Untersumme->Unteres R.integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:32 So 10.08.2014 | | Autor: | drossel |
Hi. Ich gehe gerade den Beweis durch, dass die Untersumme für jede Zerlegungsnullfolge gegen das untere Riemannintegral konvergiert. Der Satz und Beweis ist
![[]](/images/popup.gif) hier auf S.9
zu finden. Ich hoffe es ist ok, wenn ich nur verlinke und nicht alles nochmal abtippe? Das mache ich aus Notationsgründen etc.
Der Beweis funktioniert mit dem sogenannten Überlagerungslemma und ich verstehe ihn, bis der "allgemeine Fall" anfängt. Meine Fragen dazu sind:
Was ist denn der allgemeine Fall, ist es der, wenn man nicht annimmt, dass [mm] $s(Z_n,f)\to \alpha$ [/mm] für [mm] $n\to \infty?
[/mm]
[mm] $(s(Z_n,f))_n)$ [/mm] ist beschränkt, da f beschränkt ist, oder?
Wieso gilt, wenn [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}s(Z_{n_k},f)=J_*(f) [/mm] (ich denke mal, im Skript ist ein Tippfehler, dass nicht n gegen unendlich, sondern k gegen unendlich geht), dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}s(Z_{n},f)=J_*(f)? [/mm] Ist das auch wieder wegen dem Überlagerungslemma, also dass Untersummen bei Verfeinerungen zunehmen [mm] (Z_n) [/mm] ist doch eine verfeinerte Folge von [mm] (Z_{n_k})_k [/mm] oder nicht ?
Ich wäre über Hilfe sehr dankbar. Würde natürlich hier alles abtexen, wenn das so gewünscht ist.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Mo 11.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich habe Deine Frage minimal bearbeitet, so dass der Link direkt anklickbar
ist, und man ihn besser herauslesen kann.
> Wieso gilt, wenn
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}s(Z_{n_k},f)=J_*(f)[/mm] (ich denke
> mal, im Skript ist ein Tippfehler, dass nicht n gegen
> unendlich, sondern k gegen unendlich geht)
Das ist sicherlich ein Tippfehler, auf den Du den Autor auch aufmerksam
machen darfst.
Zu Deiner Frage: (da sollte wohl "allgemeine" und nicht "allgemeineR"
stehen):
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich selbst den Beweis richtig verstehe. Aber
ich denke, es ist so gemeint:
Wenn wir annehmen, dass [mm] $(s(Z_n,f))_{n \in \IN}$ [/mm] gar nicht konvergiere, so gibt es wegen
der Beschränktheit dieser Folge sicher eine Teilfolge, die dann aber
konvergiert. Ich schätze mal, dass man wegen Lemma 5.1.2 für genügend
großes [mm] $n\,$
[/mm]
[mm] $|s(Z_n,f)-S(Z_{n_k},f)| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle genügend großen [mm] $k\,$
[/mm]
erhält.
Damit
[mm] $|s(Z_n,f)-J_{\*}(f)|$ $\le$ $|s(Z_n,f)-s(Z_{n_k},f)|+|s(Z_{n_k},f)-J_{\*}(f))| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] + positive Nullfolge in [mm] $k\,$
[/mm]
Das widerspricht natürlich auch schon der Annahme, dass [mm] $(s(Z_n,f))_n$ [/mm] divergent
gewesen wäre...
Es erinnert mich irgendwie an den Beweis der Aussage:
Ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine Cauchyfolge so, dass [mm] $(x_{n_k})_k$ [/mm] gegen [mm] $x_\infty$ [/mm] konvergiert,
so folgt schon
[mm] $x_n \to x_\infty$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Aber ich bin mir nicht sicher, ob ich da nicht einen Denkfehler habe, von
daher soll ruhig noch jemand weiteres mal draufgucken!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:03 Mo 11.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi. Ich gehe gerade den Beweis durch, dass die Untersumme
> für jede Zerlegungsnullfolge gegen das untere
> Riemannintegral konvergiert. Der Satz und Beweis ist
>
> hier auf S.9
>
> zu finden. Ich hoffe es ist ok, wenn ich nur verlinke und
> nicht alles nochmal abtippe? Das mache ich aus
> Notationsgründen etc.
> Der Beweis funktioniert mit dem sogenannten
> Überlagerungslemma und ich verstehe ihn, bis der
> "allgemeine Fall" anfängt. Meine Fragen dazu sind:
>
> Was ist denn der allgemeine Fall, ist es der, wenn man
> nicht annimmt, dass [mm]$s(Z_n,f)\to \alpha$[/mm] für [mm]$n\to \infty?[/mm]
>
> [mm](s(Z_n,f))_n)[/mm] ist beschränkt, da f beschränkt ist, oder?
> Wieso gilt, wenn
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}s(Z_{n_k},f)=J_*(f)[/mm] (ich denke
> mal, im Skript ist ein Tippfehler, dass nicht n gegen
> unendlich, sondern k gegen unendlich geht), dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}s(Z_{n},f)=J_*(f)?[/mm] Ist das auch
> wieder wegen dem Überlagerungslemma, also dass Untersummen
> bei Verfeinerungen zunehmen [mm](Z_n)[/mm] ist doch eine verfeinerte
> Folge von [mm](Z_{n_k})_k[/mm] oder nicht ?
>
> Ich wäre über Hilfe sehr dankbar. Würde natürlich hier
> alles abtexen, wenn das so gewünscht ist.
das Verlinken finde ich in diesem Falle übrigens okay. Was mir nicht klar ist,
ist, dass [mm] $(Z_{n_k})_k$ [/mm] ja i.a. keine "Verfeinerungsfolge" von [mm] $(Z_n)_n$ [/mm] sein muss.
Allerdings ist [mm] $(Z')_k :\equiv(Z_k+Z_{n_k})_k$ [/mm] eine "Verfeinerungsfolge" von [mm] $(Z_n)_n\,,$ [/mm] und ich denke,
dass man damit dann argumentieren könnte. Denn
$s(Z'_{k},f) [mm] \to J_{\*}(f)$ [/mm]
sollte sich dann zeigen lassen. Und dann kann man so argumentieren, wie
ich es in meiner Antwort getan habe (allerdings mit o.E. dass bei der Teilfolge
[mm] $s(Z_{n_k},f)$ [/mm] auch [mm] $Z_{n_k}$ [/mm] eine Verfeinerung von [mm] $Z_k$ [/mm] ist.)
Ich finde den Beweisschluss so, wie er da steht, jedenfalls auch nicht
besonders gut. Da kann man ruhig einen Satz mehr dazu sagen!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Di 12.08.2014 | | Autor: | drossel |
Hallo Marcel,
vielen Dank für deine Hilfe und entschuldige die späte Rückmeldung.
Ja das sehe ich auch so wenn ich das richtig interpretiere, dann kann ja salopp gesagt $ [mm] Z_{n_k}$ [/mm] eigentlich sogar jeweils weniger Zerlegungspunkte als [mm] $Z_n$ [/mm] enthalten. vom Intervall [a,b]. Verstehe noch nicht ganz, dass im Skript im allgemeinen Teil über Teilfolgen von Teilfolgen geganngen wird, warum das gemacht werden muss. [mm] $(s(Z_n,f))_n$ [/mm] ist dann aber im allgemeinen Fall keine Cauchyfolge. Was ist denn [mm] $(Z')=(Z_k+Z_{n_k})_k$ [/mm] für Eine Zerlegungsfolge, bzw was ist [mm] $(Z_k)_k$ [/mm] bei dir für eine Folge, eine konvergente Teilfolge von [mm] $(Z_n)$? [/mm] und ist [mm] $(Z_{n_k}) [/mm] $so wie im Skript?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Di 12.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Drossel,
> Hallo Marcel,
> vielen Dank für deine Hilfe und entschuldige die späte
> Rückmeldung.
> Ja das sehe ich auch so wenn ich das richtig
> interpretiere, dann kann ja salopp gesagt [mm]Z_{n_k}[/mm]
> eigentlich sogar jeweils weniger Zerlegungspunkte als [mm]Z_n[/mm]
> enthalten. vom Intervall [a,b]. Verstehe noch nicht ganz,
> dass im Skript im allgemeinen Teil über Teilfolgen von
> Teilfolgen geganngen wird, warum das gemacht werden muss.
> [mm](s(Z_n,f))_n[/mm] ist dann aber im allgemeinen Fall keine
> Cauchyfolge. Was ist denn [mm](Z')=(Z_k+Z_{n_k})_k[/mm] für Eine
> Zerlegungsfolge, bzw was ist [mm](Z_k)_k[/mm] bei dir für eine
> Folge, eine konvergente Teilfolge von [mm](Z_n)[/mm]? und ist
> [mm](Z_{n_k}) [/mm]so wie im Skript?
[mm] $(Z_n)_n$ [/mm] ist eine Zerlegungsnullfolge (das Intervall wird so partitioniert, dass
die Feinheit gegen [mm] $0\,$ [/mm] strebt).
[mm] $(Z_{n_k})_k$ [/mm] sei nun eine Zerlegungsfolge derart, dass
[mm] $(s(Z_{n_k},f)_k)_k$
[/mm]
konvergiert. Dass eine solche existiert, folgt aus der Beschränktheit von
[mm] $(s(Z_n,f))_n\,.$
[/mm]
Das steht auch im Skript. Zudem wird dort erklärt, warum [mm] $s(Z_{n_k},f) \to J_{\*}(f)\,.$
[/mm]
Jetzt betrachte ich aber nicht
[mm] $|s(Z_k,f)-S(Z_{n_k},f)|\,,$
[/mm]
wie man aus dem Skript herauslesen könnte (ich weiß halt nicht, ob das
so gemeint ist, aber intuitiv würde ich das so rauslesen), sondern ich
mache folgendes:
Ich bilde die Folge [mm] $(Z'_k)_k$ [/mm] mit
[mm] $Z'_k:=Z_k+Z_{n_k}$ [/mm] (im Skript steht, wie das Additionszeichen hier gemeint ist).
Die $Z'_k$ sind sicher noch feiner als die [mm] $Z_{n_k}\,,$ [/mm] und es wird auch
[mm] $s(Z'_{n_k},f) \to J_{\*}(f)$
[/mm]
gelten. (Das wäre zu beweisen oder aus bekanntem zu folgern, ich denke,
dass das aus dem Satz, auf den das Skript im Beweis verweist, gefolgert
werden kann.)
Während meines Erachtens nach
[mm] $|s(Z_k,f)-s(Z_{n_k},f)| \to [/mm] 0$
nicht erklärbar zu sein scheint, ist aber sicher
[mm] $|s(Z_k,f)-s({\red{Z'}}_{n_k},f)| \to [/mm] 0$
begründbar - weil ja [mm] $\red{Z'}_{n_k}$ [/mm] eine Verfeinerung von [mm] $Z_k$ [/mm] ist. Damit
sollte man dann schnell zum Ziel kommen.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:09 Di 12.08.2014 | | Autor: | drossel |
achsooo ok! Ja, diese Summe ist eigentlich eine Vereinigung wenn ich mich nicht irre. Dann habe ich das jetzt weitgehend verstanden. Ich danke dir vielmals!
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Di 12.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> achsooo ok! Ja, diese Summe ist eigentlich eine Vereinigung
> wenn ich mich nicht irre.
ja, ich glaube, die Notation soll nur noch beinhalten, dass die Folge der
"Zerlegungspunkte" auch entsprechend sortiert ist. So dass für etwa das
Intervall $[0,1]$ mit Zerlegungen
[mm] $Z_1=(x_0=0,\;x_1=1/2,\;x_2=1)$
[/mm]
und
[mm] $Z_2=(x'_0=0,\;x'_1=1/3,\;x'_2=2/3,\;x'_3=1)$
[/mm]
dann auch [mm] $Z:=Z_1+Z_2$ [/mm] schon direkt in der "sortierten" Form
[mm] $Z=(x''_0=0,\;x''_1=1/3,\;x''_2=1/2,x''_3=2/3,\;x''_4=1)$
[/mm]
rauskommt.
> Dann habe ich das jetzt
> weitgehend verstanden. Ich danke dir vielmals!
Gerne. Und bislang kamen ja auch keine Einwände von außen, daher denke
ich, dass jedenfalls mein zuletzt vorgeschlagener Weg funktioniert. 
Gruß,
Marcel
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