Untervektorräume < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:11 Fr 04.03.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob folgende Mengen Untervektorräme sind.
Falls die Menge ein Untervektorraum ist, geben Sie die Dimension an,
falls nicht, geben Sie eine Begründung an.
a) [mm] U_{1}= [/mm] { [mm] \vektor{x^{2} \\ 2x \\ 0} [/mm] | x [mm] \in [/mm] IR }
b) [mm] U_{2}= [/mm] { A [mm] \in IR^{3 x 3} [/mm] | [mm] a_{11} [/mm] + [mm] a_{22} [/mm] + [mm] a_{33} [/mm] =1 }
c) Es sei [mm] P_{3} [/mm] der Raum aller Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 3.
[mm] U_{3}= [/mm] { p [mm] \in P_{3} [/mm] | p(1) = 2*p(2) }
d) [mm] U_{4}= [/mm] { [mm] \alpha [/mm] * [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] + [mm] \vektor{2\\2\\2} [/mm] | [mm] \alpha \in [/mm] IR } |
Könnst ihr mal schauen, ob ich richtig überlegt habe?
a)
1) Auf nichtleere Menge prüfen
[mm] \vektor{x^{2} \\ 2x \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0^{2} \\ 2(0) \\ 0} [/mm] = 0. 0 [mm] \in [/mm] IR => [mm] U_{1} \not= \emptyset.
[/mm]
2) Auf Abgeschlossenheit bezüglich der Addition prüfen.
[mm] \vektor{u^{2} \\ 2u \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{v^{2} \\ 2v \\ 0} [/mm]
= [mm] \vektor{u^{2} + v^{2} \\ 2u + 2v \\ 0}
[/mm]
[mm] =\vektor{(u+v)^{2} \\ 2(u + v) \\ 0}
[/mm]
3) Auf Abgeschlossenheit bezüglich der Multplikation prüfen
K [mm] \in [/mm] IR
[mm] \vektor{Kx^{2} \\ 2Kx \\ 0} [/mm]
= [mm] K*\vektor{x^{2} \\ 2x \\ 0}
[/mm]
K=0 => 0 * [mm] \vektor{x^{2} \\ 2x \\ 0} [/mm] = 0. 0 [mm] \in [/mm] IR und [mm] \in U_{1}
[/mm]
=> [mm] U_{1} [/mm] ist ein Vektorraum
Nun zu der Dimension:
Ich vermite die Dimension ist 2, da nur 2 Dimensionen in dem Vektor vorhanden sind.
Stimmt es soweit?
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Hallo zoj,
> Entscheiden Sie, ob folgende Mengen Untervektorräme sind.
> Falls die Menge ein Untervektorraum ist, geben Sie die
> Dimension an,
> falls nicht, geben Sie eine Begründung an.
>
> a) [mm]U_{1}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\vektor{x^{2} \\
2x \\
0}[/mm] | x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
IR }
>
> b) [mm]U_{2}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ A [mm]\in IR^{3 x 3}[/mm] | [mm]a_{11}[/mm] + [mm]a_{22}[/mm] + [mm]a_{33}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
=1
> }
>
> c) Es sei [mm]P_{3}[/mm] der Raum aller Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 3.
> [mm]U_{3}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ p [mm]\in P_{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| p(1) = 2*p(2) }
>
> d) [mm]U_{4}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\alpha[/mm] * [mm]\vektor{1\\
1\\
1}[/mm] + [mm]\vektor{2\\
2\\
2}[/mm] |
> [mm]\alpha \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
IR }
> Könnst ihr mal schauen, ob ich richtig überlegt habe?
> a)
> 1) Auf nichtleere Menge prüfen
> [mm]\vektor{x^{2} \\
2x \\
0}[/mm] = [mm]\vektor{0^{2} \\
2(0) \\
0}[/mm] =
> 0. 0 [mm]\in[/mm] IR => [mm]U_{1} \not= \emptyset.[/mm]
>
> 2) Auf Abgeschlossenheit bezüglich der Addition prüfen.
> [mm]\vektor{u^{2} \\
2u \\
0}[/mm] + [mm]\vektor{v^{2} \\
2v \\
0}[/mm]
> = [mm]\vektor{u^{2} + v^{2} \\
2u + 2v \\
0}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]=\vektor{(u+v)^{2} \\
2(u + v) \\
0}[/mm]
Au weia, 6, setzen !
Hast du keine Bauchschmerzen, wenn du sowas schreibst?
Da tut alles weh!
Die binomischen Formeln gelten auch an der Uni!
I.A. ist [mm]u^2+v^2\neq (u+v)^2=u^2\red{+2uv}+v^2[/mm]
Also ist die Abgeschlossenheit bzgl. Addition verletzt.
Gib vllt. mal ein konkretes Gegenbsp. an.
Damit ist [mm] $U_1$ [/mm] kein VR, also auch kein UVR, die Frage nach der Dimension erübrigt sich damit auch ...
>
> 3) Auf Abgeschlossenheit bezüglich der Multplikation
> prüfen
> K [mm]\in[/mm] IR
> [mm]\vektor{Kx^{2} \\
2Kx \\
0}[/mm]
> = [mm]K*\vektor{x^{2} \\
2x \\
0}[/mm]
> K=0 => 0 * [mm]\vektor{x^{2} \\
2x \\
0}[/mm]
> = 0. 0 [mm]\in[/mm] IR und [mm]\in U_{1}[/mm]
>
> => [mm]U_{1}[/mm] ist ein Vektorraum
Nä!
>
> Nun zu der Dimension:
> Ich vermite die Dimension ist 2, da nur 2 Dimensionen in
> dem Vektor vorhanden sind.
>
> Stimmt es soweit?
Naja ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:37 Fr 04.03.2011 | | Autor: | zoj |
Ups, mein Fehler habe nicht aufgepasst.
[mm] =\vektor{u^{2} + v^{2} \\ 2(u + v) \\ 0} [/mm]
Also ist die Abgeschlossenheit bzgl. Addition verletzt.
Gib vllt. mal ein konkretes Gegenbsp. an.
Abgeschlossenheit bezüglich der Addition:
für u=1 v=1
[mm] \vektor{(1)^{2} + (1)^{2} \\ 2(1) + 2(1) \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{2\\4\\0}
[/mm]
die Bedingung ist erfüllt
für u=0 v=0
[mm] \vektor{(0)^{2} + (0)^{2} \\ 2(0) + 2(0) \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0}
[/mm]
die Bedingung ist erfüllt
Irgendwie kann ich kein Gegenbeispiel finden.
Egal welche Zahlen ich einsetze, sind diese [mm] \in \IR.
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Ups, mein Fehler habe nicht aufgepasst.
>
> [mm]=\vektor{u^{2} + v^{2} \\
2(u + v) \\
0}[/mm]
>
> Also ist die Abgeschlossenheit bzgl. Addition verletzt.
>
> Gib vllt. mal ein konkretes Gegenbsp. an.
>
> Abgeschlossenheit bezüglich der Addition:
> für u=1 v=1
> [mm]\vektor{(1)^{2} + (1)^{2} \\
2(1) + 2(1) \\
0}[/mm] = [mm]\vektor{2\\
4\\
0}[/mm]
> die Bedingung ist erfüllt ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Nun, wenn du Vektoren hast mit erster Komponente $u=v=1$, dann sehen die doch so aus:
[mm] $\vec{u}=\vektor{1\\2\\0}=\vec{v}$
[/mm]
Dann ist [mm] $\vec{u}+\vec{v}=\vektor{2\\4\\0}$, [/mm] das stimmt.
Aber ist dieser Vektor denn [mm] $\in U_1$ [/mm] ?
Es muss dafür ein [mm] $x\in\IR$ [/mm] geben mit [mm] $x^2=2$ [/mm] und $2x=4$
Geht das?
Es müsste aufgrund der 1.Bedingung [mm] $x=\pm\sqrt{2}$ [/mm] sein, das haut aber mit der 2.Bed. nicht hin.
Also ist die Summe [mm] $\vec{u}+\vec{v}$ [/mm] nicht in [mm] $U_1$
[/mm]
Damit hast du doch ein Gegenbsp. gefunden ...
>
> für u=0 v=0
> [mm]\vektor{(0)^{2} + (0)^{2} \\
2(0) + 2(0) \\
0}[/mm] =
> [mm]\vektor{0\\
0\\
0}[/mm]
> die Bedingung ist erfüllt
>
> Irgendwie kann ich kein Gegenbeispiel finden.
Das erste ist doch schon eines von unendlich vielen ...
> Egal welche Zahlen ich einsetze, sind diese [mm]\in \IR.[/mm]
Ja, aber sie erfüllen doch in der Regel die Bedingung der Menge [mm] $U_1$ [/mm] an die Komponenten nicht:
Erste Komponente muss sich darstellen lassen als [mm] $x^2$, [/mm] die zweite als $2x$, die dritte muss 0 sein ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Fr 04.03.2011 | | Autor: | zoj |
So funktioniert das also!
Ok, wieder was dazugelernt.
Die erste Aufgabe ist somit erledigt.
Bei der Aufgabe b) Handelt es sich um eine 3X3 Matrix
[mm] U_{2}= [/mm] { A [mm] \in IR^{3 x 3} [/mm] | [mm] a_{11} [/mm] + [mm] a_{22} [/mm] + [mm] a_{33} [/mm] =1 }
Die Summe der Diagonalelemente ist 1.
1) Auf nichtleere Menge prüfen
[mm] a_{11} [/mm] + [mm] a_{22} [/mm] + [mm] a_{33} [/mm] =1
Die Menge ist zwar nicht leer, das Null-Element ist aber nicht drinnen.
0+0+0=1 => 0 [mm] \not\in U_{2}
[/mm]
Eigentlich kann man doch hier schon aufhören.
Als Gegenbeispiel:
0 + 0 + 0 = 1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:27 Fr 04.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> So funktioniert das also!
>
> Ok, wieder was dazugelernt.
> Die erste Aufgabe ist somit erledigt.
>
> Bei der Aufgabe b) Handelt es sich um eine 3X3 Matrix
Besser: [mm] U_2 [/mm] ist die Menge aller 3x3 - Matrizen mit Spur 1.
> [mm]U_{2}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ A [mm]\in IR^{3 x 3}[/mm] | [mm]a_{11}[/mm] + [mm]a_{22}[/mm] + [mm]a_{33}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
=1 }
> Die Summe der Diagonalelemente ist 1.
>
> 1) Auf nichtleere Menge prüfen
> [mm]a_{11}[/mm] + [mm]a_{22}[/mm] + [mm]a_{33}[/mm] =1
> Die Menge ist zwar nicht leer
Dann nenne eine matrix, die drin liegt.
, das Null-Element ist aber
> nicht drinnen.
> 0+0+0=1 => 0 [mm]\not\in U_{2}[/mm]
Besser: [mm] 0+0+0\ne [/mm] 1 => 0 [mm]\not\in U_{2}[/mm]
>
> Eigentlich kann man doch hier schon aufhören.
> Als Gegenbeispiel:
> 0 + 0 + 0 = 1
0 + 0 + 0 [mm] \ne [/mm] 1
FRED
>
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Fr 04.03.2011 | | Autor: | zoj |
Zu der Aufgabe b)
Die Menge ist nicht leer.
Eine mögliche Matrix könnte sein:
[mm] a_{1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] + [mm] a_{3} [/mm] = 0
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = 1
Damit wäre die zweite Aufgabe erledigt.
c) Es sei [mm] P_{3} [/mm] der Raum aller Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 3.
[mm] U_{3}= [/mm] { p [mm] \in P_{3} [/mm] | p(1) = 2*p(2) }
Den Raum aller Polynome von Grad [mm] \le [/mm] 3 kann ich doch auch so schreiben:
p(x) = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{1}x^{1} [/mm] + [mm] a_{2}x^{2} [/mm] + [mm] a_{3}x^{3} [/mm]
p(x) = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{1}x^{1} [/mm] + [mm] a_{2}x^{2} [/mm]
p(x) = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{1}x^{1} [/mm]
p(x) = [mm] a_{0} [/mm]
Das sind alle Kombinationen, die man mit dem Grad [mm] \le [/mm] 3 darstellen kann.
Nun gehts mit der Untersuchung los:
p(0) = [mm] a_{0}
[/mm]
Hmm, das Null-Element ist schon wieder kein Teil der Menge.
Es sei denn, [mm] a_{0} [/mm] =0.
Mit sowas habe ich noch nicht zu tun gehabt.
Spontan würde ich sagen es ist kein UVR.
Aber wenn man [mm] a_{0} [/mm] = 0 setzt, dann wäre das Null-Element teil der Menge. Kann man [mm] a_{0} [/mm] von Anfang an als Null definieren?
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Hallo,
> Zu der Aufgabe b)
>
> Die Menge ist nicht leer.
> Eine mögliche Matrix könnte sein:
> [mm]a_{1}[/mm] + [mm]a_{2}[/mm] + [mm]a_{3}[/mm] = 0
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}[/mm] = 1
Das ist immer noch keine Matrix. Eine Matrix wirds z.B, wenn du die anderen Einträge [mm] a_{ij}=0 [/mm] für [mm] i\neq [/mm] j setzt.
>
> Damit wäre die zweite Aufgabe erledigt.
>
> c) Es sei [mm]P_{3}[/mm] der Raum aller Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 3.
> [mm]U_{3}=[/mm] [mm] \{ p \in P_{3} | p(1) = 2*p(2) \} [/mm]
>
> Den Raum aller Polynome von Grad [mm]\le[/mm] 3 kann ich doch auch
> so schreiben:
> p(x) = [mm]a_{0}[/mm] + [mm]a_{1}x^{1}[/mm] + [mm]a_{2}x^{2}[/mm] + [mm]a_{3}x^{3}[/mm]
> p(x) = [mm]a_{0}[/mm] + [mm]a_{1}x^{1}[/mm] + [mm]a_{2}x^{2}[/mm]
> p(x) = [mm]a_{0}[/mm] + [mm]a_{1}x^{1}[/mm]
> p(x) = [mm]a_{0}[/mm]
> Das sind alle Kombinationen, die man mit dem Grad [mm]\le[/mm] 3 darstellen kann.
Als Standardbasis kannst du [mm] x^0=1, x^1, x^2 [/mm] und [mm] x^3 [/mm] wählen. Dann lässt sich jedes Polynom p(x) vom Grad [mm] \leq [/mm] 3 als Linearkombination dieser Basispolynome darstellen.
Das entspricht deiner ersten Zeile:
[mm] \qquad [/mm] p(x) = [mm]a_{0}x^0[/mm] + [mm]a_{1}x^{1}[/mm] + [mm]a_{2}x^{2}[/mm] + [mm]a_{3}x^{3}[/mm]
[mm] a_1, a_2, a_3, a_4 [/mm] sind hier Skalare und können beliebige Werte aus [mm] \IR [/mm] annehmen, da es sich um einen [mm] \IR [/mm] Vektorraum handelt.
Der Rest ist leider Unsinn.
>
> Nun gehts mit der Untersuchung los:
> p(0) = [mm]a_{0}[/mm]
>
> Hmm, das Null-Element ist schon wieder kein Teil der
> Menge.
Das Nullelement ist das Nullpolynom [mm] p\equiv0 [/mm] bzw p(x)=0.
Dieses liegt in [mm] U_3, [/mm] denn p(1) = 2*p(2)=0
> Es sei denn, [mm]a_{0}[/mm] =0.
> Mit sowas habe ich noch nicht zu tun gehabt.
> Spontan würde ich sagen es ist kein UVR.
Ich denke schon. Überprüfe mal die Abgeschlossenheit bzgl Vektoraddition und Skalarmultiplikation.
> Aber wenn man [mm]a_{0}[/mm] = 0 setzt, dann wäre das Null-Element
> teil der Menge. Kann man [mm]a_{0}[/mm] von Anfang an als Null
> definieren?
p(x)=0 ist das Nullpolynom, es lässt sich nur als Linearkombination der obigen Basis darstellen, wenn [mm] a_i=0 [/mm] für [mm] $1\leq i\leq [/mm] 4$.
Die Skalare werden nicht definiert, sondern sie ergeben sich im Bezug auf die Basis.
>
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Fr 04.03.2011 | | Autor: | zoj |
So, nochmal die Matrix zu der Aufgabe b):
[mm] \pmat{ \bruch{1}{3} & 0 & 0\\ 0 & \bruch{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{3}}
[/mm]
>Das Nullelement ist das Nullpolynom [mm] p\equiv0 [/mm] bzw p(x)=0.
Das heißt wenn ein Polynomraum [mm] \ge [/mm] 0 ist, dann ist das Nullpolynom automatisch in der Menge enthalten. Stimmts?
>Dieses liegt in [mm] U_3, [/mm] denn p(1) = 2*p(2)=0
Diese Zeile kann ich nicht ganz nachvollziehen.
p(1) = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] + [mm] a_{3}
[/mm]
> [mm] a_1, a_2, a_3, a_4 [/mm] $ sind hier Skalare und können beliebige Werte aus [mm] \IR [/mm] annehmen
Das heißt:
p(1) = 0+0+0+0 =0 => 0 [mm] \in U_{3}
[/mm]
Kann man das so begründen?
Zu der Abgeshlossenheit bezüglich der Addition:
p(u) + p(v) =
[mm] a_{0}u^0 [/mm] + [mm] a_{1} [/mm] + [mm] u^{1} [/mm] + [mm] a_{2}u^{2} [/mm] + [mm] a_{3}u^{3} [/mm] +
[mm] a_{0}v^0 [/mm] + [mm] a_{1}v^{1} [/mm] + [mm] a_{2}v^{2} [/mm] + [mm] a_{3}v^{3}
[/mm]
= [mm] a_{0}(u^{0}+v^0) [/mm] + [mm] a_{1}(u^{1} [/mm] + [mm] v^{1}) [/mm] + [mm] a_{2}(u^{2}+v^{2}) [/mm] + [mm] a_{3}(u^{3}+v^{3})
[/mm]
Jetzt kann ich nicht mehr weiter zusammenfassen, denn es würden zwei binomische Formeln rauskommen.
= [mm] a_{0}(u+v)^{0} [/mm] + [mm] a_{1}(u [/mm] + [mm] v)^{1} [/mm] + [mm] a_{2}(u [/mm] + [mm] v)^{2} [/mm] + [mm] a_{3}(u [/mm] + [mm] v)^{3}
[/mm]
Damit wäre [mm] U_{3} [/mm] bezüglich der Addition nicht abgeschlossen.
Gegenbeispiel:
u=1 , v=1
p(1) = [mm] a_{0}(1+1) [/mm] + [mm] a_{1}(1 [/mm] + 1) + [mm] a_{2}(1 [/mm] + 1) + [mm] a_{3}(1 [/mm] + 1)
p(1) = [mm] 2*a_{0} [/mm] + [mm] 2*a_{1} [/mm] + [mm] 2*a_{2} [/mm] + [mm] 2*a_{3}
[/mm]
Was mir aber Sorgen macht, ist dieser Ausdruck: p(1) = 2*p(2)
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> So, nochmal die Matrix zu der Aufgabe b):
>
> [mm]\pmat{ \bruch{1}{3} & 0 & 0\\
0 & \bruch{1}{3} & 0 \\
0 & 0 & \bruch{1}{3}}[/mm]
Hallo,
das ist eine von vielen Matrizen, welche in der Menge [mm] U_2 [/mm] ist.
Die Menge ist kein Untervektorraum des Vektorraumes [mm] \IR^{3\times 3} [/mm] der [mm] 3\times [/mm] 3-Matrizen, denn das neutrale Element von [mm] \IR^{3\times 3}, [/mm] die Nullmatrix, ist nicht in [mm] U_2 [/mm] enthalten. Mit dieser Erkenntnis kann man die Hände in den Schoß legen: [mm] U_2 [/mm] kann kein (Unter)Vektorraum sein.
>
Zur Aufgabe mit den Polynomen mal ein wenig Allgemeines vorweg.
Daß die Polynome vom Höchstgrad 3 mit den einschlägige Verknüpfungen einen Vektorraum [mm] (P_3) [/mm] über [mm] \IR [/mm] bilden, wurde in der Vorlesung gezeigt.
(Falls Du irgendwelche Zweifel daran hast, welches die "einschlägigen Verknüpfungen" sind und wieso es ein VR ist, solltest Du das nacharbeiten.)
In Deiner Aufgabe sollst Du nun eine Teilmenge von [mm] P_3 [/mm] betrachten, nämlich die Teilmenge [mm] U_3 [/mm] der Polynome vom Höchstgrad 3, deren Funktionswert an der Stelle 1 gerade doppelt so groß ist wie der an der Stelle 2.
Ein Beispiel eines Polynoms, welches in dieser Menge ist, wäre das Polynom mit [mm] p(x):=x^3+2x^2+3x-38. [/mm]
Überzeuge Dich davon.
Um zu zeigen, daß [mm] U_3 [/mm] ein UVR von [mm] P_3 [/mm] ist, ist zu prüfen, ob
1. die Menge nichtleer ist.
Dies habe ich bereits getan.
1a. Es ist schlau, bereits an dieser Stelle zu schauen, ob das Nullelement des zugrundeliegenden Vektorraumes in der Teilmenge enthalten ist - wenn nicht, spart u.U. eine Menge Arbeit, wenn man dies sofort merkt.
2. Abgeschlossenheit bzgl. +
3. Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation mit Skalaren.
> >Das Nullelement ist das Nullpolynom [mm]p\equiv0[/mm] bzw p(x)=0.
> Das heißt wenn ein Polynomraum [mm]\ge[/mm] 0 ist, dann ist das
> Nullpolynom automatisch in der Menge enthalten. Stimmts?
Was meinst Du mit "Polynomraum [mm] \ge [/mm] 0 "?
Hier ist es so: der zugrundeliegende Vektorraum ist der Raum [mm] P_3.
[/mm]
Dessen Nullelement ist das Nullpolynom n(x):= [mm] (0x^3+0x^2+0x+0=) [/mm] 0.
Du mußt nun schauen, ob dieses Polynom auch in [mm] U_3 [/mm] enthalten ist.
Dies tust Du, indem Du feststellst, was n(1) ist und was n(2), und dann prüfst Du, ob n(1)=2n(2).
Wenn ja, dann ist [mm] n\in U_3, [/mm] und Du kannst weitermachen.
> Zu der Abgeshlossenheit bezüglich der Addition:
Hier mußt Du zeigen, daß die Summe zweier Polynome p und q aus [mm] U_3 [/mm] wieder in [mm] U_3 [/mm] liegt.
Daß die Summe von p und q in [mm] P_3 [/mm] liegt, ist kein Geheimnis, dies ergibt sich aus der VR-Eigenschaft von [mm] P_3.
[/mm]
Du aber mußt nun schauen, ob (p+q)(1)=2*(p+q)(2) richtig ist.
Das geht so: seine [mm] p,q\in U_3.
[/mm]
Nach Def. von [mm] U_3 [/mm] ist p(1)=2p(2) und q(1)=2q(2).
Und nun rechnest Du unter Verwendung der "einschlägigen Verknüpfungen" aus, was (p+q)(1) ist und was 2*(p+q)(2) und prüfst, ob es gleich ist.
Also
(p+q)(1)=p(1)+q(1)=2p(2)+2q(2)
2*(p+q)(2)= 2*[...]
Entsprechen mußt Du für die Abgeschlossenheit bzgl der Multiplikation prüfen, ob für jeses Polynom p aus [mm] U_3 [/mm] und für jede reelle Zahl r gilt: [mm] r*p\in U_3,
[/mm]
dh. ob gilt (r*p)(1)=2(r*p)(2).
> Was mir aber Sorgen macht, ist dieser Ausdruck: p(1) =
> 2*p(2)
Ich hoffe, daß ich oben klarmachen konnte, was damit gemeint ist.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Sa 05.03.2011 | | Autor: | zoj |
Ich fasse nochmal alles zusammen.
>Nullelement ist das Nullpolynom n(x):= [mm] (0x^3+0x^2+0x+0) [/mm] = 0
>Du mußt nun schauen, ob dieses Polynom auch in [mm] U_3 [/mm] enthalten ist.
>Dies tust Du, indem Du feststellst, was n(1) ist und was n(2),
Meinst du etwa so?
n(1) = [mm] a_{0}1^{0} [/mm] + [mm] a_{1}1^{1} [/mm] + [mm] a_{2}1^{2} [/mm] + [mm] a_{3}1^{3}
[/mm]
n(2) = [mm] a_{0}2^{0} [/mm] + [mm] a_{1}2^{1} [/mm] + [mm] a_{2}2^{2} [/mm] + [mm] a_{3}2^{3}
[/mm]
>und dann prüfst Du, ob n(1)=2n(2).
n(2) = [mm] a_{0}2^{0} [/mm] + [mm] a_{1}2^{1} [/mm] + [mm] a_{2}2^{2} [/mm] + [mm] a_{3}2^{3}
[/mm]
2n(2) = 2( [mm] a_{0}2^{0} [/mm] + [mm] a_{1}2^{1} [/mm] + [mm] a_{2}2^{2} [/mm] + [mm] a_{3}2^{3} [/mm] )
n(1) = 2n(2)
[mm] a_{0}1^{0} [/mm] + [mm] a_{1}1^{1} [/mm] + [mm] a_{2}1^{2} [/mm] + [mm] a_{3}1^{3} [/mm] = 2( [mm] a_{0}2^{0} [/mm] + [mm] a_{1}2^{1} [/mm] + [mm] a_{2}2^{2} [/mm] + [mm] a_{3}2^{3} [/mm] )
Die Bedingung stimmt.
>Wenn ja, dann ist [mm] n\in U_3, [/mm] und Du kannst weitermachen.
Abgeschlossenheit bezüglich der Addition:
(p+q)(1) = 2(p+q)(2)
p(1) + q(2) = 2*p(2) + 2*q(2)
p(1) + q(2) = 2*( p(2) + q(2) )
Reicht es, wenn man es so zeigt?
Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation:
>für die Abgeschlossenheit bzgl der Multiplikation prüfen, ob für jeses >Polynom p aus [mm] U_3 [/mm] und für jede reelle Zahl r gilt: [mm] r\cdot{}p\in U_3,
[/mm]
>dh. ob gilt (r*p)(1)=2(r*p)(2).
(r*p)(1)=2(r*p)(2)
r*p(1) = 2r*p(2)
Es handelt sich um einen Untervektorraum.
Jetzt muss man noch die Dimension angeben:
Da der Grad [mm] \le [/mm] 3 ist, ist die Dimension = 3.
Ist es soweit richtig?
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Hallo nochmal,
> Ich fasse nochmal alles zusammen.
>
> >Nullelement ist das Nullpolynom n(x):= [mm](0x^3+0x^2+0x+0)[/mm] =
> 0
> >Du mußt nun schauen, ob dieses Polynom auch in [mm]U_3[/mm]
> enthalten ist.
> >Dies tust Du, indem Du feststellst, was n(1) ist und was
> n(2),
>
> Meinst du etwa so?
> n(1) = [mm]a_{0}1^{0}[/mm] + [mm]a_{1}1^{1}[/mm] + [mm]a_{2}1^{2}[/mm] + [mm]a_{3}1^{3}[/mm]
> n(2) = [mm]a_{0}2^{0}[/mm] + [mm]a_{1}2^{1}[/mm] + [mm]a_{2}2^{2}[/mm] + [mm]a_{3}2^{3}[/mm]
>
> >und dann prüfst Du, ob n(1)=2n(2).
> n(2) = [mm]a_{0}2^{0}[/mm] + [mm]a_{1}2^{1}[/mm] + [mm]a_{2}2^{2}[/mm] + [mm]a_{3}2^{3}[/mm]
> 2n(2) = 2( [mm]a_{0}2^{0}[/mm] + [mm]a_{1}2^{1}[/mm] + [mm]a_{2}2^{2}[/mm] +
> [mm]a_{3}2^{3}[/mm] )
Wieso denn so ein Aufwand, beim Nullpolynom sind doch alle Koeffizienten =0
Also $n(1)=0$ und $n(2)=0$
>
> n(1) = 2n(2)
> [mm]a_{0}1^{0}[/mm] + [mm]a_{1}1^{1}[/mm] + [mm]a_{2}1^{2}[/mm] + [mm]a_{3}1^{3}[/mm] = 2(
> [mm]a_{0}2^{0}[/mm] + [mm]a_{1}2^{1}[/mm] + [mm]a_{2}2^{2}[/mm] + [mm]a_{3}2^{3}[/mm] )
> Die Bedingung stimmt.
> >Wenn ja, dann ist [mm]n\in U_3,[/mm] und Du kannst weitermachen.
>
> Abgeschlossenheit bezüglich der Addition:
> (p+q)(1) = 2(p+q)(2)
> p(1) + q(2) = 2*p(2) + 2*q(2)
> p(1) + q(2) = 2*( p(2) + q(2) )
> Reicht es, wenn man es so zeigt?
>
> Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation:
> >für die Abgeschlossenheit bzgl der Multiplikation
> prüfen, ob für jeses >Polynom p aus [mm]U_3[/mm] und für jede
> reelle Zahl r gilt: [mm]r\cdot{}p\in U_3,[/mm]
> >dh. ob gilt
> (r*p)(1)=2(r*p)(2).
> (r*p)(1)=2(r*p)(2)
> r*p(1) = 2r*p(2)
Ja, das wäre im Prinzip in Ordnung, wenn man wüsste, dass die Koeffizienten aus einem Körper (etwa [mm] $\IR$) [/mm] oder zumindest aus einem Integritätsring kommen.
Dazu steht nix in der Aufgabenstellung ...
Sonst ist nicht gewährleistet, dass das Kommutativgesetz gilt.
Es muss nicht $2rp(x)=r(2p(x))$ sein.
Außerdem könnte es Nullteiler geben ...
>
> Es handelt sich um einen Untervektorraum.
> Jetzt muss man noch die Dimension angeben:
> Da der Grad [mm]\le[/mm] 3 ist, ist die Dimension = 3.
Das überzeugt mich wenig.
Der VR der Polynome vom Grad [mm] $\le [/mm] 3$ über einem Körper [mm] $\IK$ [/mm] hat (ohne die Einschränkung in [mm] $U_3$) [/mm] doch Dimension 4.
Die Standardbasis ist [mm] $\{\underbrace{1}_{=x^{0}},x,x^2,x^3\}$
[/mm]
>
> Ist es soweit richtig?
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 Sa 05.03.2011 | | Autor: | zoj |
OK, und jetzt zur letzeten Aufgabe:
d) [mm] U_{4}= [/mm] { [mm] \alpha [/mm] * [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] + [mm] \vektor{2\\2\\2} [/mm] | [mm] \alpha \in [/mm] IR }
Prüfen ob Nullelement Teil der Menge:
Für [mm] \alpha [/mm] = -2 => [mm] \vec{0} \in U_{4} \wedge U_{4} \not= \emptyset
[/mm]
Abgeschlossenheit bezüglich der Addition:
[mm] \beta \vektor{1\\1\\1} +\gamma \vektor{1\\1\\1} [/mm] + [mm] \vektor{2\\2\\2}
[/mm]
[mm] (\beta+\gamma) \vektor{1\\1\\1} [/mm] + [mm] \vektor{2\\2\\2}
[/mm]
Bsp: [mm] \beta [/mm] , [mm] \gamma [/mm] =1
[mm] (1+1)*\vektor{1\\1\\1}+\vektor{2\\2\\2}
[/mm]
[mm] =\vektor{4\\4\\4}
[/mm]
Für [mm] \alpha [/mm] = 2 ist das Beispoel erfüllt.
=> abgeschlossen bezüglich der Addition
Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation
K [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] \alpha*\vektor{K*1\\K*1\\K*1}+\vektor{2\\2\\2}
[/mm]
[mm] K*\alpha*\vektor{1\\1\\1}+\vektor{2\\2\\2}
[/mm]
Bsp:
K=3
[mm] 3*\alpha*\vektor{1\\1\\1}+\vektor{2\\2\\2}
[/mm]
[mm] \alpha*\vektor{3\\3\\3}+\vektor{2\\2\\2}
[/mm]
Für [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] \vektor{1\\1\\1}+\vektor{2\\2\\2}
[/mm]
=> Abgeschlossen bezüglich der Multiplikation
Jetzt zur Dimension.
Die beiden Vektoren sind linear abhängig.
Wenn ich diese auf Zeilenstufenform bringe, ergibt es eine Dimension von 1.
Frage: Kann man sagen , dass man bei der Untersuchung von Untervektorräumen auf die Variablen achten soll.
D.h. man dreht an den Variablen und schaut, ob die Definition für den Untervektorraum immer erfüllt sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Sa 05.03.2011 | | Autor: | zoj |
Habe mich vorhin vertippt, das sollte eine Frage sein :)
OK, und jetzt zur letzeten Aufgabe:
d) [mm] U_{4}= [/mm] { [mm] \alpha [/mm] * [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] + [mm] \vektor{2\\2\\2} [/mm] | [mm] \alpha \in [/mm] IR }
Prüfen ob Nullelement Teil der Menge:
Für $ [mm] \alpha [/mm] $ = -2 => $ [mm] \vec{0} \in U_{4} \wedge U_{4} \not= \emptyset [/mm] $
Abgeschlossenheit bezüglich der Addition:
$ [mm] \beta \vektor{1\\1\\1} +\gamma \vektor{1\\1\\1} [/mm] $ + $ [mm] \vektor{2\\2\\2} [/mm] $
$ [mm] (\beta+\gamma) \vektor{1\\1\\1} [/mm] $ + $ [mm] \vektor{2\\2\\2} [/mm] $
Bsp: $ [mm] \beta [/mm] $ , $ [mm] \gamma [/mm] $ =1
$ [mm] (1+1)\cdot{}\vektor{1\\1\\1}+\vektor{2\\2\\2} [/mm] $
$ [mm] =\vektor{4\\4\\4} [/mm] $
Für $ [mm] \alpha [/mm] $ = 2 ist das Beispoel erfüllt.
=> abgeschlossen bezüglich der Addition
Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation
K $ [mm] \in \IR [/mm] $
$ [mm] \alpha\cdot{}\vektor{K\cdot{}1\\K\cdot{}1\\K\cdot{}1}+\vektor{2\\2\\2} [/mm] $
$ [mm] K\cdot{}\alpha\cdot{}\vektor{1\\1\\1}+\vektor{2\\2\\2} [/mm] $
Bsp:
K=3
$ [mm] 3\cdot{}\alpha\cdot{}\vektor{1\\1\\1}+\vektor{2\\2\\2} [/mm] $
$ [mm] \alpha\cdot{}\vektor{3\\3\\3}+\vektor{2\\2\\2} [/mm] $
Für $ [mm] \alpha [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{3} [/mm] $
$ [mm] \vektor{1\\1\\1}+\vektor{2\\2\\2} [/mm] $
=> Abgeschlossen bezüglich der Multiplikation
Jetzt zur Dimension.
Die beiden Vektoren sind linear abhängig.
Wenn ich diese auf Zeilenstufenform bringe, ergibt es eine Dimension von 1.
Frage: Kann man sagen , dass man bei der Untersuchung von Untervektorräumen auf die Variablen achten soll.
D.h. man dreht an den Variablen und schaut, ob die Definition für den Untervektorraum immer erfüllt sind.
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Hallo zoj,
> Habe mich vorhin vertippt, das sollte eine Frage sein :)
>
> OK, und jetzt zur letzeten Aufgabe:
>
> d) [mm]U_{4}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\alpha[/mm] * [mm]\vektor{1\\
1\\
1}[/mm] + [mm]\vektor{2\\
2\\
2}[/mm] | [mm]\alpha \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
IR }
>
> Prüfen ob Nullelement Teil der Menge:
> Für [mm]\alpha[/mm] = -2 => [mm]\vec{0} \in U_{4} \wedge U_{4} \not= \emptyset[/mm]
>
> Abgeschlossenheit bezüglich der Addition:
> [mm]\beta \vektor{1\\
1\\
1} +\gamma \vektor{1\\
1\\
1}[/mm] + [mm]\vektor{2\\
2\\
2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du musst dir zwei beliebige Vektoren aus [mm]U_4[/mm] hernehmen und zeigen, dass die Summe der beiden wieder in [mm]U_4[/mm] liegt.
Nimm etwa [mm]\vec{x}=\alpha\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{2\\
2\\
2}[/mm] und [mm]\vec{y}=\beta\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{2\\
2\\
2}[/mm]
Dann ist aber doch [mm]\vec{x}+\vec{y}=(\alpha+\beta)\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{4\\
4\\
4}[/mm]
Bekommst du das in die Darstellung [mm]\gamma\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{2\\
2\\
2}[/mm] mit einem [mm]\gamma\in\IR[/mm]?
> [mm](\beta+\gamma) \vektor{1\\
1\\
1}[/mm] + [mm]\vektor{2\\
2\\
2}[/mm]
>
> Bsp: [mm]\beta[/mm] , [mm]\gamma[/mm] =1
> [mm](1+1)\cdot{}\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{2\\
2\\
2}[/mm]
> [mm]=\vektor{4\\
4\\
4}[/mm]
> Für [mm]\alpha[/mm] = 2 ist das Beispoel erfüllt.
>
> => abgeschlossen bezüglich der Addition
Aus dem Nachweis für ein Bsp. kannst du keine allg. Aussage folgern.
Hast du es für [mm]\alpha=\pi,\sqrt[3]{23}[/mm] geprüft und für alle anderen reellen [mm]\alpha[/mm]?
Löse dich davon, allg. Aussagen mit Beispielen beweisen zu wollen.
Das geht übel in die Hose ...
>
> Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation
> K [mm]\in \IR[/mm]
>
> [mm]\alpha\cdot{}\vektor{K\cdot{}1\\
K\cdot{}1\\
K\cdot{}1}+\vektor{2\\
2\\
2}[/mm]
> [mm]K\cdot{}\alpha\cdot{}\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{2\\
2\\
2}[/mm]
> Bsp:
> K=3
> [mm]3\cdot{}\alpha\cdot{}\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{2\\
2\\
2}[/mm]
> [mm]\alpha\cdot{}\vektor{3\\
3\\
3}+\vektor{2\\
2\\
2}[/mm]
> Für [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> [mm]\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{2\\
2\\
2}[/mm]
>
> => Abgeschlossen bezüglich der Multiplikation
Wieder grober Unfug.
Es ist doch immer dasselbe Schema.
Du nimmst dir einen bel. Vektor [mm]\vec{x}\in U_4[/mm] her und einen bel. Skalar [mm]K\in\IR[/mm] und musst zeigen, dass [mm]K\cdot{}\vec{x}\in U_4[/mm] liegt
So ein bel. Vektor [mm]\vec{x}[/mm] hat doch nach Def. [mm]U_4[/mm] die Darstellung [mm]\vec{x}=\alpha\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{2\\
2\\
2}[/mm] mit einem [mm]\alpha\in\IR[/mm]
Dann ist [mm]K\cdot{}\vec{x}=K\cdot{}\left[\alpha\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{2\\
2\\
2}\right]=K\alpha\vektor{1\\
1\\
1}+K\vektor{2\\
2\\
2}[/mm]
Den musst du irgendwie in die Darstellung [mm]\beta\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{2\\
2\\
2}[/mm] bringen mit einem [mm]\beta\in\IR[/mm]
Denn genau diese Gestalt haben doch die Vektoren in [mm]U_4[/mm] ...
>
> Jetzt zur Dimension.
> Die beiden Vektoren sind linear abhängig.
> Wenn ich diese auf Zeilenstufenform bringe, ergibt es eine
> Dimension von 1.
Dass die Dimension 1 ist, sehe ich auch so, aber einsichtig ist das doch, wenn du mal ganz genau die Menge [mm]U_4[/mm] anschaust.
Ein Vektor [mm]\vex{x}\in U_4[/mm] hat die Gestalt [mm]\vec{x}=\alpha\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{2\\
2\\
2}[/mm]
Das kannst du doch einfach umschreiben: [mm]...=\alpha\vektor{1\\
1\\
1}+2\vektor{1\\
1\\
1}=(\alpha+2)\vektor{1\\
1\\
1}[/mm]
Es liegen also in der Menge [mm]U_4[/mm] alle (reellen) Vielfachen von [mm]\vektor{1\\
1\\
1}[/mm]
Es ist also [mm]U_4=\left\langle\vektor{1\\
1\\
1}\right\rangle[/mm]
Welches geometrische Gebilde ist [mm]U_4[/mm] eigentlich?
>
> Frage: Kann man sagen , dass man bei der Untersuchung von
> Untervektorräumen auf die Variablen achten soll.
> D.h. man dreht an den Variablen und schaut, ob die
> Definition für den Untervektorraum immer erfüllt sind.
Ja, das muss man, habe ich oben nun mehrfach erklärt. Du musst immer versuchen, die Summe der Vektoren bzw. skalare Vielfache auf die Form zu bringen, die ein Vektor aus [mm]U_4[/mm] nach Def. dieser Menge hat.
Wenn du also [mm]\alpha\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{4\\
4\\
4}[/mm] hinschreibst, weiß man noch nix, denn so sehen Vektoren aus [mm]U_4[/mm] nicht der Form nach aus ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Mi 09.03.2011 | | Autor: | zoj |
>Nimm etwa $ [mm] \vec{x}=\alpha\vektor{1\\ 1\\ 1}+\vektor{2\\ 2\\ 2} [/mm] $ und $ [mm] \vec{y}=\beta\vektor{1\\ 1\\ 1}+\vektor{2\\ 2\\ 2} [/mm] $
>Dann ist aber doch $ [mm] \vec{x}+\vec{y}=(\alpha+\beta)\vektor{1\\ 1\\ 1}+\vektor{4\\ 4\\ 4} [/mm] $
>Bekommst du das in die Darstellung $ [mm] \gamma\vektor{1\\ 1\\ 1}+\vektor{2\\ 2\\ 2} [/mm] $ mit einem $ [mm] \gamma\in\IR [/mm] $?
Die Antwort ist nein. Ich kann kein [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] so wählen, dass
die Darstellung [mm] \gamma\vektor{1\\ 1\\ 1}+\vektor{2\\ 2\\ 2} [/mm] mit einem [mm] \gamma\in\IR [/mm] erfüllt ist.
=> Das heißt die Menge ist bezüglich der Addition nicht abgschlossen.
Oder irre ich mich?
>Dann ist $ [mm] K\cdot{}\vec{x}=K\cdot{}\left[\alpha\vektor{1\\ 1\\ 1}+\vektor{2\\ 2\\ 2}\right]=K\alpha\vektor{1\\ 1\\ 1}+K\vektor{2\\ 2\\ 2} [/mm] $
>Den musst du irgendwie in die Darstellung $ [mm] \beta\vektor{1\\ 1\\ 1}+\vektor{2\\ 2\\ 2} [/mm] bringen mit einem [mm] \beta\in\IR
[/mm]
Das geht, für K=1 kann man es in die Daetsllung [mm] \beta\vektor{1\\ 1\\ 1}+\vektor{2\\ 2\\ 2} [/mm] bringen mit einem [mm] \beta\in\IR [/mm]
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Hallo nochmal,
> >Nimm etwa [mm]\vec{x}=\alpha\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{2\\
2\\
2}[/mm]
> und [mm]\vec{y}=\beta\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{2\\
2\\
2}[/mm]
>
> >Dann ist aber doch
> [mm]\vec{x}+\vec{y}=(\alpha+\beta)\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{4\\
4\\
4}[/mm]
>
> >Bekommst du das in die Darstellung [mm]\gamma\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{2\\
2\\
2}[/mm]
> mit einem [mm]\gamma\in\IR [/mm]?
>
> Die Antwort ist nein. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
> Ich kann kein [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] so
> wählen,
Achtung, [mm]\alpha,\beta[/mm] sind (zwar bel. gewählt, aber im weiteren) fest!!
Die kannst du nachher nicht mehr wählen oder verändern ...
> dass
> die Darstellung [mm]\gamma\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{2\\
2\\
2}[/mm]
> mit einem [mm]\gamma\in\IR[/mm] erfüllt ist.
Das [mm]\gamma[/mm] wird natürlich von [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] abhängen ...
> => Das heißt die Menge ist bezüglich der Addition nicht
> abgschlossen.
> Oder irre ich mich?
Ja, du irrst dich!
Ich hatte eigentlich schon den entscheidenden Hinweis mit der Umschreibung gegeben, außerdem hatten wir doch, dass das Biest ein UVR ist ...
Eine Basis hatte ich hingeschrieben als Spann ...
Es ist [mm](\alpha+\beta)\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{4\\
4\\
4}=(\alpha+\beta)\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{2\\
2\\
2}+\vektor{2\\
2\\
2}=(\alpha+\beta)\vektor{1\\
1\\
1}+2\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{2\\
2\\
2}[/mm]
[mm]=(\underbrace{\alpha+\beta+2}_{:=\gamma})\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{2\\
2\\
2}[/mm]
Und das hat doch genau die Form eines Vektors [mm]\in U_4[/mm]
Beachte, dass [mm]\gamma\in\IR[/mm] ist, der Summenvektor lässt sich also in die Form, die ein Element aus [mm]U_4[/mm] haben muss, überführen ...
Also hast du Abgeschlossenheit bzgl. "+"
>
> >Dann ist [mm]K\cdot{}\vec{x}=K\cdot{}\left[\alpha\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{2\\
2\\
2}\right]=K\alpha\vektor{1\\
1\\
1}+K\vektor{2\\
2\\
2}[/mm]
>
> >Den musst du irgendwie in die Darstellung [mm]\beta\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{2\\
2\\
2}[/mm] bringen mit
> einem [mm]\beta\in\IR[/mm]
>
> Das geht, für K=1 kann man es in die Darstellung
> [mm]\beta\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{2\\
2\\
2}[/mm] bringen mit
> einem [mm]\beta\in\IR[/mm]
Nein, löse dich von Beweisen durch Beispiele, du musst es allg. zeigen, dh. für bel. [mm]K\in\IR[/mm]
Da [mm]U_4[/mm] ein UVR ist, sollte es also bzgl. Mult. mit Skalaren abgeschlossen sein.
Du solltest also [mm](K\alpha)\vektor{1\\
1\\
1}+K\vektor{2\\
2\\
2}[/mm] in die Form [mm]\beta\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{2\\
2\\
2}[/mm] bringen können.
Ich gebe noch einen Tipp, dann läuft es analog zu der Umformung bzgl. "+"
Also [mm](K\alpha)\vektor{1\\
1\\
1}+K\vektor{2\\
2\\
2}=(K\alpha)\vektor{1\\
1\\
1}+(K-1+1)\vektor{2\\
2\\
2}=(K\alpha)\vektor{1\\
1\\
1}+(K-1)\vektor{2\\
2\\
2}+\vektor{2\\
2\\
2}[/mm]
Nun verarzte wie oben die ersten beiden Vektoren zu [mm]\beta\vektor{1\\
1\\
1}[/mm] ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Mi 09.03.2011 | | Autor: | zoj |
OK,
$ [mm] (K\alpha)\vektor{1\\ 1\\ 1}+K\vektor{2\\ 2\\ 2}=(K\alpha)\vektor{1\\ 1\\ 1}+(K-1+1)\vektor{2\\ 2\\ 2}=(K\alpha)\vektor{1\\ 1\\ 1}+(K-1)\vektor{2\\ 2\\ 2}+\vektor{2\\ 2\\ 2} [/mm] $
[mm] =(K\alpha)\vektor{1\\ 1\\ 1}+2(K-1)\vektor{1\\ 1\\ 1}+\vektor{2\\ 2\\ 2}
[/mm]
[mm] =(K\alpha)+2(K-1)\vektor{1\\ 1\\ 1}+ \vektor{2\\ 2\\ 2} [/mm]
= [mm] \underbrace{ K(2\alpha)-2 }_{:=y}\vektor{1\\ 1\\ 1}+ \vektor{2\\ 2\\ 2} [/mm]
Ist es richtig so?
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Hallo zoj,
> OK,
> [mm](K\alpha)\vektor{1\\
1\\
1}+K\vektor{2\\
2\\
2}=(K\alpha)\vektor{1\\
1\\
1}+(K-1+1)\vektor{2\\
2\\
2}=(K\alpha)\vektor{1\\
1\\
1}+(K-1)\vektor{2\\
2\\
2}+\vektor{2\\
2\\
2}[/mm]
>
> [mm]=(K\alpha)\vektor{1\\
1\\
1}+2(K-1)\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{2\\
2\\
2}[/mm]
>
> [mm]=(K\alpha)+2(K-1)\vektor{1\\
1\\
1}+ \vektor{2\\
2\\
2}[/mm]
Hier fehlen doch Klammern:
[mm]=\left[K\alpha+2(K-1)\right]\cdot{}\vektor{1\\
1\\
1}+\vektor{2\\
2\\
2}[/mm]
> = [mm]\underbrace{ K(2\alpha)-2 }_{:=y}\vektor{1\\
1\\
1}+ \vektor{2\\
2\\
2}[/mm]
Naja, bei mir gibt [mm]K\alpha+2(K-1)[/mm] eher [mm]K(2\red{+}\alpha)-2[/mm]
Aber ansonsten ist das der Weg, um zu zeigen, dass das [mm]K[/mm]-fache eines Vektors aus [mm]U_4[/mm] wieder in [mm]U_4[/mm] liegt.
>
> Ist es richtig so?
Ja, fast
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Mi 09.03.2011 | | Autor: | zoj |
Danke für die Hilfe.
Bei dieser Aufgabe haben wir Polynom-,Matrizen-, Vektor-Mengen untersucht.
Gibt es zu dem Thema Untervektorräume sonst noch was Wichtiges, was man wissen muss?
Evtl. Tipps woran man schnell erkennt, dass es sich um Untervektorraum handelt.
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> Danke für die Hilfe.
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> Bei dieser Aufgabe haben wir Polynom-,Matrizen-,
> Vektor-Mengen untersucht.
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> Gibt es zu dem Thema Untervektorräume sonst noch was
> Wichtiges, was man wissen muss?
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> Evtl. Tipps woran man schnell erkennt, dass es sich um
> Untervektorraum handelt.
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Hallo,
wenn Du entscheiden wilst, ob etwas ein Untervektorraum ist, ist es natürlich wichtig, den zugrundeliegenden Vektorraum zu kennen, insbesondere auch, wie die Verknüpfungen definiert sind.
Die wesentlichen Vektorräume, die in Deiner Vorlesung besprochen wurden, sollten Dir also bekannt sein.
Für die Untersuchung auf "Unterraum" sind die Unterraumkriterien der Wegweiser.
Wenn man untersucht, ob die Menge nichtleer ist, guckt man am besten, ob der Nullvektor des zugrundeliegenden Vektorraumes drin ist. Ist er's nicht, kann man nämlich gleich aufhören, weil es kein UVR sein kann. (Warum eigentlich?)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:00 Do 10.03.2011 | | Autor: | zoj |
Ok, vielen Dank fü die Hilfe!
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> >Nullelement ist das Nullpolynom n(x):= [mm](0x^3+0x^2+0x+0)[/mm] = 0
> >Du mußt nun schauen, ob dieses Polynom auch in [mm]U_3[/mm]
> enthalten ist.
> >Dies tust Du, indem Du feststellst, was n(1) ist und was
> n(2),
>
> Meinst du etwa so?
> n(1) = [mm]a_{0}1^{0}[/mm] + [mm]a_{1}1^{1}[/mm] + [mm]a_{2}1^{2}[/mm] + [mm]a_{3}1^{3}[/mm]
> n(2) = [mm]a_{0}2^{0}[/mm] + [mm]a_{1}2^{1}[/mm] + [mm]a_{2}2^{2}[/mm] + [mm]a_{3}2^{3}[/mm]
Hallo,
schrieb ich nicht oben, was das Nullpolynom ist?
n(x)=0.
Dann ist natürlich n(1)=0, n(2)=0 und somit n(1)=2n(2).
Mehr Zauber braucht's nicht.
> Abgeschlossenheit bezüglich der Addition:
> (p+q)(1) = 2(p+q)(2)
> p(1) + q(2) = 2*p(2) + 2*q(2)
> p(1) + q(2) = 2*( p(2) + q(2) )
> Reicht es, wenn man es so zeigt?
Was soll das p(1)+q(2)?
Es ist doch lt. Definition (p+q)(1)=p(1)+q(1).
Man könnte es so aufschreiben:
seien p,q [mm] \in U_3, [/mm] also p(1)=2p(2) und q(1)=2q(2).
Dann ist
(p+q)(1)=p(1)+q(1) nach Def. der Addition
=2p(2)+2q(2) [mm] \qquad [/mm] da [mm] p,q\in U_3
[/mm]
=2(p(2)+q(2)) [mm] \qquad [/mm] Distributivgesetz in [mm] \IR
[/mm]
=2 (p+q)(2) [mm] \qquad [/mm] Def. der Addition
>
> Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation:
> >für die Abgeschlossenheit bzgl der Multiplikation
> prüfen, ob für jeses >Polynom p aus [mm]U_3[/mm] und für jede
> reelle Zahl r gilt: [mm]r\cdot{}p\in U_3,[/mm]
> >dh. ob gilt
> (r*p)(1)=2(r*p)(2).
Bew.:
Sei [mm] r\in \IR [/mm] und [mm] p\in U_3, [/mm] dh. p(1)=2p(2).
es ist
(r*p)(1)=rp(1) [mm] \qquad [/mm] Def. der Multiplikation
=r(2p(2)) [mm] \qquad [/mm] denn p ist in [mm] U_3
[/mm]
=(r*2)p(2) [mm] \qquad [/mm] Assoziativgesetz bzgl der Mult. in [mm] \IR
[/mm]
=(2r)p(2) [mm] \qquad [/mm] Mult. in [mm] \IR [/mm] ist kommutativ
=2(rp(2)) [mm] \qquad [/mm] Assoziativgesetz der Mult. in [mm] \IR
[/mm]
=2(r*p)(2) [mm] \qquad [/mm] Def. der Mult.
Gewöhne Dir an, für jeden Schritt, den Du gehst, eine Begründung anzugeben - man macht dann weniger Fwhler, und außerdem wird es verlangt.
Die Dimension von [mm] U_3 [/mm] sagst Du richtig, aber die Begründung dafür ist völlig unpassend.
(Ist Dir eigentlich die Dimension von [mm] P_3 [/mm] klar?)
Kannst Du vielleicht ein Erzeugendensystem von [mm] U_3 [/mm] angeben?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Fr 11.03.2011 | | Autor: | karimb |
Hi Angela,
Ich wollte an dir einige Fragen stellen:
1) Wie sollte ich in der Prüfung wissen, dass p(x) = [mm] x^{3} [/mm] + [mm] 2x^{2} [/mm] + 3x -38 ??
2) Kannst du mir sagen, in diesem Beispiel, n(1) =? und n(2) =? Wie kann ich prüfen ob n(1) = 2 n(2) ?
3) Was soll denn 2 * [.....] sein? (Du hast das oben geschrieben)
4) Wieso die Bedingung n(1) = 2n(2) stimmt?? ist [mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] + [mm] a_{3} [/mm] = 2 [mm] (a_{0} 2^{0} [/mm] + [mm] a_{1} 2^{1} [/mm] + [mm] a_{2} 2^{2} [/mm] + [mm] a_{3} 2^{3}) [/mm] ?
5) Warum "NATÜRLICH" n(1) = 0 und n(2) = 0 ? Für mich ist eher n(1) = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] + [mm] a_{3} [/mm] und n(2) = [mm] a_{0} [/mm] + 2 [mm] a_{1} [/mm] + 4 [mm] a_{2} [/mm] + 8 [mm] a_{3} [/mm] Warum dann wurde über n(1) und n(2) besprochen? n(999) wird auch gleich 0. Sollte man mit dem Nullpolynom weiterarbeiten?
6) Was ist die richtige Begründung für die Dimension, die gleich 4 ist?
Vielen Dank im Voraus!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Sa 12.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hi Angela,
> Ich wollte an dir einige Fragen stellen:
> 1) Wie sollte ich in der Prüfung wissen, dass p(x) =
> [mm]x^{3}[/mm] + [mm]2x^{2}[/mm] + 3x -38 ??
Das musst du nicht, das war ein Bsp. das sich angela ausgedacht hat, du kannst dir einfachere oder keins ausdenken das war in der Aufgabe nicht verlangt. es sollte dem frager enfach mal ein konkretes Beispiel zeigen.
> 2) Kannst du mir sagen, in diesem Beispiel, n(1) =? und
> n(2) =? Wie kann ich prüfen ob n(1) = 2 n(2) ?
du setzest fuer x 1 ein und rechnest aus. dann x=2 einsetzen und ausrechnen. dann vergleichrn ob deine zweite Zahl doppelt so gross ist wie die erste.
> 3) Was soll denn 2 * [.....] sein? (Du hast das oben
> geschrieben)
> 4) Wieso die Bedingung n(1) = 2n(2) stimmt?? ist [mm]a_{0}[/mm] +
> [mm]a_{1}[/mm] + [mm]a_{2}[/mm] + [mm]a_{3}[/mm] = 2 [mm](a_{0} 2^{0}[/mm] + [mm]a_{1} 2^{1}[/mm] +
> [mm]a_{2} 2^{2}[/mm] + [mm]a_{3} 2^{3})[/mm] ?
> 5) Warum "NATÜRLICH" n(1) = 0 und n(2) = 0 ? Für mich
> ist eher n(1) = [mm]a_{0}[/mm] + [mm]a_{1}[/mm] + [mm]a_{2}[/mm] + [mm]a_{3}[/mm] und n(2) =
> [mm]a_{0}[/mm] + 2 [mm]a_{1}[/mm] + 4 [mm]a_{2}[/mm] + 8 [mm]a_{3}[/mm] Warum dann wurde über
Es gibt die Polynome, das sind die Elemente des VR und es gibt ihre Auswertung an den Stellen x=1 und x=2 oder anderen.
Das Nullpolynom ist p(x)=0 d.h. alle a sind 0 deshalb ist es fuer alle x 0 auch fuer x=1 und x=2 aber auch fuer x=12345
> n(1) und n(2) besprochen? n(999) wird auch gleich 0. Sollte
> man mit dem Nullpolynom weiterarbeiten?
> 6) Was ist die richtige Begründung für die Dimension,
> die gleich 4 ist?
4 ist die Dimension des gesamten VR aller Polynome vom grad kleiner gleich 3, nicht die von diesem UVR
da man mit 1,x,x`2,x`3 ne Basis fuer den gesamten VR hat ist die Dimension 4
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Sa 12.03.2011 | | Autor: | karimb |
danke leduart!!
was soll denn die Dimension für dieses UVR sein und was ist die Begründung? 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:30 So 13.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
dazu sollst du dir Gedanken machen. So billig gibts ier keine Antworten.
Wann wuesstest du denn die Dimension? Kannst du was dafuer tun, das Wissen zu finden?
Gruss leduart
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