Urnenmodell mehrmaliges Ziehen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Fr 18.03.2011 | | Autor: | ravernet |
| Aufgabe | Eine Urne enthalt drei rote und eine weiße Kugel. Eine Kugel wird nun zufallig aus der
Urne gezogen, durch eine Kugel der anderen Farbe ersetzt und wieder zuruckgelegt. Dann
wird zufallig eine zweite Kugel aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass die erste Kugel rot war, wenn die zweite gezogene Kugel auch rot ist? |
Hallo,
ich komme leider mit der o.g. Aufgabe nicht klar. Ich würde die Aufgabe so lösen:
Wahrscheinlichkeit im ersten Zug eine rote Kugel zu ziehen: 75% (3/4) ,
Danach W-Keit im zweiten Zug eine rote Kugel zu ziehen, nachdem die erste rot war : 50% ( 2/4)
Kombinierend würde ich sagen: 0.5*0,75 = 0,375 = 37,5% W-Keit dass man zwei rote Kugeln zieht.
Mir wurde für diese Aufgabe 0 Punkte gegeben, da ich die Aufgabe nicht nach der Bayes-Formel gelöst habe.
Mein Ansatz zur Bayes-Formel:
P(A|B) = P(B|A) *P(A) / P(B),
wobei P(A) die W-Keit für Ereignis A ist und P(B) die W-Keit für Ereignis B.
P(A|B) ist demnach W-Keit für Ereignis A unter der Bed. von Ereignis B und
P(B|A) ist W-Keit für Ereignis B unter der Bed. von Ereignis A.
Mir ist klar, dass P(A) = 0,75 und P(B) = 0,75 ( da man ja nicht auf das Ereignis A zugreift?) , P(B|A) ist (hoffentlich) 0.5 ( Ereignis A verändert Ereignis B?) , wäre somit P(A|B) = 0,5 * 0,75 / 0.75 = 0.5 ..... doch das Ergebnis passt irgendwie nicht.... Kann mir jemand sagen wo mein Denkfehler bei der Aufgabe ist ? Ich danke euch !!!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Fr 18.03.2011 | | Autor: | abakus |
> Eine Urne enthalt drei rote und eine weiße Kugel. Eine
> Kugel wird nun zufallig aus der
> Urne gezogen, durch eine Kugel der anderen Farbe ersetzt
> und wieder zuruckgelegt. Dann
> wird zufallig eine zweite Kugel aus der Urne gezogen. Wie
> groß ist die Wahrscheinlichkeit,
> dass die erste Kugel rot war, wenn die zweite gezogene
> Kugel auch rot ist?
> Hallo,
>
> ich komme leider mit der o.g. Aufgabe nicht klar. Ich
> würde die Aufgabe so lösen:
>
> Wahrscheinlichkeit im ersten Zug eine rote Kugel zu ziehen:
> 75% (3/4) ,
>
> Danach W-Keit im zweiten Zug eine rote Kugel zu ziehen,
> nachdem die erste rot war : 50% ( 2/4)
>
> Kombinierend würde ich sagen: 0.5*0,75 = 0,375 = 37,5%
> W-Keit dass man zwei rote Kugeln zieht.
>
> Mir wurde für diese Aufgabe 0 Punkte gegeben, da ich die
> Aufgabe nicht nach der Bayes-Formel gelöst habe.
Nein. Die Null Punkte gab es sicher, weil das Ergebnis falsch war.
>
> Mein Ansatz zur Bayes-Formel:
>
> P(A|B) = P(B|A) *P(A) / P(B),
>
> wobei P(A) die W-Keit für Ereignis A ist und P(B) die
> W-Keit für Ereignis B.
>
> P(A|B) ist demnach W-Keit für Ereignis A unter der Bed.
> von Ereignis B und
> P(B|A) ist W-Keit für Ereignis B unter der Bed. von
> Ereignis A.
>
> Mir ist klar, dass P(A) = 0,75 und P(B) = 0,75 ( da man ja
> nicht auf das Ereignis A zugreift?) , P(B|A) ist
> (hoffentlich) 0.5 ( Ereignis A verändert Ereignis B?) ,
> wäre somit P(A|B) = 0,5 * 0,75 / 0.75 = 0.5 ..... doch das
> Ergebnis passt irgendwie nicht.... Kann mir jemand sagen wo
> mein Denkfehler bei der Aufgabe ist ? Ich danke euch !!!!!
Mach ein Baumdiagramm:
Ausgangsstellung:
RRRW
nach dem ersten Zug:
RRRR (wenn man weiß zog, Wahrsch. 1/4) oder RRWW (wenn man rot zog, Wahrsch. 3/4)
Nun kommt der zweite Zug.
Man zieht sicher rot, wenn RRRR vorliegt (weil man zuerst weiß zog und diese ersetzte). Die Wahrscheinlichkeit dieses Pfades ist (1/4)*1=1/4=2/8.
Falls RRWW vorliegt (weil man rot zog und diese durch weiß ersetzte), zieht man rot mit p=0,5; die Wahrscheinlichkeit dieses Pfades ist (3/4)*0,5=3/8.
Die Gesamtwahrscheinlichkeit, im 2. Zug rot zu ziehen, ist somit 1/4 + 3/8 = 5/8.
Deine gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit ist (3/8)/(5/8)=3/5.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Fr 18.03.2011 | | Autor: | ravernet |
Hey, ich danke für die schnelle Antwort.
jetzt verstehe ich auch was ich falsch gemacht habe.... Am Besten ist also ein Baumdiagramm zu zeichnen und abzuzählen...
Wie stellt man das ganze mit der Bayes-Formel da ? Die muss ich doch benutzen weil es eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist?
Nachtrag: Wenn ich die erste Kugel gezogen habe, muss diese doch Rot sein um die Bedingung zu erfüllen, geht man somit nicht nur die "Pfade" wo zwei Rote Kugeln vorkommen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Fr 18.03.2011 | | Autor: | abakus |
> Hey, ich danke für die schnelle Antwort.
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> jetzt verstehe ich auch was ich falsch gemacht habe.... Am
> Besten ist also ein Baumdiagramm zu zeichnen und
> abzuzählen...
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> Wie stellt man das ganze mit der Bayes-Formel da ? Die muss
> ich doch benutzen weil es eine bedingte Wahrscheinlichkeit
> ist?
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> Nachtrag: Wenn ich die erste Kugel gezogen habe, muss diese
> doch Rot sein um die Bedingung zu erfüllen, geht man somit
> nicht nur die "Pfade" wo zwei Rote Kugeln vorkommen ?
Für das günstige Ereignis ja. Im Rahmen der Gesamtwahrscheinlichkeit 5/8 für das Ziehen einer roten Kugel im ZWEITEN Versuch kommt man zu 40% vom ungünstigen Ergebnis "1. Ziehung weiß" und zu 60% vom günstigen Ergebnis "1. Ziehung rot".
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