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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:55 Fr 05.06.2009 | | Autor: | clwoe |
| Aufgabe | Man betrachte die Funktionale [mm] E(u):=\integral_{U}^{}{(\bruch{1}{2}|Du|^{2}+\bruch{1}{2}\mu u^{2}-uf) dx} [/mm] für [mm] u\in W^{1,2}(U) [/mm] für eine fixierte Funktion [mm] f\in L^{2}(U) [/mm] mit [mm] \mu [/mm] > 0. Es sei [mm] g\in W^{1,2}(U) [/mm] fest und es gilt u-g [mm] \in W^{1,2}_{0}(U). [/mm] (Heißt nur das u-g auf dem Rand von U gleich 0 ist.
Zeigen sie mit dem Auswahlsatz auf dem Hilbert Raum [mm] W^{1,2}_{0}(U) [/mm] das es eine Minimalfolge [mm] u_{k} \in [/mm] g+ [mm] W^{1,2}_{0}(U) [/mm] gibt, die schwach gegen ein [mm] u_{\*} [/mm] in [mm] W^{1,2}(U) [/mm] konvergiert für [mm] u_{\*} \in [/mm] g+ [mm] W^{1,2}_{0}(U). [/mm] |
Hallo,
mein Problem ist hier nicht, das ich nicht weiß was der Auswahlsatz sagt oder was schwache Konvergenz im Sobolev-Raum heißt, das habe ich alles schon öfter gemacht. Mein Problem ist, das ich nicht weiß, wie ich die Information über die verschiedenen Räume, die oben enthalten sind, mathematisch korrekt in meiner Rechnung beachten soll.
Der Auswahlsatz sagt, das in einem reflexiven Banachraum jede beschränkte Folge eine schwach konvergente Teilfolge hat. Der [mm] W^{1,2}_{0}(U) [/mm] und somit auch der g+ [mm] W^{1,2}(U) [/mm] sind reflexiv, das haben wir in der Vorlesung schon alles gemacht. Die Minimalfolge [mm] u_{k} \in [/mm] g+ [mm] W^{1,2}_{0}(U) [/mm] ist beschränkt, in dem Sinne, das das sup [mm] \parallel u_{k}\parallel_{W^{1,2}(U)} [/mm] beschränkt ist.
Das mussten wir vorher schon in Aufgabe a) zeigen.
Also ist der Auswahlsatz erfüllt und es gibt eine schwach konvergente Teilfolge. Nur was und vorallem wie soll ich das jetzt zeigen. Der Satz sagt mir doch das es sie gibt unter den Voraussetzungen, die ich hingeschrieben habe. Ich weiß auch das ich mehr zeigen muss aber ich habe keine Ahnung was genau ich zeigen soll und wie ich anfange.
Lg,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:43 Mo 08.06.2009 | | Autor: | clwoe |
Ich sehe schon, hier erhalte ich keine Hilfe.
Hier werden immer nur leichte Fragen beantwortet, wenn es mal etwas schwieriger wird, dann hat man Pech gehabt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Mo 08.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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