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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Mi 15.10.2008 | | Autor: | ronja33 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für eine reelwertige quadratintegrierbare Zufallsvariable X gilt:
Var(X) = [mm] E(X^{2}) [/mm] - [mm] E(X)^{2} [/mm] mit E(X) = Erwartungswert
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Var(X) wurde bei uns definiert als [mm] E((X-E(X))^{2}) [/mm] und E(X):= [mm] \integral_{\Omega}{X dP}
[/mm]
Dann bekommt man ja:
[mm] E((X-E(X))^{2}) [/mm] = [mm] \integral_{\Omega}{(X - E(X))^{2} dP} [/mm] = [mm] \integral_{\Omega}{(X - (\integral_{\Omega}{X dP})^{2} dP)} [/mm] = [mm] \integral_{\Omega}({X^{2} - 2X (\integral_{\Omega}{X dP}) + (\integral_{\Omega}{(X dP)^{2}})) dP}
[/mm]
Was genau mach ich jetzt, wenn hier ein Doppelintegral auftaucht ?
also: [mm] \integral_{\Omega}{(\integral_{\Omega}{...})}
[/mm]
Danke im Voraus für die Hilfe
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Doppelintegral ist kein Problem, denn das innere Integral hat ja eine bekannte Lösung, nämlich [mm]E(X)[/mm]. Das ist aber keine Zufallsvariable und kann vor das (äußere) Integral gezogen werden, dass dann wieder den Wert [mm]E(X)[/mm] annimmt. Zusammen also [mm]-2(E(X))^2[/mm]. Und dann hat man auch schon das gesuchte Ergebnis.
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