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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 So 08.01.2006 | | Autor: | Snowie |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Funtionsklasse fk mit fx(x) = x³-3k²x (k>0 aus der Menge der reellen Zahlen). Bestimmen Sie die folgenden Werte des Parameters k.
a) Für welchen Wert von k geht der Graph von fk durch P(3/0)?
b) Für welchen Wert von k ist die zweite Wilkelhalbierende Tangente an den Graphen von fk im Nullpunkt des Koordinatensystems?
c) Für welchen Wert von k liegen die Extrempunkte auf der zweiten Winkelhalbierenden?
d) Für welchen Wert von k ist die Tangente an den Graphen von fk im Schnittpunkt mit der positiven x-Achse parallel zu ersten Winkelhalbierenden? |
Mein Lösungsansatz:
a) fk(3) = 3³-3k²*3=0
27-9k² =0
-9k²=--27
k²=3
k= [mm] \wurzel{3}
[/mm]
b) Zweite Winkelhalbierende : f(x) = -x
f'(x) = 3 x²-3k² = -1
f (0) = -3k² = -1
k² = 1/3
k = [mm] \wurzel{1/3}
[/mm]
c ) f'(x) = 3x² - 3k² = 0
f''(x) = 6x [mm] \not=0
[/mm]
x³-3k²x = -x
x³ - 3k²x +x = 0
x(x²-3k²+1) = 0
x1 = 0
x2/3 = +/- [mm] \wurzel{3k²+1}
[/mm]
f'(x) = 3(3k²+1)-3k² = 0
9k²+3 - 3k² = 0
6 k² = -3
k²= - 1/2
k nicht definiert
f'(0) = -3k²=0
k = 0
d) f'(x) = 3x²-3k²=-1
3 (x²-k²) = -1
x² - k² = =-1/
x²-k²+1/3 =0
x1/2 = [mm] \wurzel{k²+ 1/3}
[/mm]
0 = [mm] \wurzel{k² + 1/3}*x+b
[/mm]
Irgendwie kann das vorne und hinten nicht stimmen. Wo liegt denn mein Fehler?
Es wäre klasse, wenn irgend jemand mir helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Mo 09.01.2006 | | Autor: | dominik |
Hallo Snowie
Hier die korrigierte Fassung, nachdem Loddar freundlicherweise darauf hingewiesen hat, dass k positiv ist. Damit entfallen natürlich die Beträge und negativen Wurzeln, was doch eine Vereinfachung bringt.
> Untersuchen Sie die Funtionsklasse [mm] f_k [/mm] mit [mm] f_k(x)=x^3-3k^2x [/mm]
> (k>0 aus der Menge der reellen Zahlen). Bestimmen Sie die
> folgenden Werte des Parameters k.
>
> a) Für welchen Wert von k geht der Graph von [mm] f_k [/mm] durch
> P(3/0)?
>
> b) Für welchen Wert von k ist die zweite Wilkelhalbierende
> Tangente an den Graphen von fk im Nullpunkt des
> Koordinatensystems?
>
> c) Für welchen Wert von k liegen die Extrempunkte auf der
> zweiten Winkelhalbierenden?
>
> d) Für welchen Wert von k ist die Tangente an den Graphen
> von fk im Schnittpunkt mit der positiven x-Achse parallel
> zu ersten Winkelhalbierenden?
> Mein Lösungsansatz:
>
> a) [mm] $f_k(3)=3^3-3k^2*3=0 \gdw 27-9k^2=0 \gdw -9k^2=-27 \gdw k^2=3 \Rightarrow k=\wurzel{3}$
[/mm]
So in Ordnung!
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> b) Zweite Winkelhalbierende : $f(x)=-x$
> [mm] $f'(x)=3x^2-3k^2=-1$
[/mm]
> $ f (0) [mm] =-3k^2=-1 [/mm] : f'(0) \ statt \ f(0)$
> [mm] $k^2=1/3$
[/mm]
[mm] $k^2=\br [/mm] {1}{3}= [mm] \br [/mm] {3}{9} [mm] \Rightarrow [/mm] k= [mm] \br {1}{3}\wurzel{3}$ [/mm]
> k = [mm]\wurzel{1/3}[/mm]
(Wenn Du vor dem Radizieren aus dem Nenner eine Quadratzahl bildest - hier 9 - vermeidest Du nachher Brüche unter der Wurzel oder Wurzeln im Nenner.)
---------------------------------------------------------------------------------------------
> c ) [mm] $f'(x)=3x^2-3k^2=0$
[/mm]
[mm] $\gdw 3x^2=3k^2 \gdw x^2=k^2 \gdw [/mm] x=k \ (k>0)$
Daraus y bestimmen:
[mm] f_k(x)=x^3-3k^2x \Rightarrow $f(k)=k^3-3k^2*k=-2k^3$ [/mm]
> [mm] $f''(x)=6x\not=0$
[/mm]
$f''(x)=6x=6k>0 [mm] \Rightarrow [/mm] Minimum [mm] \left( k/-2k^3 \right)$
[/mm]
Da für die 2. Winkelhalbierende y=-x ist, wie Du richtig schreibst, muss gelten (x- und y-Wert des Minimums):
[mm] $-2k^3=-k \gdw 2k^3=k \gdw$
[/mm]
$1. \ k=0 [mm] \Rightarrow [/mm] L= [mm] \emptyset$ [/mm] (wegen der 2. Ableitung)
$2. \ [mm] 2k^2=1 \gdw k^2= \br{1}{2}= \br [/mm] {2}{4} [mm] \Rightarrow k=\br [/mm] {1}{2} [mm] \wurzel{2}$
[/mm]
Der Rest ist von mir aus nicht nötig:
f''(x)=6x [mm] \Rightarrow [/mm] f''(+k)
> x³-3k²x = -x
> x³ - 3k²x +x = 0
> x(x²-3k²+1) = 0
> x1 = 0
> > x2/3 = +/- [mm]\wurzel{3k²+1}[/mm]
> f'(x) = 3(3k²+1)-3k² = 0
> 9k²+3 - 3k² = 0
> 6 k² = -3
> k²= - 1/2
> k nicht definiert
> f'(0) = -3k²=0
> k = 0
----------------------------------------------------------------------------------------------
> d) f'(x) = 3x²-3k²=-1
Die erste Ableitung muss +1 sein (1. Winkelhalbierende): $f'(x)=+1$
Schnittpunkt mit der x-Achse bestimmen:
[mm] $f_k(x)=x^3-3k^2x=0 \gdw x^3=3k^2x \Rightarrow x_1=0, x^2=3k^2 \Rightarrow x=k*\wurzel{3}$
[/mm]
$f'(x) = [mm] 3x^2-3k^2=3*3k^2-3k^2=6k^2=1 \gdw k^2= \br {1}{6}=\br [/mm] {6}{36} [mm] \Rightarrow k=\br {1}{6}\wurzel{6}$
[/mm]
> 3 (x²-k²) = -1
> x² - k² = =-1/
> x²-k²+1/3 =0
> x1/2 = [mm]\wurzel{k²+ 1/3}[/mm]
> 0 = [mm]\wurzel{k² + 1/3}*x+b[/mm]
>
> Irgendwie kann das vorne und hinten nicht stimmen. Wo liegt
> denn mein Fehler?
>
Jetzt sollte alles in Ordnung sein!
Du findest noch eine Grafik mit allen Lösungen:
a): rot; b)grün; c)gelb; d) schwarz; zudem ist die zweite Winkelhalbierende eingezeichnet
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüsse
dominik
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:28 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo dominik!
> Vorsicht: es sind für k alle Werte gesucht, also: [mm]k=\pm \wurzel{3}[/mm]
Gemäß Aufgabenstellung ist der Parameter $k_$ aber als positive Zahl vorgegeben: $k \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IR^{\red{+}}$ [/mm] .
Der negative Wert braucht also nicht weiter be(tr)achtet zu werden.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:44 Mo 09.01.2006 | | Autor: | dominik |
Danke, Loddar, und Gratulation zur grossartigen Beförderung!
dominik
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