Vektor liegt in Ebene? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man bestimme [mm] \lambda [/mm] so, dass folgende drei Vektoren in einer Ebene liegen:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] 3\vec{e1} [/mm] + [mm] \lambda\vec{e2} [/mm] - [mm] 2\vec{e3}
[/mm]
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] -\vec{e1} [/mm] + [mm] 4\vec{e2} [/mm] + [mm] 2\vec{e3}
[/mm]
[mm] \vec{b} [/mm] = [mm] 2\vec{e1} [/mm] + [mm] 5\vec{e2} [/mm] + [mm] 4\vec{e3} [/mm] |
Hallo
ich brauche nur einen Tipp, lösen kann ich die Gleichungssystem selber!
Danke und gruß,
Thomas
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Aloa Hermine,
Ich weiß nicht, was für einen Tipp du da haben magst... denn irgendwie steht es schon da. Mehr als zusammenrechnen muss man ja nicht mehr machen.
Offensichtlich liegen drei Vektoren eines 3-dimensionalen Vektorraumes vor. Diese liegen genau dann in einem 2-dimensionalen Untervektorraum (in der euklidischen Geometrie entspricht eine Ebene gerade einem solchen), wenn einer der drei Vektoren linear-abhängig von den beiden anderen ist, also in der von den beiden Vektoren erzeugten Ebene liegt.
Probier es doch einfach mal... ansonsten kann ich dir natürlich auch den einen Schritt machen, und das ausrechnen, aber das wird dir bei einer Klausur nicht viel nützen.
Namárie,
sagt ein Lary, wo mal wieder Texte lesen geht
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hm ich weiß leider einfach nicht was ich denn genau zusammen rechnen muss so in etwa.... Also ich durchschaue nicht genau was ich machen soll...
Lineare abhängigkeit prüfen k aber bisher habe ich immer nur geguckt ob sich 1 vektor durch einen anderen darstellen lässt... Wie genau prüfe ich das denn hier?
Gruß,
Thomas
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Die Vektoren sind linear abhängig, wenn sich der Nullvektor nichttrivial aus ihnen kombinieren läßt, wenn also
[mm]r \cdot \vec{x} + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b} = \vec{o}[/mm]
gilt, wobei die Skalare [mm]r,s,t[/mm] nicht alle zugleich 0 sind. Wenn du hier deine Vektoren einsetzt, ausmultiplizierst und Glieder mit [mm]\vec{e}_1 , \vec{e}_2 , \vec{e}_3[/mm] durch Ausklammern zusammenfaßt, erhältst du eine Darstellung
[mm](\ldots) \vec{e}_1 + (\ldots) \vec{e}_2 + (\ldots) \vec{e}_3 = \vec{o}[/mm]
Und das kann wegen der linearen Unabhängigkeit von [mm]\vec{e}_1 , \vec{e}_2 , \vec{e}_3[/mm] nur gelten, wenn die Vorfaktoren alle zugleich 0 sind.
Kurzum, das Ganze läuft darauf hinaus, im linearen Gleichungssystem
[mm]3 r + \lambda s - 2t = 0[/mm]
[mm]- r + 4s + 2t = 0[/mm]
[mm]2r + 5s + 4t = 0[/mm]
[mm]\lambda[/mm] so zu bestimmen, daß dieses nicht nur die triviale Lösung [mm]r = s = t = 0[/mm] hat.
Das kannst du so bewerkstelligen, daß du zunächst dieses Gleichungssystem auf Stufenform bringst. Dabei mußt du dich geschickt anstellen, insbesondere Multiplikationen und Divisionen mit [mm]\lambda[/mm] vermeiden (das würde auf häßliche Fallunterscheidungen führen). Aber das ist hier nicht besonders schwierig. Du mußt dann überlegen, unter welcher Anforderung an [mm]\lambda[/mm] sich das Gleichungssystem nicht eindeutig auflösen läßt.
Viel einfacher geht das Ganze, wenn du schon Determinanten kennst, denn dann mußt du nur die Determinante des Gleichungssystems berechnen und [mm]\lambda[/mm] so wählen, daß diese 0 wird.
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Ok mit der Determinante geht das recht einfach da hast du recht kriege auch das korrekte Ergebnis [mm] \lambda [/mm] = -5.5 raus!
Aber wie läuft das genau mit dem Gleichungssystem ab, ich habe folgendes:
1*e1 -4*e2 -2*e3 = 0
13*e2 8*e3 = 0
[mm] \lambda*e2 [/mm] +44/13e3 = 0
wie man sieht wären die letzten beiden Zeilen 3 unbekannte und nur 2 Gleichungen, also ist es unterbestimmt und ich kann [mm] \lambda [/mm] nicht ausrechnen? Wie sollte ich da vorgehen?
Gruß
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Was du geschrieben hast, kann niemals gelten! [mm]\vec{e}_1 , \vec{e}_2 , \vec{e}_3[/mm] sind linear unabhängig. Daher ist eine Gleichung der Art [mm]1 \cdot \vec{e}_1 - 4 \cdot \vec{e}_2 - 2 \cdot \vec{e}_3 = \vec{o}[/mm] (du meinst doch mit 0 den Nullvektor?) vollkommen ausgeschlossen.
Du mußt da einem schweren Irrtum aufgesessen sein, wenn du auf solche Gleichungen kommst.
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