Urbild einer kompakten Menge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Fr 27.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Mal wieder zwei Fragen an euch !
Frage 1:
Ich hab hier eine Gleichung für Höhenlinien bestimmt !
h= [mm] \pm \wurzel{1-x-hx^{2}} [/mm]
Die Funktion selbst ist [mm] f:(\IR \backslash \{0\}) \times \IR \to \IR
[/mm]
f(x,y)= [mm] \bruch{1-x-y^{2}}{x}
[/mm]
Hab das mal zeichnen "LASSEN" *g* für h=1,2,3 (http://www.mathe-online.at/fplotter/fplotter.html), und das sieht ziemlich wüst aus !
Ich mein klar für h>0 sind es Halbkreise (bzw. weil x=0 nicht definiert) Bögen, aber für h<0 sind es Parabeln !
Und dann steht da als Aufgabe, identifizieren sie die geometrischen Figuren ! Die "Höhenlinien" sehen mir aber sehr suspekt aus (h>0 würd ja noch gehen, aber h<0...*tztt*).
2. Frage.
Ich soll beweisen, dass für alle stetigen nichtkonstanten Funktionen f : [mm] R^{n} \to R^{m} [/mm] gilt: Das Urbild einer kompakten Menge ist kompakt.
Also z.z [mm] f^{-1}(kompakt)=kompakt
[/mm]
In der Vorlesung hatten wir schon bewiesen , wenn f: [mm] \IR^{m} \to \IR^{n} [/mm] stetig, dann ist [mm] f^{-1}(abgeschlossen)=abgeschlossen
[/mm]
Also müßte ich doch um die Kompaktheit zu zeigen, nur noch [mm] f^{-1}(beschränkt)=beschränkt [/mm] zeigen.
Das müßte ich irgendwie mit dem supremum und infimum machen...
Aus Beschränkt und abgeschlossen würd dann Kompaktheit folgen.
Bezeichne ich mal die Menge für die ich das zeigen will als A.
A [mm] \subseteq \IR^{m} [/mm] und A ist kompakt und f(A) auch kompakt.
Könnte man jetzt nicht irgendwie argumentieren, wenn f seine Maxima und Minima annimmt, dann muss es das Urbild auch ?
Jemand ne Idee ?
Faenôl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Fr 27.05.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Faenol
Deine Formel für die Höhenlinie nützt dir nicht viel (ich glaube sogar, sie ist falsch):
$h= [mm] \pm \wurzel{1-x-hx^{2}}$
[/mm]
du musst diese Gleichung nach x oder y auflösen und h als Höhen-Parameter ansehen.
$h= [mm] \bruch{1-x-y^{2}}{x} [/mm] $ nach x auflösen
[mm] $x=\frac{-1}{h+1}y^2+\frac{1}{h+1}$ ($h\neq [/mm] -1$)
Diese Kurve ist eine "liegende Parabel", die nach links geöffnet ist, wenn $h>-1$ und nach rechts geöffnet, wenn $h<-1$ (x ist eine quadratische Funktion in y).
Für den Fall $h=-1$ erhält man die originale Gleichung nach y aufgelöst: [mm] $y^2=1$, [/mm] d.h. die Höhenlinie zur Höhe $h=-1$ besteht aus den zwei waagrechten Geraden $y=1$ und $y=-1$.
Ich sehe von Kreisen weit und breit keine Spur.
mfG Moudi
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Wie kommt man auf diese Formel der Höhenlinien??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Sa 28.05.2005 | | Autor: | leduart |
Das Wort "Höhenlinien! kommt von geographischen Karten. Wenn man zu jedem Ort (x,y) die Höhe angibt, ist die Höhe h gegeben durch h=f(x,y) In einer festen Höhe gibt es dann eine Linie, wenn du bequem um nen Berg rum gehen willst bewegst du dich auf einer Höhenlinie. Bei einem Kegelberg wäre das ein Kreis. also z. Bsp [mm] h=x^{2}+y^{2}-R^{2}die [/mm] Höhenlinie in Höhe 0 ist
[mm] x^{2}+y^{2}-R^{2}=0 [/mm] oder [mm] x=\wurzel{R^{2}-x^{2}}
[/mm]
War das die Frage?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:04 Mo 30.05.2005 | | Autor: | fussel1000 |
Ja danke das war die Frage ;)
hab mittlerweile schon ne Lösung :P
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Fr 27.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Faenol!
> > 2. Frage.
>
> Ich soll beweisen, dass für alle stetigen nichtkonstanten
> Funktionen f : [mm]R^{n} \to R^{m}[/mm] gilt: Das Urbild einer
> kompakten Menge ist kompakt.
Die Aussage ist doch offenbar falsch. Betrachte mal die stetige nichtkonstante Funktion
$f : [mm] \begin{array}{ccc} \IR^n & \to & \IR^m \\[5pt] \pmat{ x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n} & \mapsto & \pmat{ x_1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0}. \end{array}$.
[/mm]
Dann ist die einelementige Menge
[mm] $\left\{ \pmat{1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0} \right\} \subset \IR^m$
[/mm]
kompakt, aber
[mm] $f^{-1} \left( \left\{ \pmat{1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0} \right\}\right) [/mm] = [mm] \left\{ \pmat{x_1 \\ x_2 \\ \ldots \\ x_n} \in \IR^n \, : x_1=1\right\}$
[/mm]
sicherlich nicht, denn diese Menge ist nicht beschränkt.
Also, entweder ich habe gerade das totale Blackout ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") , was bei der Hitze ja möglich ist, oder aber die Aufgabe ist in der Forem falsch gestellt/wiedergegeben.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Sa 28.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Stefan
Meine erst Antwort war wohl durch die Hitze verursacht.
Natürlich ist die Behauptung einfach falsch, konstante Fkt sind das Standartgegenbeispiel, wenn man die ausnimmt, nimmt man einfach eine die fast überall konstant ist.
Tut mir leid!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Sa 28.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> Hallo Stefan
> Ich kann keine nicht konstante stet. Fkt. hinschreiben,
> die das tut, was du willst!
Ähh, jetzt versteh ich hier nichts mehr. Stefan sagt: es gibt stetige Funktionen, die nicht konstant sind, aber kompakete Mengen, die unter Urbildnahme keine Kompakta ergeben. Die Behauptung scheint schon sehr falsch zu sein - es gibt sogar beschränkte, stetige Funktionen, für die das flasch ist: das liegt daran, das jedes offene Intervall zu ganz [mm]\IR[/mm] homöomorph ist.
> aber z. Bsp
> [mm]\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2}=1[/mm] , die [mm]x_{i}[/mm] wären beschränkt,
> die Fkt. stetig, m=1
Da ist ja weniger eine Funktion, als vielmehr eine implizite Gleichung für das Urbild einer Funktion - hier sogar eien Untermanngifaltigkeit.
> ich wollte nur fragen und glaub, die Beh. ist
> richtig
Wieso sollte sie? Bilder offener Mengen sind nicht offen, Bilder abgeschlossener nicht abgeschlossen (im Allgemienen jedenfalls).
Vilemher gilt: Bilder kompakter Mengen sind kompakt. Ich vermute fast, das dies gemeint ist - aber dann wäre "nicht konstant" total überflüssig.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 Sa 28.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Gut, dass du meine Dummheit gleich bemerkt hast. Danke. Ich hab meien Artikel geändert, da ich nicht weis, wie man ihn ganz rausnimmt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 So 29.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Oh, da hab ich ja richtig was verpasst, als ich net online war.
Muss mich wirklich entschuldigen ! Mein Gehirn war anscheinend schon durchgebrannt ! Bei der 1. ein x vergessen, bei der 2 ein nicht ! *tztt* Bitte um entschuldigung ! Kommt hoffentlich net mehr vor !
Zur Aufgabe 2: Hab ein Nicht vergessen ! Hatten in der Vorlesung sogar extra gesagt: Beweise, dass es nicht so ist (bzw. Gegenbsp.) Stefan hat natürlich Recht, wohl war es zu dem Zeitpunkt auch schon so heiß.
Ich wollte das irgendwie mit nem indirekten Beweis machen, hab wohl dann aber währendes des Beweisens vergessen,dass es ein indirekter Beweis ist *ich Trottel*
Aber zu der Aufgabe 1.
Hier hab ich 2mal verschrieben, (da kann man mir ja auch net helfen) müßte eigentlich umgestellt
y= [mm] \wurzel{1-x-hx^{2}} [/mm] heißen:
da [mm] f(x,y)=\bruch{1-x-y^{2}}{x^{2}} [/mm] (hab das Qudrat unter der Wurzel vergessen)
Jetzt müßtest du eigentlich die Kreise sehen, oder, die mich da so verwirren!
Nochmals sorry ! Ich versuch das mal aufs Wetter zu schieben, o.k ?*g*
Danke
Faenôl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:28 So 29.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ist jetzt noch ne Frage? Ein Gegenbeispiel ist doch ein Beweis! Und welch Frage gibts noch nach den Höhenlinien?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 So 29.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Ja, die 2 ist jetzt klar, aber die Aufgabe mit den Höhenlinien verwirrt mich immer noch:
Die Höhenlinien werden ja durch die Gleichung
y= [mm] \pm \wurzel{1-x-hx^{2}} [/mm] dargestellt..
Setze ich nun hier h=1,2,3 sowie h=-1,-2,-3 ein, so erhalte ich ein Grafikbild, welches ich nicht so ganz verstehe, was es darstellen soll und welche geometrischen Figuren ich dort identifizieren soll ! (Letzteres ist ja die Aufgabe).
Natürlich sind es irgendwie immer halbkreise (x=0 ist ja nicht definiert), die "steiler" werden und gegenüberliegen. Aber dann kommen noch diese Parabeln dazu (für h<0)
Das wäre meine einzige Frage noch ! Erkennt jemand in dem Höhenbild einen Sinn ? Ich häng das mal an !
Ansonsten habt ihr mir mal wieder diese Woche perfekt geholfen !
Faenôl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 So 29.05.2005 | | Autor: | leduart |
> y= [mm]\pm \wurzel{1-x-hx^{2}}[/mm] dargestellt..
>
> Setze ich nun hier h=1,2,3 sowie h=-1,-2,-3 ein, so erhalte
> ich ein Grafikbild, welches ich nicht so ganz verstehe, was
> es darstellen soll und welche geometrischen Figuren ich
> dort identifizieren soll ! (Letzteres ist ja die Aufgabe).
Um einen Sinn zu sehen, muss man sie gar nicht zeichnen. Ne Parabel hast du übrigens nur für h=0
1. die Wurzelschreibweise ist ungünstig. Parabeln, Kreise und Hyperbeln erkennt man so schlecht.
Also: [mm] 1-x-y^{2}=h*x^{2} [/mm] h=0, du siehst hoffentlich die Parabel. im Folgenden [mm] h\ne [/mm] 0
[mm] h(x^{2}+\bruch{1}{h}*x) +y^{2}=1 [/mm] quadratische Ergänzung:
[mm] h(x+\bruch{1}{2h})^{2} +y^{2}=1+\bruch{1}{4h}
[/mm]
a)h=1 Kreis!
b)h>0 Ellipsen, Achsen kannst du selbst aus h bestimmen
c) h<0 Hyperbeln , je nach Vorzeiche nder rechten Seite nach oben und unten bzw. rechts und links geöffnet.
Rechne meine Umformungen nach, ich garantier für nichts, ausser dass alles sicher Kegelschnitte sind!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:01 Mo 30.05.2005 | | Autor: | fussel1000 |
hallo,
hab mittlerweile auch die Aufgabe gelöst und hab allerdigns nicht dieselbe zeichnung daraus, ich komme auf gar keine kreise, soner nur eine liegen parabel be i h=0 und für h<0 Hyperbeln und für h>0 elipsen, allerdigns mit ner Definitionslücke .
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