein Untermodul ist. Dies hat geklappt.
Doch dann muss ich zeigen, dass (x) = [mm] \IQ [/mm] x.
Da haben dann die Probleme begonnen.
Laut Definition ist (x) := [mm] \bigcap_{N \in U_{x}} [/mm] N, heisst der von x erzeugte Untermodul von [mm] \IQ[x]
[/mm]
mit [mm] U_x [/mm] = {N [mm] \subset \IQ[x] [/mm] Untermodul | x [mm] \subset [/mm] N}.
Also, ich möchte zeigen, dass (x) = [mm] \IQ [/mm] x := N.
Zuerst [mm] \subseteq [/mm] :
[mm] \IQ [/mm] x enthält [mm] \IQ, [/mm] also [mm] \IQ \subset \IQ [/mm] x.
[mm] \IQ [/mm] x enthält auch x, also x [mm] \in \IQ [/mm] x.
Also gilt diese Richtung...?
Doch wie könnte ich dann die andere Richtung zeigen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Mi 12.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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