Vektor Linearkombination < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 Mi 23.10.2013 | | Autor: | zach_ |
| Aufgabe | Kann der Vektor [mm] \vec{c} [/mm] = (2, 1,−4) als Linearkombination der Vektoren
[mm] \vec{d} [/mm] = (2, 1, 4), [mm] \vec{e} [/mm] = (0, 1, 0) und [mm] \vec{f} [/mm] = (1, 1, 1) dargestellt werden? |
Hallo,
ich hoffe ich bin hier im richtigen Teil des Forums, aber soweit ich das bisher verstanden habe, muss ich für die Lösung Matrizen nach Gauß benutzen.
Leider habe ich in der Schule Gauß nicht behandelt, muss es mir nun aber für die Uni aneignen.
Zwei Ansätze hätte ich, die wären:
[mm] \lambda_{1} \* \pmat{ 2 \\ 1 \\ 4 } [/mm] + [mm] \lambda_{2} \* \pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] + [mm] \lamba_{3} \* \pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 2 \\ 1 \\ -4 }
[/mm]
und
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 1 & |2 \\ 1 & 1 & 1 & |1 \\ 4 & 0 & 1 & |-4}
[/mm]
bin ich mit einem davon schon auf dem Weg oder fahre ich in die komplett falsche Richtung? Und vor allem: Wie geht es weiter? Ich habe mir einiges zum Gaußverfahren angesehen (so bin ich auf den 2. Ansatz gekommen) aber ich steige nicht so recht dahinter, wie mir das bei Linearkombinationen helfen soll.
Ich bedanke mich schonmal für jegliche Hilfe.
Grüße,
zach
Pflichtprogramm: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Kann der Vektor [mm]\vec{c}[/mm] = (2, 1,−4) als Linearkombination
> der Vektoren
> [mm]\vec{d}[/mm] = (2, 1, 4), [mm]\vec{e}[/mm] = (0, 1, 0) und [mm]\vec{f}[/mm] = (1,
> 1, 1) dargestellt werden?
> Hallo,
> ich hoffe ich bin hier im richtigen Teil des Forums, aber
> soweit ich das bisher verstanden habe, muss ich für die
> Lösung Matrizen nach Gauß benutzen.
Eine Matrix reicht dir vollkommen. Aber das ist überhaupt nicht der Punkt, man benötigt hier nicht unbedingt eine Matrix, sondern zunächst einmal sollte man sich klar machen, dass die Aufgabe auf ein LGS führt. Aber das hast du ja auch richtig erkannt.
> Leider habe ich in der Schule Gauß nicht behandelt, muss
> es mir nun aber für die Uni aneignen.
> Zwei Ansätze hätte ich, die wären:
>
> [mm]\lambda_{1} \* \pmat{ 2 \\ 1 \\ 4 }[/mm] + [mm]\lambda_{2} \* \pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 }[/mm]
> + [mm]\lamba_{3} \* \pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 }[/mm] = [mm]\pmat{ 2 \\ 1 \\ -4 }[/mm]
>
> und
>
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 1 & |2 \\ 1 & 1 & 1 & |1 \\ 4 & 0 & 1 & |-4}[/mm]
>
> bin ich mit einem davon schon auf dem Weg oder fahre ich in
> die komplett falsche Richtung? Und vor allem: Wie geht es
> weiter?
Das ist bis dahin alles richtig. Die beiden Ansätze sind wie gesagt identisch, es handelt sich um unterschiedliche Schreibweisen ein und derselben Sache. An der Uni ist sicherlich die zweite Version die gebräuchlichere.
> Ich habe mir einiges zum Gaußverfahren angesehen
> (so bin ich auf den 2. Ansatz gekommen) aber ich steige
> nicht so recht dahinter, wie mir das bei
> Linearkombinationen helfen soll.
Wie gesagt: das ganze steht ja für ein LGS. Du musst jetzt durch Zeilenumformungen die Matrix auf die obere Dreiecksform bringen. Übernehme bspw. mal die erste und die dritte Zeile und ersetze die zweite Zeile durch die Summe I+(-2)*II, wobei I und II für die erste bzw. die zweite Zeile steht. Schau dir an, was das bewirkt, dann wird dir vielleicht schon klar, wie es weitergeht. Wenn du es geschickt anstellst, reicht dir eine weitere Umformung, und du hast bereits die Stufenform (=obere Dreiecksform).
Auf jeden Fall (auf die Gefahr hin, mich zu wiederholen): es geht hier darum, die Lösungsmenge eines LGS zu bestimmen und zu interpretieren.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Mi 23.10.2013 | | Autor: | zach_ |
so, ich habe jetzt das Verfahren angewendet, wie es an diversen Stellen beschrieben wird. Ich bin zudem gerade etwas verwirrt, denn ich habe inzwischen mehrfach gelesen/gehört, dass die 1. Zeile so multipliziert wird, dass bei der Addition von I und II die gewünschten Werte 0 werden (z.B. http://www.youtube.com/watch?v=AQb9FUzY0zw ab 2:30). Oder habe ich "I+(-2)*II" (Zeile 1 + (-2)* Zeile 2) einfach nur falsch verstanden?
Hier meine vorläufige "Lösung" (etwas abgekürzt):
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 1 & |2 \\ 1 & 1 & 1 & |1 \\ 4 & 0 & 1 & |-4} [/mm] -> [mm] \pmat{ 2 & 0 & 1 & |2 \\ 0 & 1 & 0,5 & |0 \\ 0 & 0 & -1 & |-8}
[/mm]
woraus folgt: a=-3, b=-4, c=8
Macht das Sinn, oder habe ich das Verfahren mißverstanden? Wie geht es zudem weiter? Ich habe nun die Werte, aber wie stelle ich dar, ob die Linearfunktion dargestellt werden kann?
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Hallo,
> so, ich habe jetzt das Verfahren angewendet, wie es an
> diversen Stellen beschrieben wird. Ich bin zudem gerade
> etwas verwirrt, denn ich habe inzwischen mehrfach
> gelesen/gehört, dass die 1. Zeile so multipliziert wird,
> dass bei der Addition von I und II die gewünschten Werte 0
> werden (z.B. http://www.youtube.com/watch?v=AQb9FUzY0zw ab
> 2:30).
Früher hatten wir Lehrbücher, da sind dann solche Fragen gar nicht erst aufgetaucht. 
> Oder habe ich "I+(-2)*II" (Zeile 1 + (-2)* Zeile 2)
> einfach nur falsch verstanden?
>
> Hier meine vorläufige "Lösung" (etwas abgekürzt):
>
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 1 & |2 \\ 1 & 1 & 1 & |1 \\ 4 & 0 & 1 & |-4}[/mm]
> -> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 1 & |2 \\ 0 & 1 & 0,5 & |0 \\ 0 & 0 & -1 & |-8}[/mm]
>
> woraus folgt: a=-3, b=-4, c=8
>
> Macht das Sinn, oder habe ich das Verfahren mißverstanden?
Das hast du schon richtig verstanden, denn deine Lösung stimmt. 
> Wie geht es zudem weiter? Ich habe nun die Werte, aber wie
> stelle ich dar, ob die Linearfunktion dargestellt werden
> kann?
Das ist das, was ich weiter oben schon angesprochen habe. Es geht hier weniger um eine relativ stumpfsinnige Rechnung sondern darum, sich klar zu machen, was man tut.
Was ist eine Linearkombination? Das weißt du offensichtlich, denn du hast ganz zu Beginn eine aufgestellt, und zwar mit zunächst unbekannten Parametern. Jetzt ist es dir gelungen, das daraus resultierende LGS zu lösen, du hast also für diese Parameter konkrete Werte bestimmt. Was folgt jetzt daraus wohl bezüglich der eigentlichen Fragestellung?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Mi 23.10.2013 | | Autor: | zach_ |
Ha! Jetzt hat es geklickt (Ich liebe diesen Moment).
Die errechneten Variablen sind natürlich die Multiplikatoren, die ich im 1. Post mit [mm] \lambda [/mm] bezeichnet habe. Somit brauche ich sie nur in die Gleichung einzusetzen und das ganze stumpf auszurechnenum zu erfahren ob das Ergebnis dem Vektor [mm] \vec{c} [/mm] entspricht, oder eben nicht.
Das habe ich gerade gemacht und ja, der Vektor [mm] \vec{c} [/mm] kann als Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt werden.
Großartig, vielen Dank für die Hilfe. :D
Grüße,
zach
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