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hallo!!
Habe noch eine kleine Frage zu der Hausübung  !
Also: Welche der folgenden mengen sind Untervektorraüme des R³??
M={(x,y,z)|x+3y=z}
Bedingung. M ist ein untervektorraum von R³ wenn gilt:
Für alle x,y [mm] \in [/mm] M und k [mm] \in [/mm] R³ muss gelten:
x+y [mm] \in [/mm] U und k*x [mm] \in [/mm] U!!!
Also: [mm] (x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2}) \in [/mm] U
=> [mm] (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2}) \in [/mm] U ???
Das heißt doch,dass für alle [mm] (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2}) \in [/mm] U auch diese Gleichung gelten muss,oder??
wenn ich [mm] (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2}) [/mm] in die gleichung einsetze--was bringt mir das.Daraus kann ich nichts beweisen,oder???
Danke MFG Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Daniel!
Du musst zeigen:
Wenn [mm] $(x_1,y_1,z_1) \in \IR^3$ [/mm] und [mm] $(x_2,y_2,z_2)\in \IR^3$ [/mm] in $M$ liegen, wenn also:
(1) [mm] $x_1 [/mm] + [mm] 3y_1 [/mm] = [mm] z_1$ [/mm] und [mm] $x_2 [/mm] + [mm] 3y_2 [/mm] = [mm] z_2$
[/mm]
gilt, dann liegt auch
[mm] $(x_1,y_1,z_1) [/mm] + [mm] (x_2,y_2,z_2) [/mm] = [mm] (x_1+ x_2,y_1 [/mm] + [mm] y_1,z_1+z_2) \in \IR^3$ [/mm]
in der Menge $M$, d.h. dann gilt auch:
(2) [mm] $(x_1 [/mm] + [mm] x_2) [/mm] + [mm] 3(y_1 [/mm] + [mm] y_2) [/mm] = [mm] z_1 [/mm] + [mm] z_2$.
[/mm]
Versuche also aus (1) die Gleichung (2) zu folgern. Das ist nicht schwer.
Anschließend musst du dann folgern:
Wenn $(x,y,z) [mm] \in \IR^3$ [/mm] in $M$ liegt, wenn also:
(3) $x + 3y = z$
gilt, dann liegt für jedes $k [mm] \in \IR$ [/mm] auch
$k [mm] \cdot [/mm] (x,y,z) = (kx,ky,kz) [mm] \in \IR^3$
[/mm]
in der Menge $M$, d.h. dann gilt auch:
(4) $kx + 3ky = 3z$.
Versuche nun also aus (3) die Gleichung (4) zu folgern. Auch das ist nicht schwer.
Weiterhin gilt: $0 [mm] \in [/mm] M$, d.h. $M$ ist in der Tat ein Unterraum von [mm] $\IR^3$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan.erstmal danke für deine antwort.
Weiß nicht,vielleicht sitze ich gerade auf der Leitung,aber müsste es nicht heißen:
[mm] (x_{1}+x_{2})+3*(y_{1}+y_{2}=z-{1}+z_{2}
[/mm]
Grüße Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Daniel!
Du meinst, weil ich einmal statt "+" das Zeichen "=" geschrieben habe? Das war ein Tippfehler, ja, Danke für den Hinweis, ich habe es verbessert.
Ist der Rest denn jetzt klar?
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan!!Danke,ja es ist mir klar!!
Eine kleine Frage habe ich noch:Wenn ich die zwei Gleichungen habe.Ist es gerechtfertigt,wenn ich die beiden addiere!!
[mm] x_{1}+3y_{1}=z_{1}|+
[/mm]
[mm] x_{2}+3y_{2}=z_{2}|
[/mm]
____________________
[mm] (x_{1}+x_{2})+3(y_{1}+y_{2})=z_{1}+z-{2}
[/mm]
???Grüße daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 So 07.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Daniel!
Selbstverständlich!
Zwei Gleichungen darf man addieren. Aus $a=b$ und $c=d$ folgt:
$a+c = b+d$.
Liebe Grüße
Stefan
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