Untersuchung auf Schnittpunkt < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 So 01.11.2009 | | Autor: | Finbar |
| Aufgabe | Untersuchung auf Schnittpunkt der Geraden g und h.
g: [mm] \overline{x}=\vektor{2 \\ -4 \\ 5} [/mm] + k [mm] \vektor{-3 \\ 9 \\ 6}
[/mm]
h: [mm] \overline{x}=\vektor{10 \\ 2 \\ -12} [/mm] + t [mm] \vektor{8 \\ 6 \\ -12} [/mm] |
Mir ist der Weg zur Lösung nicht ganz klar. Ich zeige mal wie weit ich gekommen bin:
g=h
[mm] \vektor{2 \\ -4 \\ 5} [/mm] + k [mm] \vektor{-3 \\ 9 \\ 6}=\vektor{10 \\ 2 \\ -12} [/mm] + t [mm] \vektor{8 \\ 6 \\ -12}
[/mm]
I. -8 - 3k = 8t
II. -6 + 9k = 6t
III. 17 + 6k = -12t
Ab hier weiß ich nicht mehr so recht weiter.
Bei mir steht hier jetzt:
"k wird eliminiert"
z.B.: II. : 3 -2 + 3k = 2t
-10 = 10t
t = -1
I. + III. : 3
t= -1 wird jetzt in III. eingesetzt um "k" zu berechnen.
Wie genau wird "k" eliminiert (und warum)? Den Schritt zwischen -2 + 3k = 2t, und -10 = 10t verstehe ich nicht so ganz. Ebenso wenig wie II. : 3 und I. + III. : 3
Freue mich auf eine Antwort.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Untersuchung auf Schnittpunkt der Geraden g und h.
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> g: [mm]\overline{x}=\vektor{2 \\ -4 \\ 5}[/mm] + k [mm]\vektor{-3 \\ 9 \\ 6}[/mm]
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> h: [mm]\overline{x}=\vektor{10 \\ 2 \\ -12}[/mm] + t [mm]\vektor{8 \\ 6 \\ -12}[/mm]
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> Mir ist der Weg zur Lösung nicht ganz klar. Ich zeige mal
> wie weit ich gekommen bin:
>
> g=h
>
> [mm]\vektor{2 \\ -4 \\ 5}[/mm] + k [mm]\vektor{-3 \\ 9 \\ 6}=\vektor{10 \\ 2 \\ -12}[/mm]
> + t [mm]\vektor{8 \\ 6 \\ -12}[/mm]
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>
> I. -8 - 3k = 8t
> II. -6 + 9k = 6t
> III. 17 + 6k = -12t
>
> Ab hier weiß ich nicht mehr so recht weiter.
> Bei mir steht hier jetzt:
>
> "k wird eliminiert"
>
> z.B.: II. : 3 -2 + 3k = 2t
> -10 = 10t
> t = -1
Warum k eliminiert wird, sieht man ja: Dann bekommt man das k aus den Gleichungen raus, hat nur noch t drin und kann nach t umstellen, um den Wert von t zu erhalten.
Wie geht "eliminieren"? Nun, das ist eine Umformung von zwei Gleichungen mit Hilfe des Additionsverfahrens. Das sagt aus:
Wenn a = b und c = d ist, dann muss auch a + c = b+d sein.
(Wenn zwei Dinge a,b auf einer Waage gleichviel wiegen, und zwei andere Dinge c,d auch gleichviel wiegen, und ich auf jede Seite der Waage eines der Dinge von a und b und eines der Dinge von c und d lege, dann wird sie weiterhin anzeigen, dass beide Waagschalen gleichviel wiegen).
Das sollte dir aus der Schule bekannt sein. Und mit Hilfe dieses Additionsverfahrens kann man nun durch geschicktes Durchmultiplizieren einer Gleichung mit einer bestimmten Zahl Terme eliminieren.
Bei dir ist
(I) -8 - 3k = 8t
(II) -6 + 9k = 6t
Man "sieht" (wenn man das oft gemacht hat), dass sich k hier schön zum Eliminieren anbietet. Wen man nämlich die zweite Gleichung durch 3 teilt (das ist erlaubt), erhält man:
(I) -8 - 3k = 8t
(II') -2 + 3k = 2t
Man sieht jetzt sehr schön, dass in der einen Gleichung 3k vorkommt und in der anderen Gleichung -3k. Nun wendet man das Additionsverfahren an:
(I) + (II'): (-8 - 3k) + (-2 + 3k) = 8t + 2t
Und das ist umformt:
-10 = 10t
weil das k durch das Additionsverfahren gerade eliminiert wird.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 So 01.11.2009 | | Autor: | Finbar |
Vielen Dank erstmal für die schnelle und ausführliche Antwort. Ich habs soweit verstanden. Was ich noch nicht verstanden habe ist folgendes:
1. der Teil mit: I. + III. : 3
2. Beim Additionsverfahren suche ich mir also zwei von drei Gleichungen aus, je nach dem welche sich anbieten, addiere sie miteinander und setze das Ergebnis in die Dritte ein, richtig? Die Reihenfolge ist egal oder? Ich könnte also auch III. + I. rechnen und das Ergebnis in II. einsetzen, richtig?
3. Gibt es auch andere Möglichkeiten als das Additionsverfahren?
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Hallo!
> Vielen Dank erstmal für die schnelle und ausführliche
> Antwort. Ich habs soweit verstanden. Was ich noch nicht
> verstanden habe ist folgendes:
>
> 1. der Teil mit: I. + III. : 3
Ja, das verstehe ich auch nicht. Es scheint, als stände das so "in der Luft" dort. Man muss es nicht ausrechnen, was dort steht, und es bringt auch nichts wenn man es ausrechnet.
Du hast durch das Additionsverfahren, d.h. durch die Gleichung, die aus I. + (II./3) entstanden ist, schon den Wert von t herausbekommen. Da es sich nur um ein Gleichungssystem aus zwei Variablen handelt, bekommt man dann sofort k heraus, wenn man t in eine der anderen Gleichungen einsetzt.
> 2. Beim Additionsverfahren suche ich mir also zwei von drei
> Gleichungen aus, je nach dem welche sich anbieten, addiere
> sie miteinander und setze das Ergebnis in die Dritte ein,
> richtig? Die Reihenfolge ist egal oder? Ich könnte also
> auch III. + I. rechnen und das Ergebnis in II. einsetzen,
> richtig?
Genau, du könntest genauso gut III: + I. rechnen, allerdings müsstest du dann eine der beiden Gleichungen wieder vorher geeignet mit einer Zahl multiplizieren, damit sich beim Addieren eine der beiden Variablen "verflüchtigt" 
Dann hast du ja ein Ergebnis für eine der Variablen, und kannst das Ergebnis in eine beliebige der drei Gleichungen einsetzen, Hauptsache, dort kommt die andere noch unbekannte Variable vor und kannst dann diese ausrechnen.
> 3. Gibt es auch andere Möglichkeiten als das
> Additionsverfahren?
Es gibt drei "strategische" Möglichkeiten, ein Gleichungssystem zu lösen. Das ![[]](/images/popup.gif) Gleichsetzungsverfahren, das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren.
Bei großen linearen Gleichungssystemen verwendet man aber meistens das Additionsverfahren in einer besonderen Art und Weise, die sehr zielgerichtet ist (der sog.  Gauß-Algorithmus). Denn bei Gleichungssystemen mit 6 Variablen will man nicht immer jede Gleichung irgendwie umstellen müssen etc, damit es mit dem Einsetzen oder dem Gleichsetzen passt.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Finbar |
Dank Dir nochmal! Wollte mich gestern schon per PN bedanken, ging aber leider nicht, da ich hier noch neu bin. Na ja, ich habe noch ein paar kleine Fragen.
Wenn ich jetzt drei Geraden habe und diese auf eventuelle Schnittpunkte untersuchen muss, wie genau gehe ich dann vor?
Muss ich dann alle Geraden jeweils miteinander gleichsetzten?
Also z.B ( ich nenne die drei Geraden jetzt einfach mal x, y und z) erst Gerade x mit Gerade y gleichsetzen und überprüfen ob diese einen Schnittpunkt haben (also wie in der vorherigen Aufgabe) und dann das gleiche nochmal mit y und z und danach nochmal x und z???
Oder kann ich direkt alle drei Geraden in einem Rutsch miteinander gleichsetzen (also x=y=z) und wenn ja gibt es dabei etwas worauf ich achten sollte, ich meine etwas was sich von der Vorgehensweise einer Rechnung mit nur zwei Geraden unterscheidet?
Freu mich auf eine Antwort!
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Hallo Pinbar,
> Wenn ich jetzt drei Geraden habe und diese auf eventuelle
> Schnittpunkte untersuchen muss, wie genau gehe ich dann
> vor?
> Muss ich dann alle Geraden jeweils miteinander
> gleichsetzten?
> Also z.B ( ich nenne die drei Geraden jetzt einfach mal x,
> y und z) erst Gerade x mit Gerade y gleichsetzen und
> überprüfen ob diese einen Schnittpunkt haben (also wie in
> der vorherigen Aufgabe) und dann das gleiche nochmal mit y
> und z und danach nochmal x und z???
> Oder kann ich direkt alle drei Geraden in einem Rutsch
> miteinander gleichsetzen (also x=y=z) und wenn ja gibt es
> dabei etwas worauf ich achten sollte, ich meine etwas was
> sich von der Vorgehensweise einer Rechnung mit nur zwei
> Geraden unterscheidet?
Wenn du solche Aufgaben mit 3 Geraden hast und deren Lagebeziehungen untersuchen sollst, solltest du sie erstmal auf Parallelität prüfen. Das heißt, schau, ob die Richtungsvektoren zweier Geraden Vielfache voneinander sind. Wenn das bei einem Geradenpaar der Fall ist (oder bei mehreren  ), dann können sie ja schonmal nur noch parallel oder identisch sein, dann musst du sie nicht mehr gleichsetzen.
Um zu überprüfen, ob diese beiden Geraden g und h dann identisch sind, nimm den Ortsvektor einer Geraden und mache eine Punktprobe mit diesem Ortsvektor und der anderen Geraden. Wenn nämlich der Ortsvektor der einen Geraden auf der anderen liegt, und die beiden Geraden parallel sind, dann sind sie identisch.
Wenn du kein Glück habe solltest mit den Richtungsvektoren, läuft es leider letztendlich doch darauf hinaus, jeweils zwei der Geraden gleichzusetzen und die Lagebeziehungen einzeln zu überprüfen und herauszuarbeiten.
Es nützt dir nichts, gleich alle drei gleichzusetzen, weil man mit so einer "Dreiergleichung" x = y = z nicht vernünftig operieren kann.
Grüße,
Stefan
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