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| Aufgabe | Ws sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K, uns U1,U2 Untervektorräume, sodass [mm] dim_{K}U1 [/mm] = [mm] dim_{K}U2.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass es einen Untervektorraum W von V gibt, sodass V = U1 [mm] \oplus [/mm] W = U2 [mm] \oplus [/mm] W gilt. |
nun ich hab ja gegeben:
[mm] dim_{K}U1 [/mm] = [mm] dim_{K}U2
[/mm]
und ich weiß : U1 [mm] \cap [/mm] W = {0} = U2 [mm] \cap [/mm] W
woraus sich: [mm] dim_{K}W [/mm] = [mm] dim_{K}V-dim_{K}U1 [/mm] (bzw U2)
ergibt.
jetzt muss ich ja zeigen, dass ein UR W existiert, der ein direktes Komplement zu U1 und U2 ist....
(ich komm hier nicht wirklich voran.... ich hab mir an Beispielen klar gemacht, dass dieser UR W existiert...)
Ein Versuch war:
Setze Bv,Bu1,Bu2,Bw = Basis V,U1,U2,W
Da U1 und U2 URs sind gilt, Bu1 und Bu2 können durch ergänzen von [mm] dim_{K}W [/mm] linear unabhänigen Vektoren zu einer Basis von V ergänzt werden.
nun müsste ich irgendwie zeigen (begründen), dass es in jedem Fall möglich ist Bu1 und Bu2 mit denselben Vektoren zu einer Basis von V zu ergänzen, welche dann den UR W erzeugen würden...
ich hoffe es kann jmd helfen
mfg
ConstantinJ
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:31 Do 15.12.2011 | | Autor: | hippias |
Ich wuerde Induktion nach $dim V- dim [mm] U_{1}$ [/mm] vorschlagen. Wenn ich mich nicht irre, koennte Dir im Induktionsschritt folgendes Lemma nuetzlich sein: Wenn $V= [mm] U_{1}\cup U_{2}$, [/mm] dann ist [mm] $U_{1}= [/mm] V$ oder [mm] $U_{2}= [/mm] V$.
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Sicher, dass das Lemma richtig ist ?
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> Sicher, dass das Lemma richtig ist ?
Ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 So 18.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Ok, wie geht man denn bei dieser Induktion vor? Wie sehen z.B. Induktionsanfang und Induktionsannahme aus?
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> Ok, wie geht man denn bei dieser Induktion vor? Wie sehen
> z.B. Induktionsanfang und Induktionsannahme aus?
Hallo,
bevor hier irgendeine Induktion gestartet wird, solltest Du Dir den Sachverhalt erstmal klar machen - bisher gibt es keine Anzeichen dafür, daß das geschehen ist.
Mal grob angedeutet:
Wenn [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] gleich sind, ist die Aussage ja eh klar.
Seien sie also verschieden.
Man kann sich überlegen, daß es ein Element [mm] w\in [/mm] V gibt, welches weder in [mm] U_1 [/mm] noch [mm] U_2 [/mm] ist.
Man kann sich überlegen, daß die Summen [mm] U_i+ [/mm] direkt sind, und daß [mm] dim(U_i+)=dimU_i+1.
[/mm]
Wenn nun diese Dimension =dimV ist, bist Du fertig.
Ansonsten machst Du munter weiter.
Überlege Dir, daß [mm] U_1+\not=U_2+,
[/mm]
und dann geht's so weiter wie oben: wieder mit einem Vektor ergänzen, der weder in dem einen noch im anderen Raum liegt.
Das Spielchen so lange, bis die ergänzten Räume die Dimension dimV haben.
Die ergänzten Vektoren sind eine Basis des gesuchten Raumes W.
Gruß v. Angela
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