Untervektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Di 26.02.2013 | | Autor: | poeddl |
| Aufgabe | Ist die Menge ein Untervektorraum?
W:={(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] | [mm] x^{2}=y [/mm] } |
Hallo,
leider verstehe ich obige Aufgabe nicht, kann mir dort jemand weiterhelfen?
Die Aufgabe muss man ja mittels der Teilraumkriterien lösen.
Der Nullvektor ist enthalten, da [mm] 0^{2}=0.
[/mm]
In der Lösung (ich wusste nicht weiter und habe darum mal geschaut) steht nun aber etwas von [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 4} [/mm] ist die Summe [mm] \vektor{3 \\ 5}, [/mm] was wiederum kein Vektor von W ist, woraus folgt, dass W kein UVR ist.
Das ist ja, wenn ich es richtig verstehe, die Abgeschlossenheit der Addition, welche nicht erfüllt ist oder?
Warum ist aber [mm] \vektor{3 \\ 5} [/mm] kein Vektor aus W? Ich glaube, ich verstehe die Bedinung mit dem [mm] x^{2}=y [/mm] nicht so wirklich...
Ich hoffe, mir kann jemand weiterhelfen.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Di 26.02.2013 | | Autor: | barsch |
Hallo,
>
> Hallo,
>
> leider verstehe ich obige Aufgabe nicht, kann mir dort
> jemand weiterhelfen?
> Die Aufgabe muss man ja mittels der Teilraumkriterien
> lösen.
>
> Der Nullvektor ist enthalten, da [mm]0^{2}=0.[/mm]
stimmt.
>
> In der Lösung (ich wusste nicht weiter und habe darum mal
> geschaut) steht nun aber etwas von [mm]\vektor{1 \\
1}[/mm] und
> [mm]\vektor{2 \\
4}[/mm] ist die Summe [mm]\vektor{3 \\
5},[/mm] was wiederum
> kein Vektor von W ist, woraus folgt, dass W kein UVR ist.
>
> Das ist ja, wenn ich es richtig verstehe, die
> Abgeschlossenheit der Addition, welche nicht erfüllt ist
> oder?
stimmt auch.
> Warum ist aber [mm]\vektor{3 \\
5}[/mm] kein Vektor aus W? Ich
> glaube, ich verstehe die Bedinung mit dem [mm]x^{2}=y[/mm] nicht so
> wirklich...
Die Menge W enthält alle 2-Tupel [mm](x,y)^T\in\IR^2[/mm] für die gilt: [mm]x^2=y[/mm].
Zum Beispiel ist das 2-Tupel [mm](x,y)^T=(1,1)^T\in{W},[/mm] da gilt [mm]x^2=1^2=1=y.[/mm]
Das 2-Tupel [mm](x,y)^T=(2,4)^T[/mm] ist auch in W, da [mm]x^2=2^2=4=y[/mm] gilt.
Das Tupel [mm](x,y)^T=(10,100)^T[/mm] ist ebenfalls in W, da [mm]x^2=10^2=100=y[/mm] gilt.
Die Summe [mm](x,y)^T=(1,1)^T+(2,4)^T=(3,5)^T[/mm] ist nicht in W, da
[mm]x^2=3^2=9\neq{5}=y[/mm].
Das Tupel [mm](x,y)^T=(3,5)^T[/mm] erfüllt also nicht die Bedingung [mm]x^2=y[/mm] und ist damit nicht in W. Somit ist die Abgeschlossenheit gegenüber der Addition nicht gegeben.
>
> Ich hoffe, mir kann jemand weiterhelfen.
>
> Viele Grüße
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Di 26.02.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo,
zunächst vielen Dank für deine Antwort!
Das heisst also, dass mit x und y nicht zwei Vektoren gemeint sind sondern ein Vektor und davon die beiden Komponenten? Also quasi so: [mm] \vektor{x \\ y}?
[/mm]
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Di 26.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja alle Vektoren der Menge haben die Form [mm] \vektor{a \\ a^2}
[/mm]
für Vektoren x, y würde ja die Gl x^20y keubeb sinn machen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Di 26.02.2013 | | Autor: | poeddl |
Alles klar, vielen Dank für eure Hilfe!
Wie immer habt ihr mir spitzenmäßig geholfen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Di 26.02.2013 | | Autor: | poeddl |
| Aufgabe | | W:={ [mm] (x_{1},x_{2},x_{3}) \in \IR^{3} [/mm] | [mm] x_{2} [/mm] = 0 } |
Habe nochmal zwei Fragen...
Es handelt sich doch in diesem Fall immer um einen Teilraum solange keine konkreten Werte gegeben sind oder? Also der Nullvektor ist immer enthalten und Addition und Multiplikation sind immer erfüllt?
Zweite Frage: Wenn ich dort aber nun die Bedingung [mm] x_{2}=1 [/mm] hätte könnte ich doch automatisch sagen, dass es kein Untervektorraum ist, da der Nullvektor nicht enthalten ist, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Di 26.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]W:=\{(x_{1},x_{2},x_{3}) \in \IR^{3}| x_{2}= 0 \}[/mm]
>
>
> Habe nochmal zwei Fragen...
>
> Es handelt sich doch in diesem Fall immer um einen Teilraum
> solange keine konkreten Werte gegeben sind oder?
kannst Du die Frage umformulieren? Ich versteh' weder die Frage noch
deren Sinngehalt. (Falls Du fragen willst, ob Du bei einer solchen Menge
immer davon ausgehen kannst, dass es sich um einen Unterraum handelt,
bis das Gegenteil bewiesen ist: Nein! Du musst beweisen oder widerlegen,
dass es sich um einen Unterraum handelt... Glauben bis zum
Gegenbeweis gibt's nicht!)
> Also der
> Nullvektor ist immer enthalten und Addition und
> Multiplikation sind immer erfüllt?
Was ist nun die Frage? Ob bei einem Teilraum stets der Nullvektor mit drin
sein muss? Ob ein Teilraum "abgeschlossen unter Addition und skalarer
Multiplikation sein muss"? Ja, das sind doch charakterisierende
Bedingungen resp. meist einfach sogar die Unterraumaxiome.
> Zweite Frage: Wenn ich dort aber nun die Bedingung [mm]x_{2}=1[/mm]
> hätte könnte ich doch automatisch sagen, dass es kein
> Untervektorraum ist, da der Nullvektor nicht enthalten ist,
> richtig?
Ja, denn [mm] $(x_1,x_2,x_3)=(0,0,0)$ [/mm] erfüllt nun mal NICHT [mm] $x_2=1\,.$ [/mm]
Nebenbei: Oben hast Du einen Untervektorraum des [mm] $\IR^3$ [/mm] gegeben.
Machen wir mal einen Beweis durch "Reden":
Der Nullvektor [mm] $(0,\red{0},0)\,$ [/mm] hat in der zweiten Komponente den Wert
[mm] $0\,$ [/mm] stehen, gehört also zu [mm] $W\,$ [/mm] (damit folgt auch $W [mm] \not=\emptyset$). [/mm] Addiere
ich zwei Vektoren (welche ja auch Elemente des [mm] $\IR^3$ [/mm] sind) aus [mm] $W\,,$ [/mm]
so berechnet man bei dem Ergebnisvektor (welcher auch zu [mm] $\IR^3$ [/mm] gehört)
in der zweiten Komponente [mm] $0+0=0\,,$ [/mm] also gehört der Ergebnisvektor
auch zu [mm] $W\,.$
[/mm]
Nehme ich einen Vektor aus [mm] $W\,$ [/mm] (dieser gehört wieder insbesondere
zum [mm] $\IR^3$) [/mm] und mulitpliziere von links einen Skalar $r [mm] \in \IR$ [/mm] dran, so wird
bei dem Ergebnisvektor in der zweiten Komponente [mm] $r*0=0\,$ [/mm] rauskommen,
also gehört dieser auch stets zu [mm] $W\,.$ [/mm] (Beachte auch erneut, dass auch
der Ergebnisvektor zum [mm] $\IR^3$ [/mm] gehört!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 Mi 27.02.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo, danke für deine Antwort.
Du hast mich sogar richtig verstanden.
Allerdings verstehe ich nicht, warum ich nicht Recht habe.
Egal, welche Werte aus R ich für [mm] x_{1},x_{2},x_{3} [/mm] mit [mm] x_{2}=0 [/mm] einsetze, habe ich doch IMMER einen Unterverktorraum?
Da der Nullvektor enthalten ist und Abgeschlossenheit der Addition und Multiplikation mit einem Skalar auch erfüllt ist?!
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Hallo poeddl,
> Hallo, danke für deine Antwort.
>
> Du hast mich sogar richtig verstanden.
>
> Allerdings verstehe ich nicht, warum ich nicht Recht habe.
Wer hat denn behauptet, dass Du nicht Recht hast? Lies mal Marcels Antwort nochmal gründlich.
> Egal, welche Werte aus R ich für [mm]x_{1},x_{2},x_{3}[/mm] mit
> [mm]x_{2}=0[/mm] einsetze, habe ich doch IMMER einen
> Unterverktorraum?
Das Problem ist, dass Du vollkommen kraus formulierst.
Dieser Satz z.B. ist sinnfrei. Dass aber alle Vektoren des [mm] \IR^3 [/mm] mit [mm] x_2=0 [/mm] zusammen einen Untervektorraum bilden, ist unbestritten.
> Da der Nullvektor enthalten ist und Abgeschlossenheit der
> Addition und Multiplikation mit einem Skalar auch erfüllt
> ist?!
Das ist ein Nebensatz. Den kann man nicht einfach zum Hauptsatz machen und ein Fragezeichen dranklatschen.
Es handelt sich hier wohl weniger um ein mathematisches Problem denn (=als) ein solches der sprachlichen Kommunikation.
Damit man solche Diskussionen nicht hat, gibt es zur absolut klaren Formulierung einer Aussage ja auch die mathematische Formelsprache.
[mm] W:=\{(x_1,x_2,x_3)\in\IR^3,\;\;x_2=0\} [/mm] ist ein Untervektorraum des [mm] \IR^3.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 Mi 27.02.2013 | | Autor: | poeddl |
Tschuldigung. Dann mach doch aus dem Punkt einfach ein Komma, dann hast Du das Problem mit dem Nebensatz nicht mehr. Offensichtlich hast Du mich ja trotz des schwerwiegenden Fehlers dennoch verstanden...
Nichtsdestotrotz vielen Dank für Eure Hilfe!
Viele Grüße
poeddl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Mi 27.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, danke für deine Antwort.
>
> Du hast mich sogar richtig verstanden.
>
> Allerdings verstehe ich nicht, warum ich nicht Recht habe.
> Egal, welche Werte aus R ich für [mm]x_{1},x_{2},x_{3}[/mm] mit
> [mm]x_{2}=0[/mm] einsetze, habe ich doch IMMER einen
> Unterverktorraum?
was meinst Du nun? Ich vermute folgendes:
Ist $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge 2\,,$ [/mm] so ist mit
[mm] $$(\*)\;\;\;\;\;\;\;\;\;W_n:=\{(x_1,x_2,...,x_n) \in \IR^n:\;\;\; x_2=0\}$$
[/mm]
dann [mm] $W_n$ [/mm] ein Untervektorraum des [mm] $\IR^n\,.$
[/mm]
Das ist richtig, und das solltest Du auch beweisen können. Dein Satz oben:
"Egal, welche Werte aus [mm] $\IR$ [/mm] ich für [mm] $x_1,x_2,x_3$ [/mm] mit [mm] $x_2=0$ [/mm] einsetze..."
(da verstehe ich schon nicht mehr, wovon Du eigentlich reden willst: geht's
Dir darum, dass Du ein Element aus [mm] $W=W_3$ [/mm] (rechterhand gemäß
meiner Definition, siehe [mm] $(\*)$ [/mm] hernimmst...?)
"... habe ich doch IMMER einen Untervektorraum?"
macht eigentlich nach wie vor überhaupt keinen Sinn:
1. Du sprichst davon, dass Du einen Untervektorraum hast. Welche Menge
soll denn überhaupt ein Untervektorraum sein, und von was? (Für Mengen
[mm] $U,V\,,$ [/mm] wenn [mm] $(V,\oplus,\odot)$ [/mm] einen [mm] $K\,$-Vektorraum [/mm] bildet, sagt man,
dass [mm] $(U,\oplus_{|U \times U},\odot_{|K \times V})$ [/mm] - kurz auch einfach (etwas fälschlicherweise)
als [mm] $(U,\oplus,\odot)$ [/mm] notiert - dann und nur dann einen Unterraum VON [mm] $V\,$ [/mm] bildet,
wenn $U [mm] \subseteq [/mm] V$ und zudem [mm] $(U,\oplus_{|U \times U},\odot_{|K \times V})$ [/mm] selbst ein [mm] $K\,$-Vektorraum [/mm] ist!) Kurz sagt man
"dann" (hier müsste ich eigentlich präzisieren, was ich meine!) auch
einfach:
[mm] $U\,$ [/mm] ist ein Untervektorraum von [mm] $V\,.$ [/mm]
(Die Präzision erspare ich mir, weil sich eigentlich aus dem Zshg. erklären
sollte, was nun das Wort "dann" genau bedeutet. Bemerkung:
Diese Sprechweise hier darf eigentlich auch nur dann benutzt werden,
wenn klar ist, mit welcher Addition [mm] $\oplus\colon [/mm] V [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V$ und mit welcher skalaren
Multiplikation [mm] $\otimes\colon [/mm] K [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V$ hier [mm] $V\,$ [/mm] betrachtet wird!)
Bei Dir erwähnst Du an keiner Stelle, was nun [mm] $U\,$ [/mm] ist, und was [mm] $V\,$ [/mm] ist.
Im Prinzip ist genau das, was ich hier sage, durch die Unterraumaxiome
sichergestellt - und diese drei kleinen Axiome kann man sich sehr einfach
behalten, daher kennst Du vermutlich die andere Definition des Begriffes
des Untervektorraums. Nur mal nebenbei:
Dass etwa für $u, [mm] \tilde{u} \in [/mm] U$ dann auch $u [mm] \oplus \tilde{u} \in [/mm] U$ nachzuprüfen
ist, wird oben "versteckt" erwähnt: [mm] $\oplus_{|U \times U}:U \times [/mm] U [mm] \to [/mm] U$
wird da nämlich gefordert. Ich glaube übrigens, dass in "Bosch, Lineare
Algebra" auch irgendwo etwas dazu steht - nämlich, dass man beweisen
soll, dass "der Begriff des Unterraums, definiert vermittels der drei
Unterraumaxiome" gleichwertig zu der Bedingung ist, dass [mm] $U\,$ [/mm] "mit den
von [mm] $V\,$ [/mm] 'vererbten Rechenregeln bzgl. Addition und skalarer Multipl.'
selbst ein Vektorraum ist". Das erklärt auch viel besser, wieso man dann
eigentlich von einem "Unter-Vektorraum" spricht.
2. Was ist denn ein Untervektorraum, der "nicht immer" ein
Untervektorraum sein sollte? So etwas gibt es nicht. Da altert ja nichts,
was dann im Alter seine Eigenschaften verlieren kann. Du musst mal
erklären, was Du da eigentlich meinst: Mir ist das jedenfalls alles andere
als klar...
3. Ja, [mm] $W_3=W$ [/mm] ist ein Unterraum des [mm] $\IR^3\,.$ [/mm] Wenn ich das bewiesen habe,
dann gilt das natürlich auch IMMER, andernfalls wäre mein Beweis sicher
falsch...
Also:
Ich habe oben eine Menge [mm] $W_n$ [/mm] für $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] 2$ definiert.
Für JEDES $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] 2$ ist dann [mm] $W_n$ [/mm] ein Untervektorraum
des [mm] $\IR^n\,,$ [/mm] wobei man den [mm] $\IR^n$ [/mm] mit der (dort) üblichen Addition
von Vektoren (eigentlich meine ich hier erstmal 'nur' Elemente des [mm] $\IR^n$)
[/mm]
und der (dort) üblichen skalaren Multiplikation versieht.
P.S. In der Mathematik ist präzise Sprache das A und O. Versuche möglichst,
alles, was sich präzise erfassen läßt, auch präzise zu formulieren. Denn
wenn Du etwas "salopp" formulierst, und diese saloppe Formulierung
eigentlich nicht gängig ist, dann wird immer nachgefragt werden, wie das
nun zu verstehen ist. Und dann musst Du es eh präzise formulieren
können.
Der bessere Weg ist tatsächlich: Erst einmal alles ganz penibel
hinschreiben, und erst danach andere Sprechweisen dafür "einführen".
Zum Beispiel kann man sagen: Sei [mm] $E(x)\,$ [/mm] eine Eigenschaft, die für jedes
$x [mm] \in [/mm] X$ entweder wahr oder falsch ist. Für eine unendliche Menge [mm] $X\,$
[/mm]
(d.h., dass [mm] $X\,$ [/mm] (abzählbar oder überabzählbar) unendlich viele Elemente
innehat) gilt dann auch folgende Vereinbarung/Konvention:
(Genau dann, ) Wenn [mm] $|\{x \in X:\;\;\;E(x)\; \text{ ist FALSCH}\}| [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] ist, so sagen wir auch:
"$E(x)$ ist für alle bis auf endlich viele $x [mm] \in [/mm] X$ wahr!" oder
"$E(x)$ gilt für fast alle $x [mm] \in X\,.$"
[/mm]
Diese Sprechweise ist gängig in der Analysis: "für fast alle" steht dort
meistens im Sinne von "für alle bis auf endlich viele (Ausnahmen)". Aber
etwa in der Wahrscheinlichkeitstheorie bedeutet "für fast alle" meistens
wieder was anderes.
Und so ähnlich ist das oben mit Deiner Verwendung von "immer": Mir ist
nicht klar, worauf sich das "immer" bezieht. $3 < [mm] 7\,$ [/mm] gilt auch "immer",
sofern wir uns hier "im üblichen Weltbild der natürlichen Zahlen" bewegen.
Ich meine, ich kann sagen: $3x < [mm] 7\,$ [/mm] gilt "immer, wenn $x < [mm] 1\,$ [/mm] ist..."
Tatsächlich gilt aber für $x [mm] \in \IR$ [/mm] sogar $3x < 7$ genau dann, wenn $x < 7/3$ ist...
Gruß,
Marcel
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