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| Aufgabe | Ein Kegel K besitzt den Grundkreisradius r und die Höhe h. Der Kegel wird auf halber Höhe abgeschnitten; es entstehen ein kleiner Kegel und ein Kegelstumpf KS.
[Dateianhang nicht öffentlich]
a) Vergleichen Sie den Ausgangskegel und den Kegelstumpf
bezüglich ihres Volumens
bezüglich ihrer Mantelfläche
Erwartet wird ein relativer Vergleich; die Antwort ist zu begründen.
b) Der Kegelstumpf KS wird durch einen n Stockwerke hohen umbeschriebenen Turm der Höhe [mm] \bruch{h}{2} [/mm] angenähert:
Der Turm besteht aus n gleichdicken Zylinderscheiben
Der Radius der untersten Scheibe stimmt mit dem Grundkreisradius r überein.
Beachten Sie: der Radius der obersten Scheibe ist größer als ½ r
In der Skizze ist der umbeschriebene Turm für n = 4 dargestellt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Es ist vorteilhaft, die Schichten auf den gesamten Kegel zu beziehen, von oben nach unten durchzuzählen und bei den Schichten des Stumpfes mit n+1 zu beginnen, also hier Stufe 5, 6,7,8.
(b1) Wählen Sie nun n = 6, Grundkreisradius r = 8 cm, Kegelhöhe h = 12 cm (und damit Höhe des Kegelstumpfs 6 cm)
zeichnen Sie in dieselbe Figur einen Schnitt durch den Turm, den angenäherten Kegelstumpf KS und den Ausgangskegel K. Die Schnittebene soll eine Symmetrie-Ebene des Kegelstumpfes sein.
berechnen Sie (für dieses Zahlenbeispiel) das Volumen des Turms.
(Hinweis: Betrachten Sie nicht nur den Kegelstumpf, sondern auch den Ausgangskegel!)
Zeigen Sie dazu zunächst:
Für die Grundfläche G6+1 des oben liegenden Zylinders gilt
[mm] G_6+1 [/mm] = [mm] \bruch {7}{12}^{2} \* [/mm] G
(hierbei ist G die Grundfläche des Ausgangs- Kegels K)
Wie groß sind die nächsten Zylinder- Grundflächen G6+2, G6+3,
, G12 ?
Vergleichen Sie das Turmvolumen mit dem exakten Volumen des Kegelstumpfs.
Wie groß ist der relative Fehler?
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Also im Grunde verstehe ich die Aufgabe ohne Probleme und ich habe auch die vorgefertigte Lösung dafür vor mir liegen. Und dazu hab ich dann mal eine Frage:
(a) ist soweit klar: Streckfaktor [mm] k=2^3 [/mm] =8
also ist das Volumen des des Kegelstumpfes 7x so groß wie das Volumen des abgeschnittenen Kegels
(b1)
Also die Grundfläche des unteren Zylinders ist einfach G. Dank des Streckfaktors von [mm] \bruch{i}{n}^2 [/mm] ist dann die Grundfläche des 2 Zylinders von unten [mm] \bruch{11}{12}^2 [/mm] usw.
so, um jetzt das Volumen der einzelnen Zylinder zu bestimmen, muss ich die Grundfläche ja mit der jeweiligen Höhe mulitplizieren.
Und da hab ich jetzt aus der Veranstaltung mitgeschrieben:
[mm] V_{gesamt}= \bruch{h}{12} [/mm] G [mm] ((\bruch{1}{12})^2 [/mm] + [mm] (\bruch{2}{12})^2 [/mm] + ... + [mm] (\bruch{12}{12})^2
[/mm]
woraus sich dann [mm] \bruch{h}{12^3} [/mm] G [mm] ((1)^2 [/mm] + [mm] (2)^2 [/mm] + ... + [mm] (12)^2) [/mm] machen lässt.
Nun endlich die Frage: Wieso ist die Höhe der einzelnen Zylinder unterschiedlich? Müsste nicht die Höher jeder Zylinderscheibe [mm] \bruch{1}{12} [/mm] groß sein? Das will nicht in meinen Kopf. Insbesondere weil ich weiß, dass der Teil der Vorlesung richtig ist! Denn aus der Form lässt sich letztendlich mit [mm] n\to\infty [/mm] wieder die Volumenformel Kegels herstellen.
Ich hoffe mir kann jemand helfen.
Danke im vorraus,
Tobias
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Mo 25.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Ein Kegel K besitzt den Grundkreisradius r und die Höhe h.
> Der Kegel wird auf halber Höhe abgeschnitten; es entstehen
> ein kleiner Kegel und ein Kegelstumpf KS.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> a) Vergleichen Sie den Ausgangskegel und den Kegelstumpf
> • bezüglich ihres Volumens
> • bezüglich ihrer Mantelfläche
> Erwartet wird ein relativer Vergleich; die Antwort ist zu
> begründen.
>
> b) Der Kegelstumpf KS wird durch einen n Stockwerke hohen
> umbeschriebenen Turm der Höhe [mm]\bruch{h}{2}[/mm] angenähert:
>
> • Der Turm besteht aus n gleichdicken Zylinderscheiben
> • Der Radius der untersten Scheibe stimmt mit dem
> Grundkreisradius r überein.
> • Beachten Sie: der Radius der obersten Scheibe ist größer
> als ½ r
>
> In der Skizze ist der umbeschriebene Turm für n = 4
> dargestellt.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Es ist vorteilhaft, die Schichten auf den gesamten Kegel zu
> beziehen, von oben nach unten durchzuzählen und bei den
> Schichten des Stumpfes mit n+1 zu beginnen, also hier Stufe
> 5, 6,7,8.
>
> (b1) Wählen Sie nun n = 6, Grundkreisradius r = 8 cm,
> Kegelhöhe h = 12 cm (und damit Höhe des Kegelstumpfs 6 cm)
>
> • zeichnen Sie in dieselbe Figur einen Schnitt durch den
> Turm, den angenäherten Kegelstumpf KS und den Ausgangskegel
> K. Die Schnittebene soll eine Symmetrie-Ebene des
> Kegelstumpfes sein.
>
> • berechnen Sie (für dieses Zahlenbeispiel) das Volumen des
> Turms.
> (Hinweis: Betrachten Sie nicht nur den Kegelstumpf, sondern
> auch den Ausgangskegel!)
>
> Zeigen Sie dazu zunächst:
> Für die Grundfläche G6+1 des oben liegenden Zylinders gilt
>
>
> [mm]G_6+1[/mm] = [mm]\bruch {7}{12}^{2} \*[/mm] G
>
> (hierbei ist G die Grundfläche des Ausgangs- Kegels K)
>
> Wie groß sind die nächsten Zylinder- Grundflächen G6+2,
> G6+3, …, G12 ?
>
> • Vergleichen Sie das Turmvolumen mit dem exakten Volumen
> des Kegelstumpfs.
> Wie groß ist der relative Fehler?
>
> Also im Grunde verstehe ich die Aufgabe ohne Probleme und
> ich habe auch die vorgefertigte Lösung dafür vor mir
> liegen. Und dazu hab ich dann mal eine Frage:
>
> (a) ist soweit klar: Streckfaktor [mm]k=2^3[/mm] =8
>
> also ist das Volumen des des Kegelstumpfes 7x so groß wie
> das Volumen des abgeschnittenen Kegels
>
> (b1)
>
> Also die Grundfläche des unteren Zylinders ist einfach G.
> Dank des Streckfaktors von [mm]\bruch{i}{n}^2[/mm] ist dann die
> Grundfläche des 2 Zylinders von unten [mm]\bruch{11}{12}^2[/mm] usw.
>
> so, um jetzt das Volumen der einzelnen Zylinder zu
> bestimmen, muss ich die Grundfläche ja mit der jeweiligen
> Höhe mulitplizieren.
>
> Und da hab ich jetzt aus der Veranstaltung mitgeschrieben:
>
> [mm]V_{gesamt}= \bruch{h}{12}[/mm] G [mm]((\bruch{1}{12})^2[/mm] +
> [mm](\bruch{2}{12})^2[/mm] + ... + [mm](\bruch{12}{12})^2[/mm]
>
> woraus sich dann [mm]\bruch{h}{12^3}[/mm] G [mm]((1)^2[/mm] + [mm](2)^2[/mm] + ... +
> [mm](12)^2)[/mm] machen lässt.
>
> Nun endlich die Frage: Wieso ist die Höhe der einzelnen
> Zylinder unterschiedlich?
Hallo,
wieso das denn? Die Höhe jeder Scheibe ist das ausgeklammerte [mm] \bruch{h}{12}. [/mm] Es ändert sich nur von Stufe zu Stufe die Grundfläche (unten G, darüber [mm] $(\bruch{11}{12})^2G$, $(\bruch{10}{12})^2G$, [/mm] $ [mm] (\bruch{9}{12})^2G$ [/mm] usw.
Viele Grüße
Abakus
> Müsste nicht die Höher jeder
> Zylinderscheibe [mm]\bruch{1}{12}[/mm] groß sein? Das will nicht in
> meinen Kopf. Insbesondere weil ich weiß, dass der Teil der
> Vorlesung richtig ist! Denn aus der Form lässt sich
> letztendlich mit [mm]n\to\infty[/mm] wieder die Volumenformel Kegels
> herstellen.
>
> Ich hoffe mir kann jemand helfen.
>
> Danke im vorraus,
>
> Tobias
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grrr, da merkt man das ich langsam durchdrehe vom ganzen gelerne...du hast natürlich recht und die Antwort ist soo einfach. Und dafür tipp ich nu die gesamte Aufgabe ab... ;)
Naja, wie auch immer, ich danke Dir für die schnelle Antwort und freue mich hier niemanden überfordert zu haben ;)
gruß
Tobias
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