V.I mit Binomialkoeffizienten < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 Mi 22.11.2006 | | Autor: | ramok |
| Aufgabe | Bew. mit Vollständiger Induktion:
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k = [mm] \vektor{n + 1 \\ 2} [/mm] , für alle n [mm] \in \IN [/mm] |
Hi,
kann mir jemand weiterhelfen, den V.I mit Binomialkoeffizienten ist für mich noch neuland.
Ich hab folgendes:
I.A: für n=1; 1= [mm] \vektor{1 + 1 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2} [/mm] !?
I.S: [mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k + [mm] \vektor{(n + 1) + 1 \\ 2}
[/mm]
[mm] =\vektor{n + 1 \\ 2} [/mm] + [mm] \vektor{(n + 1) + 1 \\ 2}
[/mm]
[mm] =\vektor{(n + 1) + 1 \\ 2}
[/mm]
[mm] =\vektor{(n + 2) \\ 2}
[/mm]
q.e.d
Stimmt das so?
Liege ich mit der vermutung richtig das ich eine indexverschiebung anwenden muss? Naja ich weis leider nur nicht wie falls ja 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 Mi 22.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bew. mit Vollständiger Induktion:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k = [mm]\vektor{n + 1 \\ 2}[/mm] , für alle n [mm]\in \IN[/mm]
>
> Hi,
>
> kann mir jemand weiterhelfen, den V.I mit
> Binomialkoeffizienten ist für mich noch neuland.
>
> Ich hab folgendes:
>
> I.A: für n=1; 1= [mm]\vektor{1 + 1 \\ 2}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 2}[/mm] !?
Okay, aber dass [mm] \summe_{k=1}^{1}k=1 [/mm] ist und das [mm] \vektor{2\\2} [/mm] auch 1 ist, solltest du schon noch erwähnen.
>
> I.S: [mm]\summe_{k=1}^{n+1}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k + [mm]\vektor{(n + 1) + 1 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{n + 1 \\ 2}[/mm] + [mm]\vektor{(n + 1) + 1 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{(n + 1) + 1 \\ 2}[/mm]
> [mm]=\vektor{(n + 2) \\ 2}[/mm]
>
> q.e.d
>
> Stimmt das so?
>
Ganz so einfach ist es nicht:
es gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{n}k+(n+1)
[/mm]
Nach Induktionsvoraussetzung, die du noch formulieren solltest, gilt:
[mm] =\vektor{n+1\\2}+(n+1)
[/mm]
Nach Def. des Binomialkoeffizienten gilt:
[mm] =\bruch{n!}{(n-2)!*2!}+(n+1)
[/mm]
Bruchrechnung ergibt:
[mm] =\bruch{n!+[(n+1)(n-2)!*2!]}{(n-2)!2!}
[/mm]
[mm] =\bruch{n(n-1)(n-2)!+[(n+1)(n-2)!*2!]}{(n-2)!2!}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n-2)![n(n-1)+(n+1)*2!]}{(n-2)!2!}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n-2)!(n-1)[n²+n+2]}{(n-2)!(n-1)*2!}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n-2)![n³-n-2]}{(n-1)!*2!}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n-2)!(n-1)(n²+n-2)}{(n-1)!*2!}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n-1)!(n+2)(n-1))}{(n-1)!*2!}
[/mm]
=...
Und, da
[mm] \vektor{n+1\\2}=\bruch{(n+1)!}{(n-1)!*2!}=\bruch{n(n-1)}{2}
[/mm]
Sorry, ich habe mich gerade verrannt, ich bekommen die beiden Gleichungen nicht "zusammen".
Ich hoffe, es hilft dir trotzdem, ich lasse die Frage mal auf unbeantwortet.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:42 Do 23.11.2006 | | Autor: | ramok |
Ich verstehe deinen lösungsweg nich ganz,
villeicht würde ich es wenn du oder jemand den I.S zuende auflösen würde.
Ich hätte nicht gedacht das dass so ne arbeit sein kann.
Jedenfalls hast du mir schon weitergeholfen.
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> > Bew. mit Vollständiger Induktion:
> > [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k = [mm]\vektor{n + 1 \\ 2}[/mm] , für alle n [mm]\in \IN[/mm]
Hallo,
> es gilt:
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}k[/mm]
> [mm]=\summe_{k=1}^{n}k+(n+1)[/mm]
> Nach Induktionsvoraussetzung, die du noch formulieren
> solltest, gilt:
> [mm]=\vektor{n+1\\2}+(n+1)[/mm]
> Nach Def. des Binomialkoeffizienten gilt:
[mm]=\bruch{(n+1)!}{(n-1)!*2!}+(n+1)[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)!}{(n-1)!*2!}+\bruch{(n+1)(n-1)!*2!}{(n-1)!*2!}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)!n}{(n-1)!n*2!}+\bruch{n(n+1)(n-1)!*2!}{n(n-1)!*2!}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)!n}{n!*2!}+\bruch{(n+1)!*2}{n!*2!}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)!}{n!*2!}(n+2)=...???
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:22 Do 23.11.2006 | | Autor: | Brinki |
Vielleicht ist es ganz sinnvoll, wenn du dir zuvor eine Vorstellung von der Problemstellung verschaffst.
Die Aussage ist, dass im Pascalschen Dreieck das zweite Element der n+1 Reihe gleich der Summe der darüber liegenden Elemente der ersten Diagonalen ist. ->Aufzeichnen.
Beim Induktionsbeweis hilft das allerdings wenig.
Jedoch hilft es, zu wissen, dass
$ [mm] =\vektor{n + 1 \\ 2} =\bruch{(n+1)*n}{1*2}$ [/mm] ist.
Dann folgt beim Induktionsschluss
$ [mm] =\vektor{n + 1 \\ 2} [/mm] + (n+1) $
$ [mm] =\bruch{(n+1)*n}{1*2}+\bruch{2*(n+1)}{2} [/mm] $
Wir sind fertig, wenn hier [mm] $\bruch{(n+2)*(n+1)}{1*2}$ [/mm] heraus kommt.
Du kannst vorwärts oder rückwärts rechnen.
Hinweis:
Die Regel für die obige, vereinfachte Darstellung ist leicht zu nachzuweisen:
In unserem Fall gilt nach Definition: $ [mm] =\vektor{n + 1 \\ 2}=\bruch{(n+1)!}{(n+1-2)!*2!}$
[/mm]
Schreibt man die Fakultäten aus folgt durch Kürzen: [mm] $\bruch{(n+1)!}{(n+1-2)!}=\bruch{(n+1)!}{(n-1)!}=(n+1)*n$
[/mm]
Grüße
Brinki
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