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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 So 07.05.2006 | | Autor: | Katrin85 |
| Aufgabe | | Durch die Vektoren a=(1 -1 1 3), b=(1 1 -1 5), c=(1 0 0 4), d=(0 -1 1 -1) wird im Raum [mm] R^{4} [/mm] der Unterraum U=<a, b, c, d> aufgespannt. Geben Sie die Dimension dieses Unterraums und eine Basis an. |
Hallo zusammen,
obige Aufgabe ist mir gegeben. Ich weiß inzwischen, dass man c und d auch durch a und b darstellen kann. Bloß weiß ich nicht, wie man darauf kommt. Also wie gehe ich formal an sowas ran, wenn ich es nicht auf den ersten Blick sehe?
Bin für jede Hilfe dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 So 07.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
schreibe deine Vektoren untereinander als ZEILEN in eine Matrix und wende den normalen Gauß an - du siehst dann den Rang der Matrix (also die Anzahl der nicht-nullzeilen), dies ist die Dimension des UVR.
Die Nicht-Nullzeilen sind dann aber auch schon eine Basis des UVR.
(denn durch die Zeilenoperationen bleibst du im Erzeugnis und die Zeilen in Zeilenstufenform sind offensichtlich linear unabhängig).
Wenn du ein Basis aus den ursprünglichen Vektoren haben willst, musst du dir einen Permutationsvektor merken, wo du die Zeilenvertauschungen auch "speicherst", so siehst du zum Schluß, welche der ursprünglichen Vektoren noch in den Zeilen stehen.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 So 07.05.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Hallo,
erst mal vielen Dank für diese schnelle Antwort! Leider muss ich gestehen, dass ich damit aber noch relativ überfordert sind. An Matrizen kann ich mich zwar noch aus der Schule erinnern, aber in der Vorlesung kamen sie noch nicht vor. Und ob ich den Gauß noch hinkriege, weiß ich auch nicht. Was ein "Erzeugnis" ist, weiß ich auch nicht und schon gar nicht, was ein Permutationsvektor ist :-(.
Kann ich das auch irgendwie als Gleichungssystem darstellen?
Also z. B.
r+s+t= ?
-r+s-u= ?
r-s+u= ?
3r+5s+4t-u= ?
Aber was muss dann auf die rechte Seite? Und nach was muss ich dann überhaupt auflösen?
Wäre super, wenn mir noch mal jemand helfen könnte!
Danke, Katrin
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Eine Basis ist eine maximal linear unabhängige Menge von Vektoren.
Schau ob deine 4 Vektoren linear unabhängig sind. Wenn ja, dann sind sie schon eine Basis. Ansonsten kannst du einen weglassen.
Überprüfe die verbleibenden 3 ... usw. bis sie linear unabhängig sind.
Die verbleibende Anzahl ist dann auch deine Dimension.
Grüße, Schlurcher
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 So 07.05.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Danke, aber das weiß ich ja bereits  .
Meine Frage war jetzt, wie ich das prüfe. Über die Matrizen nicht, denn das kann ich nicht.
Woher weiß ich, ob meine vier Vektoren unabhängig sind?
Noch mal danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 So 07.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Katrin,
also wenn ihr Matrizen wirklich noch nicht gemacht habt, dann wirst du wohl ein Gleichungssystem lösen müssen.
(obwohl man das ja auch mit Matrizen schnell und allgemein lösen kann, aber naja.. ihr macht halt eine komische Reihenfolge)
also die Vektoren a,b,c und d sind genau dann linear unabhängig, wenn aus
[mm] $x_1* a+x_2 [/mm] *b [mm] +x_3 [/mm] *c [mm] +x_4 *d=\vec{0}$ [/mm] folgt (als Lösung des Gleichungssystems) dass die [mm] x_i [/mm] alle gleich 0 sind.
also deine Vektoren da einsetzen und zeilenweise die Gleichungen betrachten.
Wenn sie linear abhängig sind (also nicht nur 0 als Lösung rauskommt), dann lösche einen Vektor, dessen Koeffizient ( [mm] x_i [/mm] ) nicht 0 war.
(denn dieser ist durch die anderen darstellbar)
Und mache das spielchen nochmal...
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 So 07.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
> Ansonsten kannst du einen
> weglassen.
>
> Überprüfe die verbleibenden 3 ... usw. bis sie linear
> unabhängig sind.
>
> Die verbleibende Anzahl ist dann auch deine Dimension.
Sorry, aber das ist falsch !
Man darf nicht einfach irgendeinen wegnehmen !
Richtig ist, dass es einen gibt, den man wegnehmen kann.
Falsch ist, dass es ein beliebiger ist !
(nimm mal zwei unabhängige Vektoren a und b und berechne nach deiner methode den rang von aab in der reihenfolge, wenn du immer von hinten wegnimmst...)
edit: aber vielleicht meintest du ja auch nur, dass man einen richtigen wählen muss..
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 So 07.05.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Hallo!
Dann erst mal vielen Dank. So ganz 100%ig sicher bin ich mir nicht, ob ich es verstanden habe, aber ich werde mich jetzt auf jeden Fall mal dransetzen und melde mich dann noch mal hier, wenn ich eine Lösung habe.
Vielen lieben Dank auf jeden Fall erst mal für die Hilfe!
P.S.: Ich finde unsere Reihenfolge auch komisch, aber irgendwie springen wir im Buch vor und zurück...
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