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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Do 21.05.2009 | | Autor: | Dinker |
| Aufgabe | | Gegeben sind die beiden Punkte (4/8) und B(-8/4), sowie die Gerade g : [mm] \overrightarrow{r} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] + [mm] t\vektor{1 \\ 1} [/mm] |
Mal wieder sone blöde Aufgabe
Ich brauche drei bedingungen
Durch die Punkte A und B ist klar.
Nun soll die Gerade g berührt werden.
Dieser Punkt wäre folgender:
Schnittpunkt der Gerade g und die Normale zu g, welche durch (u/v) geht
g: y = x - 1
Normale zu g: y = -x + v + u
x -1 = -x + v + u
2x = v + u + 1
x = 0.5v + 0.5u + 0.5
y = 0.5v + 0.5u -0.5
Was ist das denn....Unbrauchbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Do 21.05.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du schreibst nicht, was du nun überhaupt ausrechnen sollst, deshalb gehe ich jetzt einfach mal davon aus, dass es ein Kreis sein soll.
Setz mal beide Punkte in die Gleichung ein und subtrahiere sie voneinander und du kriegst schon einen Zusammenhang zwischen u und v, also den Mittelpunktkoordinaten, raus.
Hilft dir das erstmal weiter?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Do 21.05.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo lieber Teufel
Ich möchte den Kreismittelpunkt ausrechnen.
Also hab das mal gerechnet
-24u-8v = 0
u = - [mm] \bruch{1}{3}v
[/mm]
M(u/-3u)
Scheint mir jetzt aber etwas seltsam...Muss ich nochmals kontrollieren oder kann ich weiter rechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Do 21.05.2009 | | Autor: | Teufel |
Kriege ich auch raus!
Kannst weiterrechnen.
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Do 21.05.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Die Frage ist bloss wie.
Also die Normale zu zu g wäre: y = -x -2u
Nun berechne ich den Schnittpunkt mit g
-x -2u = x-1
x = -u + [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
y = -u -0.5
s (-u + [mm] \bruch{1}{2}/-u [/mm] -0.5)
[mm] |\overrightarrow{AB}| [/mm] = | [mm] \vektor{u - 4 \\ -3u -8}|
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{MS}| [/mm] = | [mm] \vektor{-2u + 0.5 \\ -2u - 0.5}|
[/mm]
(u [mm] -4)^{2} [/mm] + (-3u [mm] -8)^{2} [/mm] = (-2u + [mm] 0.5)^{2} [/mm] + (-2 - [mm] 0.5)^{2}
[/mm]
[mm] 2u^{2} [/mm] - 56u + 79.5 = 0
u1 = 26.5
u2 = 1.5
V1 = -79.5
V2 = -4.5
Sehr komisch
Danke
Gruss Dinker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Do 21.05.2009 | | Autor: | Teufel |
Ich seh gerade nicht ganz genau, was du rechnest, aber ich habe vielleicht noch einen besser strukturierten Weg gefunden.
Kennst du die Hessesche Normalenform, mit der du Abstände von Punkten und Geraden berechnen kannst?
Dann könntest du 3 Gleichungen aufstellen.
(4-u)²+(8-v)²=r²
(-8-u)²+(4-v)²=r²
und die 3. kriegst du, wenn du eben die Formel für den Abstand von Punkt und Gerade nimmst und der Abstand muss dann =r sein.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:19 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Nein die Hessesche Normalenform ist nicht Inhalt unseres Lehrplanes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:44 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Will mir niemand einen Tipp geben?
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Hallo dinker,
naja, als Ergebnis kommt auf alle Fälle der Mittelpunkt (-2/6) raus. Aber auf dem Weg dahin wirst du kaum über die Nutzung eines Kriteriums bzgl. des Abstands eines Punktes von einer Geraden herum kommen. Entweder machst du das "elementar" mit Gleichungen (was du bislang scheinbar versucht hast) oder du nutzt die Vektordarstellungen. Dazu gehört u.a. eine Abstandformel für den Abstand eines Punktes von einer Geraden in der Ebene. Diese Überlegungen führen dann halt zu der so genannten Hesseschen Normalenform, die du ja noch nicht kennst. Vielleicht wirst du die aber genau mit dieser Aufgabe kennenlernen.
Vielleicht hilft es dir auch, wenn du dir das mal maßstabsgerecht mit einer dynamischen Geometriesoftware zeichnest - dann bekommst du vielleicht noch eine Idee, welche Gleichungen du noch aufschreiben und verarbeiten kannst (wenn dir der vektorielle Weg nicht so gefällt).
Gruß,
weightgainer
p.s. Um ein wenig rechnen kommst du aber so oder so nicht herum 
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:25 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Also mein Kreismittelpunkt ist ja M(u/-3u)
Nun kann ich nicht einfach [mm] \overline{MA} [/mm] = [mm] \overline{MB} [/mm] ?
Danke
Gruss Dinker
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Das kannst du schon machen (hast du es schon probiert?), aber damit bekommst du keine neuen Informationen, da du die Tatsache des gleichen Abstands schon für die Koordinaten des Mittelpunkts genutzt hast (es müsste 0 = 0 rauskommen). Es wäre ja auch komisch, wenn du damit zur Lösung kämst, weil du bis dahin noch nichts mit der gegebenen Geraden gemacht hast. Wie gesagt - um die Geradenrechnungen kommst du nicht rum.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
g:y = x-1
Nun berechne ich die Gerade h, welche durch den Mittelpunkt geht und rechtwinkligauf der Gerade g steht....
h: y = -x -2u
g [mm] \cap [/mm] h
x-1 = -x -2u
x = -u + 0.5
Also Schnittpunkt
S(-u + 0.5/-u-0.5)
Hilft mir das nun weiter?
Danke
Gruss Dinker
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Hallo dinker,
die Idee ist folgende (das meiste hast du schon):
1. Die Koordinaten des Mittelpunkts M sind (u/3u). Das bekommst du raus, indem du die Lage der beiden gegebenen Punkte benutzt.
2. Du kannst jetzt mithilfe der Kreisgleichung den Abstand zwischen einem dieser Punkte und dem Mittelpunkt (also den Radius) aufschreiben. Da sollte rauskommen: [mm]r^{2} = 10u^{2} + 40u + 80 [/mm].
3. Jetzt kommt die Gerade [mm]g: \vec{x}= \vektor{1 \\ 0} + t*\vektor{1 \\ 1} [/mm] ins Spiel. Das ist dann wohl der Teil, der dir momentan noch Sorge bereitet.
<THEORIE content="Herleitung Abstandsformel">
Ich versuche es möglichst genau zu erklären, aber du wirst es dir sicher noch in deinem Buch oder an anderer Stelle anschauen müssen, um es 100%ig zu verstehen: Der Punkt P mit [mm] \vec{p}= \vektor{1 \\ 0} [/mm] liegt ja irgendwo auf der Geraden und ist vermutlich nicht der gesuchte Berührpunkt des Kreises. Aber wir können ihn trotzdem zur Ermittlung nutzen:
1. Zeichne den Verbindungsvektor von diesem gegebenen Punkt P zu dem Mittelpunkt M.
2. Die orthogonale Projektion dieses Vektors auf die Gerade ist genau der Weg von diesem Punkt P zu dem Berührpunkt (Projektion: Stell dir vor, eine Lampe bestrahlt den Vektor [mm] \overrightarrow{MP} [/mm] und du siehst dessen Schatten auf der Geraden.).
3. Das Skalarprodukt des Vektors [mm] \overrightarrow{MP} [/mm] mit einem zu der Geraden senkrechten Vektor (Normalenvektor) ergibt genau diese Projektion.
4. Andererseits gilt ja für das Skalarprodukt der Zusammenhang mit dem Winkel, d.h. [mm]\overrightarrow{MP}*\vec{n} = |\overrightarrow{MP}|*|\vec{n}|*cos(\delta) [/mm]
5. Wenn du dir jetzt einen Normalenvektor aussuchst, der die Länge 1 hat, dann ist [mm] |\vec{n}|=1 [/mm] und es gilt: [mm]\overrightarrow{MP}*\vec{n} = |\overrightarrow{MP}|*cos(\delta) [/mm].
6. In deiner Zeichnung solltest du jetzt erkennen, dass das Produkt [mm]|\overrightarrow{MP}|*cos(\delta) [/mm] genau der gesuchte Abstand ist. Das ist die einfache Beziehung für den Cosinus im Dreieck.
FAZIT:
Der gesuchte Abstand ist also einfach das Skalarprodukt des Verbindungsvektors [mm] \overrightarrow{MP} [/mm] mit einem Normalenvektor der Länge 1 (und davon der Betrag, weil da auch was negatives rauskommen kann, je nachdem auf welcher Seite der Geraden der Punkt liegt).
</THEORIE>
Soviel zur theoretischen Herleitung, die du jetzt auf dein Problem anwenden kannst:
Der Normaleneinheitsvektor ist [mm] \vektor{1 \\ -1}*\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm], das Skalarprodukt kannst du bestimmt ausrechnen. Jetzt würde ich das noch quadrieren und dann kannst du es mit dem Ergebnis von oben (aus der Kreisgleichung, was ja ebenfalls [mm] r^{2} [/mm] ergibt) gleichsetzen. Du bekommst dann eine quadratische Gleichung für die x-Koordinate deines Mittelpunkts und zwei (gültige!) Lösungen. Das ergibt "krumme" Zahlen, die ungefähr in der Nähe von -2/6 und -20/60 liegen.
Es ist nicht sooo aufwändig, wie es aussieht, nur die Herleitung der Abstandsformel ist ja scheinbar neu für dich, deswegen also notwendig. Diese Formel gilt aber immer, insofern lohnt sie sich .
Gruß,
weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:19 Mi 27.05.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Tag
Also der angegebene Mittelpunkt scheint nicht zu stimmen
gruss Dinker
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Ich hab die Aufgabe gezeichnet und die Zeichnung zeigt deutlich, dass die beiden von mir angegebenen Werte stimmen. Natürlich kommen keine "glatten" Zahlen raus, aber die berechneten Werte liegen schon ziemlich in der Nähe. Also zur Klarheit: die unten gezeichneten Werte kommen auch bei der Rechnung raus.
Siehe Abbildungen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
weightgainer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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