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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 Mi 19.02.2014 | | Autor: | Infoandi |
| Aufgabe | Gegeben ist die Abbildung f : [mm] \IR^{2} \in \IR^{3} [/mm] mit [mm] f(\vektor{x_{1}\\x_{2}}) [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}+x_{2}\\x_{1}-x_{2}\\2x_{1}+x_{2}}.
[/mm]
c) Liegen die Vektoren [mm] w_{1} [/mm] = [mm] \vektor{0\\2\\-1}, w_{2}=\vektor{4\\6\\9} [/mm] im Bild von f ?
Geben Sie gegebenfalls ein Urbild von [mm] w_{1} [/mm] und [mm] w_{2} [/mm] an. |
Guten Tag,
um zu prüfen ob die Vektoren im Bild liegen, muss ich [mm] \pmat{1&1\\1&-1\\2&1} \vektor{0\\2\\-1} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}\\x_{2}} [/mm] rechnen.
Jedoch geht dies ja garnicht da es eine 3x2 Matrix ist, wenn diese aber transponiere und dann x1,x2 ausrechne kommt da was raus aber beim rückwärts einsetzen komme ich nicht wieder auf w1. Bei w2 ist es das selbe. Aber da noch verlangt wird ein Urbild anzugeben, muss es ja irgendwie für einen von beiden klappen.
Danke für die Hilfe,
Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Mi 19.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben ist die Abbildung f : [mm]\IR^{2} \in \IR^{3}[/mm]
Du meinst [mm] $\IR^2 \to \IR^3$!
[/mm]
> mit
> [mm]f(\vektor{x_{1}\\x_{2}})[/mm] =
> [mm]\vektor{x_{1}+x_{2}\\x_{1}-x_{2}\\2x_{1}+x_{2}}.[/mm]
>
> c) Liegen die Vektoren [mm]w_{1}[/mm] = [mm]\vektor{0\\2\\-1}, w_{2}=\vektor{4\\6\\9}[/mm]
> im Bild von f ?
> Geben Sie gegebenfalls ein Urbild von [mm]w_{1}[/mm] und [mm]w_{2}[/mm] an.
> Guten Tag,
>
> um zu prüfen ob die Vektoren im Bild liegen, muss ich
> [mm]\pmat{1&1\\1&-1\\2&1} \vektor{0\\2\\-1}[/mm] =
> [mm]\vektor{x_{1}\\x_{2}}[/mm] rechnen.
???
> Jedoch geht dies ja garnicht da es eine 3x2 Matrix ist,
> wenn diese aber transponiere und dann x1,x2 ausrechne kommt
> da was raus aber beim rückwärts einsetzen komme ich nicht
> wieder auf w1. Bei w2 ist es das selbe. Aber da noch
> verlangt wird ein Urbild anzugeben, muss es ja irgendwie
> für einen von beiden klappen.
Du hast da irgendwie "einiges durcheinander geworfen":
Um zu gucken, ob etwa
[mm] $w_1$
[/mm]
im Bild von [mm] $f\,$ [/mm] liegt, musst Du prüfen:
Gibt es (mindestens) einen Vektor
[mm] $\vektor{a\\b} \in \IR^2$
[/mm]
mit
[mm] $f(\vektor{a\\b})=w_1\,.$
[/mm]
Das führt zu der (Matrix-Vektor) Gleichung
[mm] $\pmat{1&1\\1&-1\\2&1} \cdot \vektor{a\\b}=\vektor{0\\2\\-1}\,.$
[/mm]
Das ist ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen in den zwei reellen
Variablen [mm] $a,b\,,$ [/mm] das Du quasi nun "auf Lösbarkeit" untersuchen sollst.
(D.h. Du musst rausfinden, ob es lösbar ist oder nicht!)
Kommst Du damit klar?
(Falls ja, so wird Dir auch die Aufgabe mit [mm] $w_2$ [/mm] nun klar(er) sein, oder?)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:06 Mi 19.02.2014 | | Autor: | Infoandi |
Stimmt :x
wird Zeit für heute Schluss zu machen. Das lustige ist, ich hatte so auch angefangen, hatte für [mm] w_{1} [/mm] kein Ergebnis, da für b zwei verschiedene Werte raus kamen und bei [mm] w_{2} [/mm] sahen die letzten beiden Zeile identisch zu den von [mm] w_{1} [/mm] aus, daher dachte ich sofort, dass es auch nicht gehen wird. Aber das kleine Vorzeichen macht eben den Unterschied.
[mm] w_{1} [/mm] ist nicht im Bild
[mm] w_{2} [/mm] liegt im Bild und das Urbild ist [mm] \vektor{5\\-1}
[/mm]
danke für deine Hilfe und einen schönen Abend noch.
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:19 Do 20.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Andi,
> Stimmt :x
> wird Zeit für heute Schluss zu machen. Das lustige ist,
> ich hatte so auch angefangen, hatte für [mm]w_{1}[/mm] kein
> Ergebnis, da für b zwei verschiedene Werte raus kamen und
> bei [mm]w_{2}[/mm] sahen die letzten beiden Zeile identisch zu den
> von [mm]w_{1}[/mm] aus, daher dachte ich sofort, dass es auch nicht
> gehen wird. Aber das kleine Vorzeichen macht eben den
> Unterschied.
>
> [mm]w_{1}[/mm] ist nicht im Bild
> [mm]w_{2}[/mm] liegt im Bild und das Urbild ist [mm]\vektor{5\\-1}[/mm]
das sieht gut aus.
> danke für deine Hilfe und einen schönen Abend noch.
> Andreas
Gerne!
P.S. Nur zur Info: Zum einen hätte es durchaus sein können, dass Du
mehr als einen Vektor erhältst (natürlich nicht in diesem konkreten
Fall, sondern sowas kann bei anderen Aufgaben mit gleicher Aufgabenstellung
halt vorkommen). Ist Dir das klar?
Deine Lösung für [mm] $w_2$ [/mm] habe ich einfach nachgerechnet, ich guck auch
gerade mal bei [mm] $w_1$ ($a,b\,$ [/mm] sind NICHT die gleichen wie bei [mm] $w_2$):
[/mm]
[mm] $a+b=0\,$ [/mm] und [mm] $a-b=\,0$ [/mm] liefert sofort [mm] $2a=0\,,$
[/mm]
damit [mm] $a=b=0\,.$
[/mm]
Allerdings ist dann
[mm] $2*a+b=-1\,$
[/mm]
gleichwertig mit
[mm] $2*0+0=-1\,,$
[/mm]
was offensichtlich falsch ist.
Also in der Tat: [mm] $f^{-1}(\{w_1\})=\varnothing.$
[/mm]
P.P.S. Bei Deiner Aufgabe reicht es auch
[mm] $\vektor{5\\-1} \in f^{-1}(\{w_2\})$
[/mm]
zu schreiben, auch, wenn Du wohl
[mm] $\left\{\vektor{5\\-1}\right\}$ $=\,$ [/mm] $ [mm] f^{-1}(\{w_2\})$
[/mm]
nachgerechnet hast.
Gruß,
Marcel
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