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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:36 Mo 16.04.2012 | | Autor: | Lustique |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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| Aufgabe | a) Bestimmen Sie den Rand, das Innere und den Abschluss der Teilmenge $A$ des metrischen Raumes $(X, d)$. Entscheiden Sie außerdem, ob die Menge $A$ off en ist, oder ob die Menge $A$ abgeschlossen ist.
i) $X=B_1(0), \quad d(x, y)=\lVert x-y\rVert_1, \quad A=B_1(0)$
ii) $X=\mathbb{R}^2, \quad d(x, y)=\lVert x-y\rVert_2, \quad A=\left\{x\in \mathbb{R}^2 \colon x=\left(\frac{\sin(\pi t)}{t},\frac{\cos(\pi t)}{t}\right), \: t>0\right\}$ |
Hallo allerseits,
ich habe folgende Probleme bei der obigen Aufgabe:
Zu i):
Ich wollte hier zuerst so vorgehen, dass ich den Rand von $A$ bestimmen wollte. Für Bälle wurde das in der Vorlesung wie folgt definiert:
In $(\mathbb{K}^n, \lVert \cdot \rVert_p)$ gilt: $\partial B_r(a)=S_r(a):=\left\{x\in\mathbb{K}^n \colon \lVert x-a\rVert_p = r\right\}.
Meine Schlussfolgerungen waren daraufhin:
Ich habe $\partial A=\partial B_1(0)$ bestimmt. Da $B_1(0)=\left\{ x\in X \colon \lvert x \rvert < 1\right\}$ gilt, ist $\partial A \not\in A$, es ist also $A = A^\circ$ und $A$ damit offen. Der Abschluss von A wäre dann: $\overline{A}=A \cup \partial A$, also $\overline{A}=\left\{ x\in X \colon \lvert x \rvert \leqslant 1\right\}$. Aber jetzt hat man habe ich ja das Problem, dass $A=X$ gilt. $X$ ist aber doch als "Obermenge" (heißt das so?) gleichzeitig offen und abgeschlossen (und damit dann auch $A$), weil $X^c=\emptyset$ sowohl offen als auch abgeschlossen ist. Außerdem funktioniert ja auch meine Definition des Randes nicht, bzw. der Rand müsste ja, so wie ich ihn definiert habe, leer sein.
Könntet ihr mir da vielleicht mal auf die Sprünge helfen?
Zu ii):
Hier habe ich keine Ahnung, wie ich das am besten angehen soll. Ich hatte hier zuerst vor, die Menge A überhaupt erst mal konkret zu bestimmen, also Intervalle für $x_1$ und $x_2$ anzugeben. Wäre das die richtige Vorgehensweise?
Die Extrema von $\frac{\sin(\pi t)}{t}\right)$ und $\frac{\cos(\pi t)}{t}\right)$ zu bestimmen erscheint mir nämlich alles andere als trivial zu sein. Ich bin zumindest schon mal so weit, dass ich sagen kann, dass $\lim_{t\to 0} \frac{\sin(\pi t)}{t}\right) = \pi$ gilt, und dass $\frac{\cos(\pi t)}{t}\right)$ für $t\to 0$ bestimmt gegen $\infty$ divergiert.
$\left(\frac{\sin(\pi t)}{t}\right)'=\frac{\pi t \cos(\pi t)-\sin(\pi t))}{t^2}=0$ aufzulösen bekomme ich gerade nicht hin und wie ich sonst auf das gesuchte Minimum für die erste Koordinate kommen soll, weiß ich gerade auch nicht.
Minima und Maxima würden zusammen ja den Rand bilden. Da aber zumindest schon für $x_2$ gilt, dass es im Intervall $(xyz, \infty)$ oder $[xyz, \infty)$ liegt (ich nehme mal an letzteres, da $\frac{\cos(\pi t)}{t}\right)$ stetig ist, oder so, eventuell? :o), kann die Menge ja schon mal nicht abgeschlossen sein, sondern höchstens offen oder vielleicht ja auch (wieder) keins von beiden.
Ich wäre also mal wieder für Tipps überaus dankbar. 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 Mo 16.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a) Bestimmen Sie den Rand, das Innere und den Abschluss der
> Teilmenge [mm]A[/mm] des metrischen Raumes [mm](X, d)[/mm]. Entscheiden Sie
> außerdem, ob die Menge [mm]A[/mm] off en ist, oder ob die Menge [mm]A[/mm]
> abgeschlossen ist.
>
> i) [mm]X=B_1(0), \quad d(x, y)=\lVert x-y\rVert_1, \quad A=B_1(0)[/mm]
>
> ii) [mm]X=\mathbb{R}^2, \quad d(x, y)=\lVert x-y\rVert_2, \quad A=\left\{x\in \mathbb{R}^2 \colon x=\left(\frac{\sin(\pi t)}{t},\frac{\cos(\pi t)}{t}\right), \: t>0\right\}[/mm]
>
> Hallo allerseits,
>
> ich habe folgende Probleme bei der obigen Aufgabe:
>
> Zu i):
>
> Ich wollte hier zuerst so vorgehen, dass ich den Rand von [mm]A[/mm]
> bestimmen wollte. Für Bälle wurde das in der Vorlesung
> wie folgt definiert:
> In [mm]$(\mathbb{K}^n, \lVert \cdot \rVert_p)$[/mm] gilt: [mm]$\partial B_r(a)=S_r(a):=\left\{x\in\mathbb{K}^n \colon \lVert x-a\rVert_p = r\right\}.[/mm]
das ist keine Definition, sondern eine Folgerung. Schau' lieber nach, wie ihr den Rand einer Menge definiert habt!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:02 Di 17.04.2012 | | Autor: | Lustique |
Ja, da hast du natürlich Recht, da hab ich mich doof ausgedrückt. Unsere Definition lautet wie folgt:
Es sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und [mm] $Y\subseteq [/mm] X$.
[mm] $x\in [/mm] X$ heißt Randpunkt von $Y$, falls für jede Umgebung $U$ von $x$ gilt: $U [mm] \cap [/mm] Y [mm] \neq \emptyset$ [/mm] und $U [mm] \cap Y^c\neq\emptyset$. [/mm] Die Menge aller Randpunkte von $Y$ wird mit [mm] $\partial [/mm] Y$ bezeichnet.
In diesem Fall kann ich mir aber doch keine Umgebung in $X$ legen, so dass die obige Bedingung erfüllt ist, oder nicht? Oder was wäre [mm] $X\supseteq [/mm] U [mm] \cap \emptyset$? [/mm] Ist das was anderes als selbst wieder [mm] $\emptyset$? [/mm] Tut mir leid, wenn die Frage dämlich ist, aber ich glaube ich stehe hier etwas auf dem Schlauch. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Da ja $U$ eine Umgebung für einen beliebigen Randpunkt $x$ sein soll, müsste ich da ja wiederum einen Ball um $x$ legen können (also [mm] $B_\varepsilon(x)\subseteq [/mm] U$ für ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$), der die obige Eigenschaft erfüllt, und das geht meines Erachtens in diesem Fall nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Di 17.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja, da hast du natürlich Recht, da hab ich mich doof
> ausgedrückt. Unsere Definition lautet wie folgt:
>
> Es sei [mm](X,d)[/mm] ein metrischer Raum und [mm]Y\subseteq X[/mm].
>
> [mm]x\in X[/mm] heißt Randpunkt von [mm]Y[/mm], falls für jede Umgebung [mm]U[/mm]
> von [mm]x[/mm] gilt: [mm]U \cap Y \neq \emptyset[/mm] und [mm]U \cap Y^c\neq\emptyset[/mm].
> Die Menge aller Randpunkte von [mm]Y[/mm] wird mit [mm]\partial Y[/mm]
> bezeichnet.
>
> In diesem Fall kann ich mir aber doch keine Umgebung in [mm]X[/mm]
> legen, so dass die obige Bedingung erfüllt ist, oder
> nicht? Oder was wäre [mm]X\supseteq U \cap \emptyset[/mm]? Ist das
> was anderes als selbst wieder [mm]\emptyset[/mm]? Tut mir leid, wenn
> die Frage dämlich ist, aber ich glaube ich stehe hier
> etwas auf dem Schlauch. Da ja [mm]U[/mm] eine Umgebung
> für einen beliebigen Randpunkt [mm]x[/mm] sein soll, müsste ich da
> ja wiederum einen Ball um [mm]x[/mm] legen können (also
> [mm]B_\varepsilon(x)\subseteq U[/mm] für ein [mm]\varepsilon > 0[/mm]), der
> die obige Eigenschaft erfüllt, und das geht meines
> Erachtens in diesem Fall nicht.
ich versteh' die Frage nicht ganz (ich habe Deine Folgerungen auch nicht ganz nachvollzogen - irgendwie ist mir das zu spät, da soll ein anderer nochmal drüberlesen, der konzentrierter bei der Sache ist), aber vielleicht meinst Du das:
Wenn [mm] $(X,d)\,$ [/mm] ein metrischer Raum ist, so ist [mm] $\partial X=\emptyset:$
[/mm]
Wäre dem nämlich nicht so, so gäbe es ein $x [mm] \in \partial [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] X$ (letzte Teilmengenbeziehung gilt nur, weil [mm] $X\,$ [/mm] der betrachtete Grundraum ist!) so, dass für jede Ungebung [mm] $U=U(x)\,$ [/mm] von [mm] $x\,$ [/mm] gilt:
$$U [mm] \cap [/mm] X [mm] \not=\emptyset$$
[/mm]
und
$$U [mm] \cap X^c=\emptyset\,.$$
[/mm]
Aber wegen [mm] $X^c=\emptyset$ [/mm] wäre sogar $U [mm] \cap X^c=U \cap \emptyset=\emptyset$ [/mm] für alle Umgebungen [mm] $U(x)\,$ [/mm] von [mm] $x\,,$ [/mm] was aber nicht sein kann!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Di 17.04.2012 | | Autor: | Lustique |
Ja, also erst noch mal Danke für deine Antwort! Also, mir ging es um Folgendes:
Ich habe angenommen, dass, wenn $(X,d)$ ein metrischer Raum ist, das Komplement des Grundraums also die leere Menge ist [mm] ($X^c=\emptyset$). [/mm] Für einen Punkt des Randes muss ja gelten, dass der Schnitt einer Umgebung $U$ um solch einen Punkt $x$ sowohl mit der betrachteten Menge, also in diesem Fall $A=X$ und ihrem Komplement [mm] $A^c=X^c=\emptyset$ [/mm] nicht leer sein darf, also dass [mm] $U(x)\cap (X=A)\neq \emptyset$ [/mm] und [mm] $U(x)\cap (X^c=A^c)\neq \emptyset$ [/mm] sein darf. Da aber der Schnitt jedweder Umgebung mit der leeren Menge ja wohl die leere Menge sein müsste, gibt es meines Erachtens in diesem Fall keinen Rand. Zum Rand von $X$, wenn $(X,d)$ metrischer Raum ist, wurde in der Vorlesung so eigentlich nichts gesagt, nur Folgendes: "In jedem metrischen Raum $(X,d)$ sind $X$ und [mm] $\emptyset$ [/mm] sowohl offen, als auch abgeschlossen."
Deswegen bin ich jetzt etwas verwirrt (aber ich glaube/hoffe ich meine dasselbe wie du). Wenn aber, so wie du es geschrieben hast, der Rand des Grundraumes gerade die leere Menge ist (und da glaube ich dir einfach mal), was heißt das dann für den ersten Teil der Aufgabe? Wäre der dann wie folgt zu lösen?
[mm] $\partial [/mm] A = [mm] \partial X=\emptyset$ [/mm] (müsste ich dass dann weiter bergründen?), [mm] $A^\circ=X^\circ=X$ [/mm] und [mm] $(\overline{A}=\overline{X}=X^\circ)\cup(\partial X=X\cup\emptyset)=X$?
[/mm]
Und hast du noch einen Tipp für den zweiten Teil der Aufgabe, also für die andere Menge (die mit [mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$)?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Di 17.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja, also erst noch mal Danke für deine Antwort! Also, mir
> ging es um Folgendes:
>
> Ich habe angenommen, dass, wenn [mm](X,d)[/mm] ein metrischer Raum
> ist, das Komplement des Grundraums also die leere Menge ist
> ([mm]X^c=\emptyset[/mm]). Für einen Punkt des Randes muss ja
> gelten, dass der Schnitt einer Umgebung [mm]U[/mm] um solch einen
> Punkt [mm]x[/mm] sowohl mit der betrachteten Menge, also in diesem
> Fall [mm]A=X[/mm] und ihrem Komplement [mm]A^c=X^c=\emptyset[/mm] nicht leer
> sein darf, also dass [mm]U(x)\cap (X=A)\neq \emptyset[/mm] und
> [mm]U(x)\cap (X^c=A^c)\neq \emptyset[/mm] sein darf. Da aber der
> Schnitt jedweder Umgebung mit der leeren Menge ja wohl die
> leere Menge sein müsste, gibt es meines Erachtens in
> diesem Fall keinen Rand. Zum Rand von [mm]X[/mm], wenn [mm](X,d)[/mm]
> metrischer Raum ist, wurde in der Vorlesung so eigentlich
> nichts gesagt, nur Folgendes: "In jedem metrischen Raum
> [mm](X,d)[/mm] sind [mm]X[/mm] und [mm]\emptyset[/mm] sowohl offen, als auch
> abgeschlossen."
>
> Deswegen bin ich jetzt etwas verwirrt (aber ich
> glaube/hoffe ich meine dasselbe wie du). Wenn aber, so wie
> du es geschrieben hast, der Rand des Grundraumes gerade die
> leere Menge ist (und da glaube ich dir einfach mal), was
> heißt das dann für den ersten Teil der Aufgabe? Wäre der
> dann wie folgt zu lösen?
>
> [mm]\partial A = \partial X=\emptyset[/mm] (müsste ich dass dann
> weiter bergründen?)
ja, und Du hast es doch genauso begründet, wie ich. Schreib' das ruhig so auf!
> , [mm]A^\circ=X^\circ=X[/mm] und
> [mm](\overline{A}=\overline{X}=X^\circ)\cup(\partial X=X\cup\emptyset)=X[/mm]?
>
> Und hast du noch einen Tipp für den zweiten Teil der
> Aufgabe, also für die andere Menge (die mit [mm]\sin[/mm] und
> [mm]\cos[/mm])?
Um eine Idee zu bekommen, würde ich mir mal diese Kurve plotten lassen. (Okay, strenggenommen steht da ja nur eine Teilmenge des [mm] $\IR^2$: [/mm] Ich meine eigentlich, dass Du Dir ja mal das Bild der Abbildung $0 < t [mm] \mapsto (1/t)*(\sin(\pi t),\cos(\pi [/mm] t))$ ausgeben lassen kannst!)
(Du kannst Dir diese Menge auch skizzieren: Dafür musst Du nur beachten, dass da nur folgende Teilmenge des [mm] $\IR^2$ [/mm] steht:
[mm] $$\{(x(t),y(t)): t > 0\}$$ [/mm]
mit [mm] $x(t):=\sin(\pi [/mm] t)/t$ und [mm] $y(t):=\cos(\pi t)/t\,.$
[/mm]
Im Prinzip kennst Du sowas: Der Rand des Einheitskreises des [mm] $\IR^2$ [/mm] wird ja etwa durch [mm] $\{(\cos(t),\sin(t)): t \in \IR\}$ [/mm] beschrieben (und "in dieser Darstellung unendlich oft durchlaufen")).
Im [mm] $\IR^2$ [/mm] mit "Standardmetrik" "sieht" man normalerweise dann schon, was wohl der Rand sein wird...
Für mehr habe ich gerade nicht die Zeit
Gruß,
Marcel
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> Um eine Idee zu bekommen, würde ich mir mal diese Kurve
> plotten lassen. (Okay, strenggenommen steht da ja nur eine
> Teilmenge des [mm]\IR^2[/mm]: Ich meine eigentlich, dass Du Dir ja
> mal das Bild der Abbildung [mm]0 < t \mapsto (1/t)*(\sin(\pi t),\cos(\pi t))[/mm]
> ausgeben lassen kannst!)
> (Du kannst Dir diese Menge auch skizzieren: Dafür musst
> Du nur beachten, dass da nur folgende Teilmenge des [mm]\IR^2[/mm]
> steht:
> [mm]\{(x(t),y(t)): t > 0\}[/mm]
> mit [mm]x(t):=\sin(\pi t)/t[/mm] und [mm]y(t):=\cos(\pi t)/t\,.[/mm]
>
> Im Prinzip kennst Du sowas: Der Rand des Einheitskreises
> des [mm]\IR^2[/mm] wird ja etwa durch [mm]\{(\cos(t),\sin(t)): t \in \IR\}[/mm]
> beschrieben (und "in dieser Darstellung unendlich oft
> durchlaufen")).
>
> Im [mm]\IR^2[/mm] mit "Standardmetrik" "sieht" man normalerweise
> dann schon, was wohl der Rand sein wird...
>
> Für mehr habe ich gerade nicht die Zeit
>
> Gruß,
> Marcel
Zuerst noch einmal Danke fürs drüberschauen!
Ja, also ich habe (versucht) mir das Ganze plotten (zu) lassen, aber ich werde nicht so recht schlau daraus, ehrlich gesagt. ![[]](/images/popup.gif) Hier einmal mein Versuch mit WolframAlpha, einen GnuPlot-Plot habe ich mal anghängt (ich habe aber bei beiden Plots keine Ahnung, ob die so richtig sind). [Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe auch noch keine Ahnung wie genau ich da überhaupt die Metrik nutzen soll, ehrlich gesagt. Ich weiß nur, wenn ich mich da nicht vertan habe, dass alle Punkte der Menge einen Abstand von [mm] $\frac{1}{t}$ [/mm] vom Mittelpunkt $(0,0)$ haben sollten.
[mm] $\lVert x\rVert_2 [/mm] = [mm] \sqrt{ \left(\sin(\pi t)/t\right)^2+ \left(\cos(\pi t)/t\right)^2} [/mm] = [mm] \sqrt{ \frac{1}{t^2}}=\frac{1}{t}$ [/mm] wegen [mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$. [/mm]
Muss ich also nicht die globalen Maxima und Minima von den beiden Funktionen bestimmen? Wäre dann nicht alles unter den Minima und alles über den Maxima das Komplement der Menge?
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 19.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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