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| Aufgabe | Gegeben sei der Vektorraum [mm] W=(P/P:\IR\to\IR [/mm] ist ein Polynom). Geben Sie an, welche der folgenden Mengen Untervektorräume von W sind.
a) [mm] U=(ax^2 [/mm] + [mm] bx^{5} [/mm] mit [mm] a,b\in\IR)
[/mm]
b) [mm] U=(ax^2 [/mm] + [mm] bx^{5} [/mm] mit [mm] \\a=b [/mm] und [mm] a,b\in\IR)
[/mm]
c) [mm] U=(x^{a}+x^{b} [/mm] mit [mm] a,b\in\IR) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir vielleicht jemand helfen, wie man diese Aufgabe löst?
Hoffe ihr versteht sie, weil das mit den Zeichen irgendwie nicht so klappt.
Schonmal danke für die Hilfe.
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> Gegeben sei der Vektorraum [mm]W=(P/P:\IR\to\IR[/mm] ist ein
> Polynom). Geben Sie an, welche der folgenden Mengen
> Untervektorräume von W sind.
> a) [mm]U=(ax^2[/mm] + [mm]bx^{5}[/mm] mit [mm]a,b\in\IR)[/mm]
> b) [mm]U=(ax^2[/mm] + [mm]bx^{5}[/mm] mit [mm]\\a=b[/mm] und [mm]a,b\in\IR)[/mm]
> c) [mm]U=(x^{a}+x^{b}[/mm] mit [mm]a,b\in\IR)[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Der zugrunde liegende VR W soll also der Raum der (vermutlich reellen) Polynome sein.
Die Mengen in a)-c) sind Teilmengen hiervon, und Du sollst herausfinden, ob es Untervektorraume von W sind, ob diese Teilemengen also selbst wieder Vektorräume sind.
Im Prinzip könntest Du das angehen, indem Du ür die Teilmengen U sämtlciher VR_Axiome überprüfst, zum Glück aber stehen Dir sicher die 3 Kriterien zur Verfügung, mit welcher Du eine Teilmenge eines VRs auf "Untervektorraum" testen kannst.
Welche drei Bedingungen sind das, die gelten müssen?
1) [mm] U\not=\emptyset [/mm] (sinnigerweise überzeugt man sich hier, ob das neutrale Element von W mit in U liegt, sonst kann man nämlich gleich aufhören)
2) die Summe zweier Elemente aus U liegt wieder in U
3) das Produkt einer (hier ) reellen Zahl mit einem Element aus U liegt wieder in U
zu a)
In dieser Menge sind Polynome der Gestalt [mm] ax^2+bx^5 [/mm] enthalten.
Für 1) überlege Dir, ob auch das Nullpolynom so geschrieben werden kann.
Für 2) prüfe, ob Du [mm] (ax^2+bx^5)+(cx^2+dx^5) [/mm] schreiben kannst als [mm] (...)x^2+(...)x^5
[/mm]
Für 3) teste, ob [mm] k(ax^2+bx^5) [/mm] als [mm] (...)x^2+(...)x^5 [/mm] geschrieben werden kann.
Den Rest kann man dann später anschauen.
Gruß v. Angela
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