Variation einer Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebes Team,
ich habe ein Verständnisproblem bei folgenden Beweis.
Der Satz lautet: Es ist f von beschränkter Variation auf [a,b] genau dann, wenn f als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen geschrieben werden kann.
Beiweis.
[mm] "\Rightarrow"
[/mm]
Da f von beschränkter Variation auf [a,b] ist, dann ist f auch von beschränkter Variation auf [a,x] mit [mm] x\in [/mm] [a,b]. Man setzt
g(x)= [mm] V_{a}^{x}(f)
[/mm]
[mm] h(x)=V_{a}^{x}(f)-f(x).
[/mm]
Im Skript steht, das es offentsichtlich ist, dass g mononton wachsend ist. Woran sehe ich das, oder besser, welches Argument gilt hier?
Meine Ausführung:
g(x)= [mm] V_{a}^{x}(f)\ge sup\{\sum_{k=1}^{i}|f(x_{k})-f(x_{k-1})|:a=x_1<...
Das ist leider nicht kluges, weil es einfach die Definition der Variation ist.....:-(
Ich bin für Tipps sehr dankbar.
Liebe Grüße
Junge
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 So 24.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Nimm x,y [mm] \in [/mm] [a,b] mit y<x und zeige: $ [mm] V_{a}^{y}(f) \le V_{a}^{x}(f) [/mm] $
Wenn Z eine Zerlegung von [a,y] ist, so ist [mm] Z_0:=Z \cup [/mm] { x } eine Zerlegung von [a,x]
FRED
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Hallo Fred,
es gelten deine Bedingungen.
Es sei i<j.
[mm] V_{a}^{y}= sup\{\sum_{k=1}^{i}|f(x_{k})-f(x_{k-1})|:a=x_1<...
Ich glaube, ich habe es Verstanden. Durch den Betrag der Differenz der Funktionswerte, wird meine Funktion g immer größer, wenn ich das Intervall der Variation vergrößer.
LG
Junge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 26.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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