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Hallo zusammen,
ich habe zwei Vektoren die eine Ebene im [mm] \IR^{3} [/mm] aufspannen. Der Vektor [mm] v_1 [/mm] beschreibt die Hauptachse eines Kegels und Vektor [mm] v_2 [/mm] steht senkrecht auf dieser Achse. Gesucht ist ein dritter Vektor [mm] v_g [/mm] der zwischen sich und [mm] v_2 [/mm] einen gegebenen Winkel "alpha" aufweist und koplanar zu den beiden anderen Vektoren ist.
In anderen Worten: Ein Punkt [mm] p_1 [/mm] im [mm] \IR^{3} [/mm] wird auf die Hauptachse projeziert [mm] p_p [/mm] . Daraus wird dann mit [mm] p_1 [/mm] - [mm] p_p [/mm] der Vektor v_pp berechnet, der senkrecht auf der Hauptachse steht. Gesucht wird jetzt die Normale die, zu dem auf der Mantelfläche des Kegels liegenden Punkt [mm] p_1 [/mm] , gehört. Da der Öffnungswinkel der Kegels bekannt ist wird ein Vektor gesucht der sich in der Ebene, die von v_pp und der Hauptachse aufgespannt wird, befindet und sich um dem gegebenen Winkel "alpha" vom Vektor v_pp unterscheidet.
Bekannt ist das die drei Vektoren Koplanar sein müssen und somit ( [mm] v_1 [/mm] [mm] \times [/mm] [mm] v_2 [/mm] ) [mm] \dot [/mm] [mm] v_g [/mm] = 0 sein muss.
Wie aber kann ich den gesuchten Vektor berechnen?
Vielen Dank für euere Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 Mo 07.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Den Winkel [mm] \alpha [/mm] zwischen zwei Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] berechnest du mit
[mm] \cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}, [/mm] also muss hier gelten:
[mm] \cos(\alpha)=\frac{\vec{v_{2}}\cdot\vec{v_{g}}}{|\vec{v_{2}}|\cdot|\vec{v_{g}}|}
[/mm]
Außerdem gilt, wie du korrekterweise gesagt hast:
[mm] (\vec{v_{1}}\times\vec{v_{2}})\cdot\vec{v_{g}}=0
[/mm]
Damit hast du zwei Bedingungen an [mm] \vec{v_{g}} [/mm] da du drei Komponenten hast, hast du also ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen aber drei Unbekannten.
Marius
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> Hallo
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> Den Winkel [mm]\alpha[/mm] zwischen zwei Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und
> [mm]\vec{b}[/mm] berechnest du mit
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> [mm]\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|},[/mm]
> also muss hier gelten:
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> [mm]\cos(\alpha)=\frac{\vec{v_{2}}\cdot\vec{v_{g}}}{|\vec{v_{2}}|\cdot|\vec{v_{g}}|}[/mm]
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> Außerdem gilt, wie du korrekterweise gesagt hast:
> [mm](\vec{v_{1}}\times\vec{v_{2}})\cdot\vec{v_{g}}=0[/mm]
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> Damit hast du zwei Bedingungen an [mm]\vec{v_{g}}[/mm] da du drei
> Komponenten hast, hast du also ein Gleichungssystem mit
> zwei Gleichungen aber drei Unbekannten.
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> Marius
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Das mit dem Winkel war mir bekannt. Was bedeutet das für mich? Die Aufgabe muss doch lösbar sein oder nicht?
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Mo 07.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Marius hat doch das GS gesagt aus dem du den Vektor rauskriegst, dass du nur 2 Gl hast sagt nur, dass die Länge des Vektors [mm] v_3 [/mm] jaa beliebig ist.
wenn du v1,v2 normierst und auch [mm] v_3 [/mm] alsEinheitsvektor willst ist v3=av1+bv2 mit [mm] a=cos\phi, b=sin\phi
[/mm]
sieht man leicht in ner Zeichnung.
Gruss leduart
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