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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Di 15.11.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo allerseits;),
komme bei der Bestimmung des Untervektorraums folgender Menge einfach nicht weiter:
W:={(x,y,z)| x+y+z= 0} U W':={(x,y,z)| x- y+2z = 0}. Ich habe die Frage schon einmal hier in diesem Forum gestellt, komme aber leider wegen der hohen Server-Last nicht auf meinen "alten" Beitrag, kann also nicht direkt Rückfragen... Ich verstehe einfach nicht, wie ich bei einer Vereinigungsmenge UV 3 mit der Multiplikation überprüfen muss. Bei der Addition habe ich Elemente aus W [mm] (w_{1}, w_{2}, w_{3} [/mm] und [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3}) [/mm] und W' (w'_{1}, w'_{2}, w'_{3} und v'_{1}, v'_{2}, v'_{3}) in den unterschiedlichesten Kombinationen(w+v, v+v', v'+w') miteinander addiert und geschaut, ob das Ergebnis in einer der beiden Mengen oder in beiden liegt. Wenn ich alles richtig gemacht habe, dann findet sich bzgl. der Addition kein Widerspruch dazu, dass es sich um einen Untervektorraum handelt.
Diese Kombinationen kann ich bzgl. der Multiplikation zwar aufstellen:
[mm] \lambda [/mm] (vv')
[mm] \lambda [/mm] (wv)
[mm] \lambda [/mm] (v'v')
habe aber keine Ahnung, wie ich gucken kann, ob das Ergebnis in einer oder beiden Menge liegt.
Ich hoffe, es kann mir jemand weiterhelfen, bin langsam nämlich wirklich schon am Verzweifeln!!!!
Vielen Dank schon einmal;)
Nescio
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 Di 15.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Nescio,
> Hallo allerseits;),
>
> komme bei der Bestimmung des Untervektorraums folgender
> Menge einfach nicht weiter:
> W:={(x,y,z)| x+y+z= 0} U W':={(x,y,z)| x- y+2z = 0}. Ich
> habe die Frage schon einmal hier in diesem Forum gestellt,
> komme aber leider wegen der hohen Server-Last nicht auf
> meinen "alten" Beitrag, kann also nicht direkt
> Rückfragen... Ich verstehe einfach nicht, wie ich bei einer
> Vereinigungsmenge UV 3 mit der Multiplikation überprüfen
> muss. Bei der Addition habe ich Elemente aus W [mm](w_{1}, w_{2}, w_{3}[/mm]
> und [mm]v_{1}, v_{2}, v_{3})[/mm] und W' (w'_{1}, w'_{2}, w'_{3} und
> v'_{1}, v'_{2}, v'_{3}) in den unterschiedlichesten
> Kombinationen(w+v, v+v', v'+w') miteinander addiert und
> geschaut, ob das Ergebnis in einer der beiden Mengen oder
> in beiden liegt. Wenn ich alles richtig gemacht habe, dann
> findet sich bzgl. der Addition kein Widerspruch dazu, dass
> es sich um einen Untervektorraum handelt.
Ich weiß nicht, wie du den Nachweis geführt hast.
Dieter hat dir hier ein Gegenbeispiel gegeben.
> Diese Kombinationen kann ich bzgl. der Multiplikation zwar
> aufstellen:
> [mm]\lambda[/mm] (vv')
> [mm]\lambda[/mm] (wv)
> [mm]\lambda[/mm] (v'v')
Die Multiplikation mit einem Skalar ergibt aber [mm] \lambda\ v[/mm] bzw. [mm] \lambda\ v' [/mm] mit [mm] v \in W [/mm], [mm] v' \in W' [/mm] und [mm] \lambda \in \IR [/mm].
Aber eine Untersuchung erübrigt sich, da die [mm] W \cup W'[/mm] bzgl. der Addition nicht abgeschlossen ist.
Gruß
Sigrid
> habe aber keine Ahnung, wie ich gucken kann, ob das
> Ergebnis in einer oder beiden Menge liegt.
>
> Ich hoffe, es kann mir jemand weiterhelfen, bin langsam
> nämlich wirklich schon am Verzweifeln!!!!
>
> Vielen Dank schon einmal;)
> Nescio
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:16 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Nescio |
Hi Sigrid,
vielen Dank für deine Antwort. Ich habe jedoch noch eine Frage... den Einwand von Dieter habe ich nämlich nicht verstanden.
Das einzige, bei dem ich bei der Addition einen Widerspruch vermuten könnte, wäre an folgender Stelle:
Sei v= ( [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3}) \in [/mm] W, also in {(x,y,z)| x+y+z=0} und
v'= [mm] (v_{1}', v_{2}', v_{3}') \in [/mm] W', also in {(x,y,z)|x-y+2z=0}
v+v'= ( [mm] v_{1}+ v_{1}', v_{2}+ v_{2}', v_{3}+ v_{3}')
[/mm]
Z.z., dass ( [mm] v_{1}+ v_{1}') [/mm] + [mm] (v_{2}+ v_{2}') [/mm] + [mm] (v_{3}+ v_{3}') [/mm] =0
oder ( [mm] v_{1}+ v_{1}') [/mm] - [mm] (v_{2}+ v_{2}') [/mm] + 2 [mm] (v_{3}+ v_{3}') [/mm] =0
( [mm] v_{1}+ v_{1}') [/mm] + [mm] (v_{2}+ v_{2}') [/mm] + [mm] (v_{3}+ v_{3}') [/mm] = (nach A1) [mm] v_{1}+ v_{1}' [/mm] + [mm] v_{2}+ v_{2}' [/mm] + [mm] v_{3}+ v_{3}' [/mm] = (nach A2) [mm] v_{1}+ v_{2} [/mm] + [mm] v_{3}+ v_{1}' [/mm] + [mm] v_{2}'+ v_{3}' [/mm] = (nach A1) [mm] (v_{1}+ v_{2} [/mm] + [mm] v_{3})+ (v_{1}' [/mm] + [mm] v_{2}'+ v_{3}')
[/mm]
nach Voraussetzung (der Menge W) ist [mm] (v_{1}+ v_{2} [/mm] + [mm] v_{3})= [/mm] 0. Der Ausdruck [mm] (v_{1}' [/mm] + [mm] v_{2}'+ v_{3}') [/mm] ergibt jedoch nicht 0, da v' [mm] \in [/mm] W'... ist das auch ein zutreffender Beweis, dass die Addition nicht funktioniert und es sich somit um keinen Untervektorraum handelt?
Vielen Dank für eine Antwort im Voraus...
liebe Grüße und schönen Abend noch
Nescio
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Nescio,
> Hi Sigrid,
>
> vielen Dank für deine Antwort. Ich habe jedoch noch eine
> Frage... den Einwand von Dieter habe ich nämlich nicht
> verstanden.
> Das einzige, bei dem ich bei der Addition einen Widerspruch
> vermuten könnte, wäre an folgender Stelle:
>
> Sei v= ( [mm]v_{1}, v_{2}, v_{3}) \in[/mm] W, also in {(x,y,z)|
> x+y+z=0} und
> v'= [mm](v_{1}', v_{2}', v_{3}') \in[/mm] W', also in
> {(x,y,z)|x-y+2z=0}
>
> v+v'= ( [mm]v_{1}+ v_{1}', v_{2}+ v_{2}', v_{3}+ v_{3}')[/mm]
>
> Z.z., dass ( [mm]v_{1}+ v_{1}')[/mm] + [mm](v_{2}+ v_{2}')[/mm] + [mm](v_{3}+ v_{3}')[/mm]
> =0
> oder ( [mm]v_{1}+ v_{1}')[/mm] - [mm](v_{2}+ v_{2}')[/mm] + 2
> [mm](v_{3}+ v_{3}')[/mm] =0
>
> ( [mm]v_{1}+ v_{1}')[/mm] + [mm](v_{2}+ v_{2}')[/mm] + [mm](v_{3}+ v_{3}')[/mm] =
> (nach A1) [mm]v_{1}+ v_{1}'[/mm] + [mm]v_{2}+ v_{2}'[/mm] + [mm]v_{3}+ v_{3}'[/mm] =
> (nach A2) [mm]v_{1}+ v_{2}[/mm] + [mm]v_{3}+ v_{1}'[/mm] + [mm]v_{2}'+ v_{3}'[/mm] =
> (nach A1) [mm](v_{1}+ v_{2}[/mm] + [mm]v_{3})+ (v_{1}'[/mm] + [mm]v_{2}'+ v_{3}')[/mm]
>
> nach Voraussetzung (der Menge W) ist [mm](v_{1}+ v_{2}[/mm] +
> [mm]v_{3})=[/mm] 0. Der Ausdruck [mm](v_{1}'[/mm] + [mm]v_{2}'+ v_{3}')[/mm] ergibt
> jedoch nicht 0, da v' [mm]\in[/mm] W'... ist das auch ein
> zutreffender Beweis, dass die Addition nicht funktioniert
> und es sich somit um keinen Untervektorraum handelt?
Das würde nicht reichen. Du hast ja noch eine 2. Bedingung, die erfüllt sein könnte. Außerdem ist die Bedingung ja manchmal erfüllt. Du müsstest also deutlich machen, dass sie nicht für alle v, v' erfüllt ist. und damit bist du wieder beim Gegenbeispiel.
Wenn du zeigen willst, dass eine gegebene Menge bzgl. der Addition nicht abgeschlossen ist, zeigst du das am besten durch ein Gegenbeispiel.
D.h. du suchst zwei konkrete Elemente aus [mm] W \cup W' [/mm], deren Summ nicht in [mm] W \cup W' [/mm] liegt.
Ein anderes Gegenbeispiel ist:
[mm] v=(1,-1,0) \in W [/mm] und damit in [mm] W \cup W' [/mm]
und
[mm] v'=(1,1,0) \in W' [/mm] und damit in [mm] W \cup W' [/mm]
aber
[mm] v + v' = (2,0,0) [/mm] liegt weder in W noch in W', also auch nicht in [mm] W \cup W' [/mm]
Ist es jetzt etwas klarer?
Gruß
Sigrid
>
> Vielen Dank für eine Antwort im Voraus...
> liebe Grüße und schönen Abend noch
> Nescio
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