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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Mi 11.04.2012 | | Autor: | fernweh |
| Aufgabe | Sei $ [mm] \lambda: [/mm] [a, b] [mm] \rightarrow \IR \times \IR_+ [/mm] $ gegeben durch $ [mm] \lambda(t) [/mm] = (x, y(x)) $ eine Kurve in der oberen Halbebene $ [mm] \IR \times \IR_+$. [/mm] Sei
[mm] $L(\lambda) [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{\sqrt{1+{\dot y}^2(x)}}{y(x)} dx$
Sei $\lambda$ eine Lösung der Euler-Gleichungen. Zeigen Sie, dass es reelle Zahlen $c, r \in \IR$ gibt, so dass
$(x-c)^2+y^2(x) = r^2$
Hallo zusammen
Irgendwie verwirrt mich die Variationsrechnung mit den Ableitungen nach verschiedenen Variablen.
Ich habe die Eulergleichungen berechnet:
$ \frac{d}{dt}(\frac{\dot y}{y\sqrt{1+{\dot y}^2}}) + \frac{\sqrt{1+{\dot y}^2}}{y^2}} [/mm] = 0$
Sowie mit dem Energiesatz ist
$ [mm] \frac{1}{y\sqrt{1+{\dot y}^2}} \equiv [/mm] const.$
Soweit so gut. Aber wie komme ich nun aus diesen zwei Bedingungen zur Formel in der Aufgabe? Bzw. wie bekomme ich da nun ein x rein, das ja Variable von y ist.
Und [mm] $\dot [/mm] y$ ist ja dann hier die Ableitung nach der Zeit von y?
Ich habe mir dann überlegt, dass ich [mm] $c:=\frac{1}{y\sqrt{1+{\dot y}^2}}$ [/mm] setze, dann lässt sich die Eulergleichung vereinfachen zu
[mm] $c*\frac{d}{dt} \dot [/mm] y + [mm] \frac{1}{c*y^3} [/mm] = 0$
Nur hilft mir das irgendwie auch nicht weiter...
Viele Grüsse
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Hallo,
> Sei [mm]\lambda: [a, b] \rightarrow \IR \times \IR_+[/mm] gegeben
> durch [mm]\lambda(t) = (x, y(x))[/mm] eine Kurve in der oberen
> Halbebene [mm]\IR \times \IR_+[/mm]. Sei
> [mm]L(\lambda) = \integral_{a}^{b}{\bruch{\sqrt{1+{\dot y}^2(x)}}{y(x)} dx[/mm]
>
> Sei [mm]\lambda[/mm] eine Lösung der Euler-Gleichungen. Zeigen Sie,
> dass es reelle Zahlen [mm]c, r \in \IR[/mm] gibt, so dass
> [mm](x-c)^2+y^2(x) = r^2[/mm]
> Hallo zusammen
>
> Irgendwie verwirrt mich die Variationsrechnung mit den
> Ableitungen nach verschiedenen Variablen.
>
> Ich habe die Eulergleichungen berechnet:
> [mm]\frac{d}{dt}(\frac{\dot y}{y\sqrt{1+{\dot y}^2}}) + \frac{\sqrt{1+{\dot y}^2}}{y^2}} = 0[/mm]
>
> Sowie mit dem Energiesatz ist
> [mm]\frac{1}{y\sqrt{1+{\dot y}^2}} \equiv const.[/mm]
>
Ich habe leider nicht so viel Ahnung von der Theorie (kann dir daher auch nicht bestätigen ob die Gleichungen stimmen), aber ausgehend von den Gleichungen kannst du folgendes machen:
Wenn wir die Eulergleichungen ausrechnen mit Produktregel für Ableitungen (unter Nutzung von Energiesatz):
[mm] $\frac{\ddot y}{y \sqrt{1+\dot y^2}} [/mm] + [mm] \frac{\sqrt{1+\dot y^2}}{y^2} [/mm] = 0.$
Nun alles hochmultiplizieren:
[mm] $\ddot [/mm] y * y + 1+ [mm] \dot y^2 [/mm] = 0$
Ein kleiner Trick: [mm] $(y*\dot [/mm] y)' = [mm] \dot y^2 [/mm] + y* [mm] \ddot [/mm] y$ liefert:
[mm] $(y*\dot [/mm] y)' + 1 = 0$.
Bringt dich das weiter?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Fr 13.04.2012 | | Autor: | fernweh |
Hallo zusammen
Nachdem ich heute recht lange vor der Aufgabe gesessen bin und nicht schlauer wurde, frage ich trotzdem nochmals nach.
Deine Ausführungen sind sicher richtigung scheinen auch zielführend zu sein.
Nun habe ich
$ y * [mm] \dot [/mm] y = -1 $
Wie bringe ich nun aber x ins Spiel?
Kann ich nun das, was ich zu zeigen habe, umformen, also
$ [mm] y(x)=\wurzel{r^2-(x-c)^2} [/mm] $
Und dieser Ausdruck sollte dann obige Bedingung erfüllen?
Aber wie leite ich nun y(x) ab? Weil $ [mm] \dot [/mm] y $ ist ja die Ableitung nach der Zeit, nicht nach x?
Weiter als das schaff ich das nicht, irgendwie wurde Variationsrechnung nicht eingehend besprochen, aber diese Aufgabe lösen möchte ich trotzdem:)
Viele Grüsse
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Hallo fernweh,
> Hallo zusammen
>
> Nachdem ich heute recht lange vor der Aufgabe gesessen bin
> und nicht schlauer wurde, frage ich trotzdem nochmals
> nach.
>
> Deine Ausführungen sind sicher richtigung scheinen auch
> zielführend zu sein.
>
> Nun habe ich
> [mm]y * \dot y = -1[/mm]
Nein, Du hast doch:
[mm]\bruch{d}{dt}\left(y*\dot{y}\right)=-1[/mm]
> Wie bringe ich nun aber x ins Spiel?
>
> Kann ich nun das, was ich zu zeigen habe, umformen, also
> [mm]y(x)=\wurzel{r^2-(x-c)^2}[/mm]
>
> Und dieser Ausdruck sollte dann obige Bedingung erfüllen?
>
Ja.
> Aber wie leite ich nun y(x) ab? Weil [mm]\dot y[/mm] ist ja die
> Ableitung nach der Zeit, nicht nach x?
>
Besser ist die Gleichung
[mm]\left( \ x\left(t\right)-c \ \right)^{2}+\left( \ y\left(x\left(t\right) \right) \ \right)^{2}=r^{2}[/mm]
zweimal nach t zu differenzieren.
> Weiter als das schaff ich das nicht, irgendwie wurde
> Variationsrechnung nicht eingehend besprochen, aber diese
> Aufgabe lösen möchte ich trotzdem:)
>
Es gilt:
[mm]y\left(t\right)=y\left( \ x\left(t\right) \ \right)[/mm]
Das ist dann auf der rechten Seite mit der Kettenregel zu differenzieren.
> Viele Grüsse
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Sa 14.04.2012 | | Autor: | fernweh |
Hallo
> >
> > Nun habe ich
> > [mm]y * \dot y = -1[/mm]
>
>
> Nein, Du hast doch:
>
> [mm]\bruch{d}{dt}\left(y*\dot{y}\right)=-1[/mm]
Stimmt, das war ein Tippfehler, tut mir leid :)
> [mm]\left( \ x\left(t\right)-c \ \right)^{2}+\left( \ y\left(x\left(t\right) \right) \ \right)^{2}=r^{2}[/mm]
>
> zweimal nach t zu differenzieren.
>
Da drauf hätte ich wohl auch selber kommen müssen... Aber warum zweimal nach t differentieren?
Es gilt ja nun $ [mm] \bruch{d}{dt}y(x(t)) [/mm] = x'(t)*y'(x(t)) $.
Also ist
[mm] $\bruch{d}{dt}(x(t)-c)^2+(y(x(t))^2 [/mm] = 2x'(t)(x(t)-c)+2x'(t)y'(x(t))y(x(t)) = [mm] \bruch{d}{dt}r^2=0$
[/mm]
Somit ist
[mm] $y*\dot [/mm] y = -(x-c) $
und somit
[mm] $(y*\dot [/mm] y)' = -1$
Womit dann bewiesen wäre, dass die Bedingung erfüllt ist...
Noch eine Verständnisfrage. Wenn ich schreibe $ [mm] \dot [/mm] y $, ist das dann $ y'(x(t)) $ oder $(y(x(t)))'$, ich denke das Erste? Das würde obige Schreibweise etwas vereinfachen 
Viele Grüsse und Danke für die Hilfe.
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Hallo fernweh,
> Hallo
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> > >
> > > Nun habe ich
> > > [mm]y * \dot y = -1[/mm]
> >
> >
> > Nein, Du hast doch:
> >
> > [mm]\bruch{d}{dt}\left(y*\dot{y}\right)=-1[/mm]
>
> Stimmt, das war ein Tippfehler, tut mir leid :)
>
>
> > [mm]\left( \ x\left(t\right)-c \ \right)^{2}+\left( \ y\left(x\left(t\right) \right) \ \right)^{2}=r^{2}[/mm]
>
> >
> > zweimal nach t zu differenzieren.
> >
> Da drauf hätte ich wohl auch selber kommen müssen... Aber
> warum zweimal nach t differentieren?
>
Damit Du auf die besagte Gleichung kommst.
> Es gilt ja nun [mm]\bruch{d}{dt}y(x(t)) = x'(t)*y'(x(t)) [/mm].
>
> Also ist
> [mm]\bruch{d}{dt}(x(t)-c)^2+(y(x(t))^2 = 2x'(t)(x(t)-c)+2x'(t)y'(x(t))y(x(t)) = \bruch{d}{dt}r^2=0[/mm]
>
> Somit ist
> [mm]y*\dot y = -(x-c)[/mm]
Das muss Du schon noch einmal nacht t differenzieren.
> und somit
> [mm](y*\dot y)' = -1[/mm]
>
> Womit dann bewiesen wäre, dass die Bedingung erfüllt
> ist...
>
> Noch eine Verständnisfrage. Wenn ich schreibe [mm]\dot y [/mm], ist
> das dann [mm]y'(x(t))[/mm] oder [mm](y(x(t)))'[/mm], ich denke das Erste? Das
> würde obige Schreibweise etwas vereinfachen
>
Das ist weder das eine noch das andere.
> Viele Grüsse und Danke für die Hilfe.
Gruss
MathePower
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:12 So 15.04.2012 | | Autor: | fernweh |
Hallo
> > Noch eine Verständnisfrage. Wenn ich schreibe [mm]\dot y [/mm], ist
> > das dann [mm]y'(x(t))[/mm] oder [mm](y(x(t)))'[/mm], ich denke das Erste? Das
> > würde obige Schreibweise etwas vereinfachen
> >
>
>
> Das ist weder das eine noch das andere.
Was denn?
Gruess
Lukas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 17.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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