www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Vektor mal Matrix = Vektor
Vektor mal Matrix = Vektor < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Vektor mal Matrix = Vektor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:34 So 13.12.2015
Autor: kolja21

Aufgabe
Wie stellt man ein LGS auf, bzw. löst es, wenn man zu einer Matrix einen Vektor finden muss, für den gilt v * M = v, wobei M eine n x n Matrix und v ist element [mm] R^n [/mm] ?

Ich brauchen einen Lösungsweg, wie ich aus der Matrix
2/12x + 5/12y + 5/12z = x
5/12x + 5/12y + 2/12z = y
2/12x + 8/12y + 2/12z = x

rausbekomme. x = 6, y = 10, z = 5.
Es muss irgendwie mit der Gauß Elimination gehen. Aber ich schaffe es nicht.

        
Bezug
Vektor mal Matrix = Vektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:49 So 13.12.2015
Autor: angela.h.b.


> Wie stellt man ein LGS auf, bzw. löst es, wenn man zu
> einer Matrix einen Vektor finden muss, für den gilt v * M=v
> wobei M eine n x n Matrix und v ist element [mm]R^n[/mm] ?

Hallo,

Du meinst M*v, oder multipliziert Ihr andersrum?

>  Ich brauchen einen Lösungsweg, wie ich aus der Matrix
>  2/12x + 5/12y + 5/12z = x
>  5/12x + 5/12y + 2/12z = y
>  2/12x + 8/12y + 2/12z = x

Dieses LGS ist aber nicht von der Gestalt M*v=v.
Es soll sicher

2/12x + 5/12y + 5/12z = x
5/12x + 5/12y + 2/12z = y
2/12x + 8/12y + 2/12z = [mm] \red{z} [/mm]

heißen.

>  
> rausbekomme. x = 6, y = 10, z = 5.

Schauen wir mal nach. Ich verwende den Gauß-Algorithmus:


2/12x + 5/12y + 5/12z = [mm] x\qquad\qquad|\quad [/mm] -x
5/12x 5/12y + 2/12z = [mm] y\qquad\qquad|\quad [/mm] -y
2/12x + 8/12y + 2/12z = [mm] \red{z}\qquad\qquad|\quad [/mm] -z

ergibt

-10/12x + 5/12y + 5/12z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] *12
5/12x - 7/12y + 2/12z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] *12
2/12x + 8/12y -10/12z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] *12,

ergibt

[mm] \green{-10}x [/mm] + 5y + 5z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm]
  5x - 7y + 2z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm]
  2x + 8y -10z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] .

Für Gauß multipliziere jetzt so, daß unter der grünen -10 dann Zehnen stehen, damit ich anschließend addieren kann und Nullen bekommen:

[mm] \green{-10}x [/mm] + 5y + 5z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm]
  5x - 7y + 2z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] *2
  2x + 8y -10z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] *5

-->

[mm] \green{-10}x [/mm] + 5y + 5z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm]
10x - 14y + 4z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] 2.Zeile+1.Zeile
10x + 40y -50z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] 3.Zeile+1.Zeile

-->

-10x + 5y + 5z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm]
    [mm] \green{ - 9}y [/mm] + 9z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] 2.Zeile+1.Zeile
     + 45y -45z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] 3.Zeile+1.Zeile

Nächstes Ziel: Null unter -9y. Dazu passend dividieren, dann addieren:

-10x + 5y + 5z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm]
    [mm] \green{ - 9}y [/mm] + 9z = [mm] 0\qquad\qquad| [/mm]
     + 45y -45z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] :5

-->

-10x + 5y + 5z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm]
    [mm] \green{ - 9}y [/mm] + 9z = [mm] 0\qquad\qquad| [/mm]
     + 9y -9z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] 3.Zeile+2.Zeile
-->

-10x + 5y + 5z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] | :-10
    [mm] \green{ - 9}y [/mm] + 9z = [mm] 0\qquad\qquad|:-9 [/mm]
          0= [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm]

-->

x -0.5y -0.5z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] |
      y -z = [mm] 0\qquad\qquad [/mm]
          0= [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm]

Wir bekommen aus Zeile 2: y=z,
und durch Einsetzen in Zeile 1: x=0.5y +0.5z=z.

Also sind alle Lösungen v von der Gestalt [mm] v=\vektor{z\\z\\z}=z*\vektor{1\\1\\1}. [/mm]

[mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 1.

Die von Dir gesuchte Lösung [mm] v=\vektor{6\\10\\5} [/mm] ist keine Lösung von

[mm] \pmat{2/12& 5/12& 5/12 \\ 5/12& 5/12&2/12 \\ 2/12&8/12&2/12}*v=v [/mm]

<==>

[mm] \pmat{2/12-1& 5/12& 5/12\\5/12& 5/12-1&2/12\\2/12&8/12&2/12-1}*v=0, [/mm]

was Du auch merkst, wenn Du die Probe machst.

LG Angela








>  Es muss irgendwie mit der Gauß Elimination gehen. Aber
> ich schaffe es nicht.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de