Variation der Konstanten < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | a) y'+ytan(x)=cos(x)
b) xy'+y=xsin(x) |
Hallo
zu a)
für meine homogene Lösung habe ich folgende Gleichung verwendet:
y'+ytan(x)=0
Nach Variablentrennung erhalte ich:
[mm] \integral_{}^{}{-\bruch{1}{y}dy}=\integral_{}^{}{tan(x)dx}
[/mm]
-ln(y)=-ln(cos(x))+C
y=cos(x)*C
Für meine inhomogene Lösung habe ich C von x abhängig gemacht:
y=cos(x)*C(x)
Und dann abgeleitet. Wieso genau funktionert es an dieser Stelle abzuleiten??
y'=-sin(x)*C(x)+cos(x)*C'(x)
Y' und y eingesetz eingesetzt:
cos(x)-cos(x)*C(x)*tan(x)=-sin(x)*C(x)+cos(x)*C'(x)
Nach umformen und Kürzen von -cos(x)*C(x)*tan(x):
Erhalte ich_
cos(x)=cos(x)*C'(x)
C'(x)=1
C(x)=x
Nun bin ich mir nicht sicher ob alles soweit stimmt:
Hab halt dann als inhomogene Lösung y=cos(x)*x raus und somit als gesamtlösung:
y=cos(x)*C+cos(x)*x
Passt das alles so??
zu b)
Für meine homogene Lösung habe ich xy'+y=0 verwendet:
Nach TdV erhalte ich:
[mm] \integral_{}^{}{-\bruch{1}{y}dy}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x}dx}
[/mm]
-ln(y)=ln(x)+C
[mm] y=-e^x*C
[/mm]
Für die inhomogene wieder C von x abhängig gemacht:
[mm] y=-e^x*C(x)
[/mm]
[mm] y'=-e^x*C'(x)-e^x*C(x)
[/mm]
y' eingesetzt:
[mm] \bruch{x*sin(x)-y}{x}=-e^x*C'(x)-e^x*C(x)
[/mm]
und y eingesetzt:
[mm] \bruch{x*sin(x)-[-e^x+C(x)]}{x}=-e^x*C'(x)-e^x*C(x)
[/mm]
Und an dieser Stelle weiß ich dann nicht weiter wie ich nach C'(x) umsetellen udn intergrieren kann. In den anderen Aufgaben hat sich das lästige C(x) ja immer weggekürzt^^
Gruß
mathefreak
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Do 30.06.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> a) y'+ytan(x)=cos(x)
>
> b) xy'+y=xsin(x)
> Hallo
>
> zu a)
>
> für meine homogene Lösung habe ich folgende Gleichung
> verwendet:
>
> y'+ytan(x)=0
>
> Nach Variablentrennung erhalte ich:
>
> [mm]\integral_{}^{}{-\bruch{1}{y}dy}=\integral_{}^{}{tan(x)dx}[/mm]
>
> -ln(y)=-ln(cos(x))+C
>
> y=cos(x)*C
richtig.
>
> Für meine inhomogene Lösung habe ich C von x abhängig
> gemacht:
>
> y=cos(x)*C(x)
>
> Und dann abgeleitet. Wieso genau funktionert es an dieser
> Stelle abzuleiten??
Das verstehe ich nicht. Wieso sollte es nicht funktionieren?
>
> y'=-sin(x)*C(x)+cos(x)*C'(x)
>
> Y' und y eingesetz eingesetzt:
>
> cos(x)-cos(x)*C(x)*tan(x)=-sin(x)*C(x)+cos(x)*C'(x)
>
> Nach umformen und Kürzen von -cos(x)*C(x)*tan(x):
>
> Erhalte ich_
>
> cos(x)=cos(x)*C'(x)
>
> C'(x)=1
>
> C(x)=x
>
> Nun bin ich mir nicht sicher ob alles soweit stimmt:
>
> Hab halt dann als inhomogene Lösung y=cos(x)*x raus und
> somit als gesamtlösung:
>
> y=cos(x)*C+cos(x)*x
>
> Passt das alles so??
Ja, das passt alles 
>
> zu b)
>
> Für meine homogene Lösung habe ich xy'+y=0 verwendet:
>
> Nach TdV erhalte ich:
>
> [mm]\integral_{}^{}{-\bruch{1}{y}dy}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x}dx}[/mm]
>
> -ln(y)=ln(x)+C
>
> [mm]y=-e^x*C[/mm]
Das stimmt nicht, rechne nochmal nach. Die Integration ist richtig, aber beim Auflösen nach y sind Dir Fehler unterlaufen.
>
> Für die inhomogene wieder C von x abhängig gemacht:
>
> [mm]y=-e^x*C(x)[/mm]
>
> [mm]y'=-e^x*C'(x)-e^x*C(x)[/mm]
>
> y' eingesetzt:
>
> [mm]\bruch{x*sin(x)-y}{x}=-e^x*C'(x)-e^x*C(x)[/mm]
>
> und y eingesetzt:
>
> [mm]\bruch{x*sin(x)-[-e^x+C(x)]}{x}=-e^x*C'(x)-e^x*C(x)[/mm]
>
> Und an dieser Stelle weiß ich dann nicht weiter wie ich
> nach C'(x) umsetellen udn intergrieren kann. In den anderen
> Aufgaben hat sich das lästige C(x) ja immer weggekürzt^^
Mit der richtigen homogenen Lösung sollte das auch hier so sein.
>
> Gruß
> mathefreak
>
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
> Und dann abgeleitet. Wieso genau funktionert es an dieser
> Stelle abzuleiten??
Das verstehe ich nicht. Wieso sollte es nicht funktionieren?
Dachte dabei an den mathematischen background.
Was genau ist in dem Zusammenhang nochmal eine Linearkombination?
Werdeen die Lösungen nicht einfach addiert?^^
Fehler schon gefunden und rechne gleich mal nach^^
gruß und dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Do 30.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum klappt der ansatz mit C(x)?
a)C*f(x) löst die homogene dgl d.h. wenn man cf und (Cf)' einsetz ergibt sich 0 ich suche eine spezielle Lösung der inhomogenen Dgl . wenn ich statt y=C*f(x) y=C(x)*f y'=C'(x)*f+C(x)*f' einsetze , fällt der Teil mit C weg und ich hab einen ausdruck für C'(x)=inhomogener Teil/f(x) den ich nur integrieren muss.
dann eribt sich [mm] C(x)=g(x)+C_1
[/mm]
und du hast eine Lösung der inh. Gl.
Sehr oft kann man allerdings eine lösung der inh. raten und durch einsetzen bestätigen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 20:39 Do 30.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Satz
Die allgemeine Lösung der DGL ist eine Linearkombination aus homogener und inhomogener Lösung, also:
$ [mm] y(x)=c_1\cdot\cos x+c_2\cdot x\cdot\cos x=\cos x\cdot(c_1+c_2x) [/mm] $
ist falsch.
Die allg. Lösung ist die allg. Lösung der homogenen und EINE spezielle der inh. wenn xcosx eine lösg der inh. ist, ist das c*xcosx nicht wenn c˜ne1
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 20:45 Do 30.06.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo leduart,
> Hallo
> der Satz
> Die allgemeine Lösung der DGL ist eine Linearkombination
> aus homogener und inhomogener Lösung, also:
> [mm]y(x)=c_1\cdot\cos x+c_2\cdot x\cdot\cos x=\cos x\cdot(c_1+c_2x)[/mm]
>
> ist falsch.
> Die allg. Lösung ist die allg. Lösung der homogenen und
> EINE spezielle der inh. wenn xcosx eine lösg der inh. ist,
> ist das c*xcosx nicht wenn c˜ne1
> Gruss leduart
ja, Du hast Recht. [mm] $c_2$ [/mm] muss $=1$ sein.
Danke für den Hinweis.
Gruß,
notinX
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
VdK