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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Fr 10.10.2014 | | Autor: | m0ppel |
| Aufgabe | Sei [mm]\Omega \in \R^n[/mm] mit glatten Rand ("smoothly bounded domain") und [mm]v \in C(\Omega)[/mm] mit
[mm]0.
Betrachte den Operator [mm]\mathcal{V}:L^2(\Omega)\to L^2(\Omega)[/mm] gegeben durch:
[mm](\mathcal{V}u)(x)=v(x)u(x) \forall u \in L^2(\Omega)[/mm].
Nun betrachte für ein [mm]f \in C(\Omega)[/mm] die PDE:
[mm]-\Delta u + \mathcal{V}u = f \mbox{ in } \Omega[/mm]
[mm]u = 0 \mbox{ auf } \partial\Omega [/mm]
a) Zeige das die Lösung [mm]u[/mm] der PDE das Variationsproblem:
[mm]u \in H^1_0(\Omega): \alpha(u,w)=(f,w)_0 \forall w \in H_0^1(\omega)[/mm]
mit der bilinear Form
[mm]\alpha(u,w)=a(u,w)+(\mathcal{V}u,w)_0[/mm]
und
[mm]a(u,w)=\integral_{\Omega}{\nabla u \nabla w dx}[/mm]
Hinweis: Man braucht nur zu zeigen, dass die Gleichung für alle [mm]w \in C^{\infty}_0[/mm] und [mm]u \in C^2(\Omega)[/mm] gilt und man kann ohne Beweis annehmen, dass die Gleichung auf Funktionen in [mm]H_0^1(\Omega)[/mm] erweitert wird. |
Hallo liebe Matheraumler,
ich sitze gerade über meinen Vorbereitungen zur Numerik Klausur und komme bei dem obigen Problem nicht weiter. Naja besser gesagt, ich finde noch nicht mal den Anfang. :(
Mal ganz langsam:
Ich weiß, dass ich durch multiplizieren der PDE Gleichung mit einer Funktion [mm]w \in H_0^1(\omega)[/mm], integrieren und dann partiell integriere auf das VP: [mm]u \in H^1_0(\Omega): \alpha(u,w)=(f,w)_0 \forall w \in H_0^1(\omega)[/mm] komme.
Nun muss ich ja zeigen (wenn ich das richtig versteh), dass die Integrale überhaupt definiert sind.
Das heißt, ich muss zeigen, dass die Produkte der Funktionen beschränkt und stetig sind (?). Anders gesagt, es ist zu zeigen:
[mm]\nabla u(x)*\nabla w(x)[/mm], [mm]\mathcal{V}u(x)*w(x)[/mm] sowie [mm]f(x)*w(x)[/mm] sind stetig und beschränkt.
Habe ich das soweit erstmal richtig verstanden? Oder muss ich ganz anders an die Aufgabe rangehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Fr 10.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
wozu willst du das zeigen? Dass die Integrale existieren sollte doch einigermaßen klar sein, oder nicht?
Sei $ u [mm] \in C^2(\Omega)\cap C(\bar\Omega)$ [/mm] (klassische) Lösung des beschriebenen Dirichlet-Problems. Zeige nun, dass $ [mm] \alpha(u,w)=(f,w)_0 [/mm] \ [mm] \forall [/mm] w [mm] \in C_0^{\infty}(\Omega) [/mm] $ gilt. Dazu verwende die Greenschen Formeln.
Nach Aufgabenstellung gilt dann $ [mm] \alpha(u,w)=(f,w)_0 [/mm] \ [mm] \forall [/mm] w [mm] \in H_0^{1}(\Omega) [/mm] $. (Wieso?)
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Sa 11.10.2014 | | Autor: | m0ppel |
Hier nun meine Lösung:
Annahme [mm]u \in C^2(\Omega)[/mm] ist eine Lösung des Dirichlet-Problems.
Dann gilt für alle [mm]w\in C_0^{\infty}(\Omega)[/mm]
[mm]-\Delta u(x)*w(x) + \mathcal{V}u(x)*w(x) = f(x)*w(x)
\gdw\integral_{\Omega}{-\Delta u(x)*w(x) + \mathcal{V}u(x)*w(x)dx} = \integral_{\Omega}{f(x)*w(x)dx}
\gdw\integral_{\Omega}{-\Delta u(x)*w(x)dx} + \underbrace{\integral_{\Omega}{\mathcal{V}u(x)*w(x)dx}}_{(\mathcal{V}u,w)_0} = \underbrace{\integral_{\Omega}{f(x)*w(x)dx}}_{(f,w)_0}[/mm]
Nun wird das erste Integral betrachten und da [mm]w \in C_0^{\infty}(\Omega)[/mm] kann darauf die Green'sche Formel angewendet werden:
[mm]\integral_{\Omega}{-\Delta u(x)*w(x)dx}=\integral_{\Omega}{\nabla u(x)*\nabla w(x)dx}-\underbrace{\integral_{\partial\Omega}{w(x)*\bruch{\partial u}{\partial n}(x)d\sigma}}_{=0 \mbox{ da }w\in C_0^{\infty}(\Omega)}[/mm]
Dies kann nun in die obige Gleichung eingesetzt werden:
[mm]\underbrace{\underbrace{\integral_{\Omega}{\nabla u(x)*\nabla w(x)dx}}_{=a(u,w)} + \underbrace{\integral_{\Omega}{\mathcal{V}u(x)*w(x)dx}}_{=(\mathcal{V}u,w)_0}}_{\alpha(u,w)} = \underbrace{\integral_{\Omega}{f(x)*w(x)dx}}_{=(f,w)_0}[/mm]
Da ohne weiteren Beweis angenommen werden kann, dass dies auch für [mm]w \in H_0^1[/mm] gilt, wurde gezeigt, dass die Lösung [mm]u[/mm] des Dirichlet-Problems auch das Variationsproblem löst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Sa 11.10.2014 | | Autor: | m0ppel |
| Aufgabe | | Zeigen Sie weiter, dass die Lösung des Variationsproblems eindeutig ist. |
Ich habe hier zwei Ansätze, mit denen ich nicht richtig weiter komme:
1)Ich habe die Gleichung: [mm]\alpha(u,w)=a(u,w)+(\mathcal{V}u,w)_0=(f,w)_0[/mm]
Wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist aus der Vorlesung bekannt, dass [mm]a(u,w)[/mm] auf [mm]H_0^1[/mm] ein wohldefiniertes Skalarprodukt ist. Dementsprechend ist [mm]a(u,w)[/mm] symmetrisch und positiv definit. Wenn ich nun noch zeigen kann, dass [mm](\mathcal{V}u,w)_0[/mm] symmetrisch und positiv definit ist auf einem (bzgl. der Energienorm!) abgeschlossenen Lösungsraum [mm]H \subset H^1(\Omega)[/mm], so existiert eine eindeutig bestimmte schwache Lösung (Rieszscher Darstellungssatz).
Da [mm](*,*)_0[/mm] ein Skalarprodukt auf [mm]H_0^1(\Omega)[/mm] definiert, ist auch der zweite Ausdruck positiv definit und symmetrisch. Damit ist [mm]\alpha(u,w)[/mm] positiv definit und symmetrisch auf [mm]H_0^1(\Omega)[/mm] und damit existiert für alle [mm](f,w)_0=l(w)[/mm] eine eindeutige Lösung.
Kann ich so erstmal argumentieren?
2) Mein zweiter Ansatz wäre:
Ich nehme an, dass zwei Lösungen existieren:
Seien also [mm]u_1,u_2[/mm] Lösungen des Problems:
[mm] u \in H^1_0(\Omega): \alpha(u,w)=(f,w)_0 \forall w \in H_0^1(\omega) [/mm]
Dann gilt:
[mm]\alpha(u_1,w)=(f,w)_0=\alpha(u_2,w)
\alpha(u_1,w)-\alpha(u_2,w)=0
a(u_1,w)+(\mathcal{V}u_1,w)_0 -a(u_2,w)+(\mathcal{V}u_2,w)_0=0
a(u_1-u_2,w) +\integral_{\Omega}{\mathcal{V}u_1(x)*w(x)-\mathcal{V}u_2(x)*w(x) dx}=0
a(u_1-u_2,w) +\integral_{\Omega}{(\mathcal{V}u_1(x)-\mathcal{V}u_2(x))*w(x) dx}=0
[/mm]
Aber hier weiß ich nicht weiter...
Vielen Lieben Dank schon mal für Hilfen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Sa 11.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
1) Dazu müsstest du $l [mm] \in (H_0^1(\Omega))'$ [/mm] zeigen, wobei [mm] $H_0^1(\Omega)$ [/mm] mit der Norm $u [mm] \mapsto \alpha(u,u)$ [/mm] versehen wird.
Für $f [mm] \in L^2(\Omega)$ [/mm] ist das zwar möglich, aber nicht trivial.
2) Die Gleichung gilt für alle $w [mm] \in H_0^1(\Omega)$, [/mm] insbesondere auch für [mm] $w:=u_1-u_2$. [/mm] Nun kannst du die positive Definitheit von [mm] $\alpha$ [/mm] ausnutzen.
Liebe Grüße
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