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Urnenmodell: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:29 Do 22.05.2014
Autor: Mathics

Aufgabe
In einer Urne befinden sich 45 Kugeln, die von 1 bis 45 durchnummeriert sind. Es werden 5 Kugeln nacheinander und ohne Zurücklegen aus der Urne gezogen.
(a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle gezogenen Zahlen kleiner als 21 sind.

b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im dritten Zug die Zahl ,3’ gezogen wird?

Hallo,

erneut beschäftige ich mich mit Kombinatorik und das sind meine Gedanken/ Probleme :

Es handelt sich hier eindeutig um Ziehen ohne Zurücklegen. Unklar finde ich aber, ob die Reihenfolge berücksichtigt werden muss oder nicht.

a) hier gehe ich mal von aus, dass die Reihenfolge nicht berücksichtigt wird, da e egal welche Zahlen ich in welcher Reihenfolge kriege, Hauptsache unter 21.

p = [mm] \vektor{20 \\ 5} [/mm] / [mm] \vektor{45 \\ 5} [/mm] = 0,0127

Wenn ich die Reihenfolge berücksichtigen würde und rechnen würde 20*19*18*17*16 / (45*44*43*42*41) = 0,0127 kommt dasselbe Ergebnis raus. Ist das beabsichtigt?


b)

Hier hätte ich gesagt:

p = [mm] \vektor{44 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] *  [mm] \vektor{42 \\ 2 } [/mm] / [mm] \vektor{45 \\ 5}= [/mm] 0,666

Ich dachte mir: Abgesehen von der 3 ziehe ich von 44 Kugeln 2 Kugeln, danach die 3 und dann 2 weitere.

Aber das Ergebnis muss 1/45 = 0,0222 lauten.

Auf 0,0222 kommt man auch wenn man rechnet 44*43*1 / 45*44*43

Mir ist vor allem unklar, was ich bei b) falsch mache und wie man auf die alternativen Rechenwege kommt.


LG
Mathics



        
Bezug
Urnenmodell: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:02 Do 22.05.2014
Autor: Sax

Hi,

zu a. :
Von wessen "Absicht" du da sprichst, ist mir unklar. Du zeigst zwei alternative mögliche Rechenwege auf.

zu b. :
Wenn du die Anzahl möglicher Ziehungen mit "3" an dritter Stelle bestimmen willst, musst du folgendermaßen vorgehen :
Zunächst bestimmst du alle Ziehungen, die überhaupt die "3" enthalten, das sind [mm] \vektor{1 \\ 1}*\vektor{44 \\ 4}. [/mm] Da die "3" an einer ganz bestimmten Position (der dritten) stehen soll, ist dieses Produkt durch die Anzahl der Positionen (fünf) zu dividieren. Diesen Zähler durch [mm] \vektor{45 \\ 5} [/mm] geteilt ergibt [mm] \bruch{1}{45}. [/mm]

Die Alternative, die du angibst, erschließt sich, wenn man Zähler und Nenner ausschreibt zu [mm] \bruch{44*43*1*42*41}{45*44*43*42*41} [/mm]

Am einfachsten macht man sich die Situation klar, wenn man die Kugeln durch ein Kartenspiel mit 45 Karten, die von 1 bis 45 durchnummeriert sind, ersetzt denkt.
Wird das Kartenspiel gemischt (und die obersten fünf Karten gezogen oder auch nicht), so ist offensichtlich, dass die dritte Karte mit der Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{45} [/mm] die "3" ist, bzw. dass die "3" die Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{45} [/mm] hat, an dritter Position zu landen.

Gruß Sax.

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Urnenmodell: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:00 Fr 23.05.2014
Autor: Mathics

Hallo,

danke für deine Antwort.

Durch die Erklärung wurde mir so einiges klar!
  

> Am einfachsten macht man sich die Situation klar, wenn man
> die Kugeln durch ein Kartenspiel mit 45 Karten, die von 1
> bis 45 durchnummeriert sind, ersetzt denkt.
>  Wird das Kartenspiel gemischt (und die obersten fünf
> Karten gezogen oder auch nicht), so ist offensichtlich,
> dass die dritte Karte mit der Wahrscheinlichkeit
> [mm]\bruch{1}{45}[/mm] die "3" ist, bzw. dass die "3" die
> Wahrscheinlichkeit [mm]\bruch{1}{45}[/mm] hat, an dritter Position
> zu landen.


Eine Frage habe ich allerdings noch.

Ich habe ja [mm] \vektor{44 \\ 4} [/mm] = 135751  Möglichkeiten 4 Kugel aus 44 zu ziehen. Z.B. 4,5,6,7. Dabei ist 4,5,6,7 dasselbe wie 5,4,6,7 oder 7,6,4,5. Also alle zählen als eine Möglichkeit von 135751.

Eine zweite Möglichkeit der 135751 wäre ja jetzt 6,7,4,9 z.B.

Was bewirke ich zunächst einmal mit der Multiplikation mit [mm] \vektor{1 \\ 1}? [/mm] Meine Anzahl also 135751 wird ja dadurch nicht beeinflusst. Mir ist die Funktion der "geteilt durch 5" noch nicht klar. Könntest du das vielleicht veranschaulichen?


LG
Mathics

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Urnenmodell: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:18 Fr 23.05.2014
Autor: Sax

Hi,

in der Tat gibt es [mm] \vektor{44 \\ 4} [/mm] Möglichkeiten, 5 Zahlen aus der Urne zu ziehen, so dass die "3" unter diesen fünfen ist (nämlich man ziehe die "3" vorweg und danach noch 4 Kugeln aus den verbleibenden 44).
Anschließend kann die "3" noch als erste Zahl oder als zweite Zahl, ... oder als fünfte Zahl dazu gelegt werden. Nur in einem Fünftel aller dieser [mm] \vektor{44 \\ 4} [/mm] Möglichkeiten liegt sie an dritter Position.

Gruß Sax.

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Urnenmodell: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:31 Fr 23.05.2014
Autor: Mathics

Hallo,

d.h. dann folgendes:

[mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] = meine "3"
[mm] \vektor{44 \\ 4} [/mm] = meine restlichen Zahlen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

Und dass die 3 an verschiedenen Stellen stehen kann bewirke ich durch die Multiplikation [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{44 \\ 4} [/mm] oder?


Also bis zur Multiplikation berücksichtige ich die Reihenfolge nicht, aber durch die Multiplikation kann ich die drei beliebig mit den anderen kombinieren und die Reihenfolge gewinnt automatisch an Bedeutung?

LG
Mathics

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Urnenmodell: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:05 Fr 23.05.2014
Autor: rabilein1

Ich würde das alles nicht so kompliziert machen:

Dass eine ganz bestimmte Zahl an einer ganz bestimmten Stelle gezogen wird, ist immer 1:45. Da ist es auch völlig egal, ob du die Kugeln zurück legst oder nicht.

Das war nämlich quasi eine Scherzaufgabe. Da musste man gar nichts rechnen.

Und die Sache mit kleiner als 21:
Eine solche Zahl muss sowohl im ersten, als auch im zweiten, ... als auch im fünften Zug gezogen werden.

Also ist die Wahrschienlichkeit [mm] \bruch{20}{45}*\bruch{19}{44}*\bruch{18}{43}*\bruch{17}{42}*\bruch{16}{41} [/mm]

Im Zähler steht immer, wie viele "richtige" Kugeln es gibt, und im Nenner immer, wie viele Kugeln im Topf sind.  

Das obige bezieht sich auf "ohne zurücklegen"


Bei mit zurücklegen wären das dann [mm] (\bruch{20}{45})^{5}. [/mm] Das Prinzip ist aber das Gleiche









Bezug
                                        
Bezug
Urnenmodell: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:05 Fr 23.05.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo,

>

> d.h. dann folgendes:

>

> [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] = meine "3"
> [mm]\vektor{44 \\ 4}[/mm] = meine restlichen Zahlen ohne
> Berücksichtigung der Reihenfolge.

>

> Und dass die 3 an verschiedenen Stellen stehen kann bewirke
> ich durch die Multiplikation [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] * [mm]\vektor{44 \\ 4}[/mm]
> oder?

>
>

Das ist halt ein wenig unglücklich formuliert, aber ich denke, du meinst das hier schon richtig. Deine obige Rechnung zählt alle möglichen Reihenfolgen, so dass die drei und vier andere Kugeln gezogen werden.

> Also bis zur Multiplikation berücksichtige ich die
> Reihenfolge nicht, aber durch die Multiplikation kann ich
> die drei beliebig mit den anderen kombinieren und die
> Reihenfolge gewinnt automatisch an Bedeutung?

Was meisnt du mit 'die Reihenfolge gewinnt automatisch an Bedeutung'? In deiner obigen Rechnung jedenfalls spielt die Reihenfolge keine Rolle. Dass es 5 mögliche Reihenfolgen gibt, sollte hier klar sein und was noch zu tun bleibt, um dies zu berücksichtigen, wurde alles schon geklärt!

Gruß, Diophant 

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