Untervektorräume des R^2 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wieviele Untervektorräume hat der [mm] R^2? [/mm] (R für Menge der reellen Zahlen)
a) zwei: {0}, [mm] R^2
[/mm]
b) vier : {0}, [mm] R^2, [/mm] R kreuz {0}, {0} kreuz R
c) unendlich viele
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Hi,
diese Frage wurde schon oft disskutiert und dennoch für mich nicht völlig plausibel geklärt.
nach langer überlegung dachte ich dass es 4 untervektorräume gibt aber unendlich viele elemente....
hätte dann (0,0) (transponiert) (1,0) (transponiert) was ja dann die x-achse wäre (0,1) was ja dann die y-achse wäre und (1,1) was dann der [mm] R^2 [/mm] wäre
da man die einzelnen vektoren dann mit einer beliebigen zahl r aus R multiplizieren kann habe ich unendlich viele elemente des Untervektorraums
Ich glaube aber ich hab da etwas noch nicht grundlegend verstanden kann mir jemand bitte eine antwort geben ich will es gerne nachvollziehen und wissen!
danke im voraus, Richard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Fr 02.11.2007 | | Autor: | max3000 |
Es gibt unendlich viele.
Geraden, die durch den Nullpunkt gehen sind z.b. Untervektorräume des [mm] \IR^{2}.
[/mm]
Also [mm] U_{v}=\{x\in\IR^{2};\exists\lambda\in\IR:x=\lambda*v\}
[/mm]
Jetzt kannst du ja die Axiome nachrechnen:
1. [mm] U_{x}\ne\emptyset [/mm] , da [mm] 0\in\U_{v} [/mm] für [mm] \lambda=0
[/mm]
2. [mm] x,y\in U_{v} \Rightarrow (x+y)\in U_{v}, [/mm] da [mm] x+y=\lambda*v+\mu*v=(\lambda+\mu)*v
[/mm]
3. [mm] x\in U_{v} \Rightarrow \alpha*x\in U_{v}, [/mm] da [mm] \alpha*(\lambda*v)=(\alpha*\lambda)*v\in U_{v}
[/mm]
Diese Geraden mit Richtungsvektor v erfüllen alle die UVR-Axiome.
Damit wäre das auch gezeigt, dass es unendlich viele Untervektorräume gibt.
Gruß
Max
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Danke für die Antwort,
wie gehe ich denn vor wenn ich etwas gegeben habe und zeigen soll ob es sich um einen Untervektorraum oder nicht handelt, die formale schreibweise macht mir hier etwas zu schaffen
zb. handelt es sich um einen Untervektorraum des [mm] R^2 [/mm] ?
U={x=(x1,x2)Element [mm] R^2 [/mm] | (x1)² =(x2)²}
kann ich jetzt sagen 0 ist enthalten da (0)²=(0)² ???
und wie zeige ich dass die anderen axiome gelten oder nicht...bitte einen ansatz damit ich die anderen aufgaben von mir lösen kann
danke Richard
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> Danke für die Antwort,
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> wie gehe ich denn vor wenn ich etwas gegeben habe und
> zeigen soll ob es sich um einen Untervektorraum oder nicht
> handelt, die formale schreibweise macht mir hier etwas zu
> schaffen
Hallo,
dann mußt Du die Bedingungen für "Untervektorraum" kennen und nachweisen - lies sie Dir in Deinem Buch/Skript durch und vergleiche, ob sie zu dem, wasich hierrecht informell mitteile, passen.
1. Teilmenge einer Vektorraumes V über K
2. nichtleer
3. Die Summe zweier Elemente liegt auch drin
4. das Produkt aus einem Skalar und einem Element ist drin.
> zb. handelt es sich um einen Untervektorraum des [mm]R^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
?
>
> U={x=(x1,x2)Element [mm]R^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| (x1)² =(x2)²}
>
> kann ich jetzt sagen 0 ist enthalten da (0)²=(0)² ???
Mit den Nullen muß man etwas vorsichtig sein, damit man sich nicht selbst durcheinanderbringt . Welches ist die Null im \IR^2?
Es ist (0,0), genau mit der Begründung, die Du oben lieferst.
Nun überlege Dir, ob die Summe zweier Elemente aus U auch in U liegt.
Vergiß nicht, daß es auch negative Zahlen gibt.
Danach mußt Du dann noch die skalaren Vielfachen untersuchen, sofern Du nicht schon festgestellt hast, daß es kein UVR ist.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Fr 02.11.2007 | | Autor: | Creep |
Vorsicht bei deinem (0,0).
Remember: Jeder Vektorraum hat eine Basis...
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